Schemat Bernoulli’ego – teoria

Data wpisu przez Joanna Piasecka

Zmienna losowa \dpi{120} X ma rozkład dwumianowy (Bernoulli’ego) z parametrami \dpi{120} n i \dpi{120} p, jeśli jej funkcja prawdopodobieństwa dana jest wzorem:

\dpi{120} P\left ( X=k \right )=\binom{n}{k}p^{k}q^{n-k}

gdzie \dpi{120} n\in \mathbb{N}, \dpi{120} k=0,1,...,n, \dpi{120} 0<p<1, \dpi{120} q=1-p.

Pokazuje się, że :

\dpi{120} EX=np,\; \; D^{2}X=npq

Zatem zmienna losowa \dpi{120} X oznaczająca liczbę sukcesów w \dpi{120} n doświadczeniach Bernoulli’ego ma rozkład dwumianowy, czyli prawdopodobieństwo, że w \dpi{120} n doświadczeniach Bernoulli’ego sukces wypadnie \dpi{120} k razy, wyraża się wzorem:

\dpi{120} P\left ( X=k \right )=\binom{n}{k}p^{k}q^{n-k}

w którym \dpi{120} p oznacza prawdopodobieństwo sukcesu w jednym doświadczeniu, zaś \dpi{120} q prawdopodobieństwo porażki w jednym doświadczeniu.

Przypominamy, że

1) \dpi{120} \binom{n}{k}=\frac{n!}{k!\cdot \left ( n-k \right )!}

2) \dpi{120} \binom{n}{0}=\binom{n}{n}=1

3) \dpi{120} \binom{n}{1}=\binom{n}{n-1}=n

4) \dpi{120} \binom{n}{k}=\binom{n}{n-k}