Wartość oczekiwana i wariancja zmiennej losowej – zadania

Mamy 5 zadań. Pierwsze dwa dotyczą zmiennych losowych skokowych. Zadanie 3 i zadanie 4 to zmienne losowe typu ciągłego. Liczymy wartość oczekiwaną i wariancję tych zmiennych mając daną funkcję gęstości lub dystrybuantę. W zadaniach tych przypominamy liczenie całek metodą przez podstawienie i przez części. Pojawi się również całka niewłaściwa (zad. 4 b)). Zadanie 5 to wykorzystanie podstawowych własności wartości oczekiwanej i wariancji. Takie zadania często pojawiają się w testach. Są bardzo krótkie. Warto zapoznać się z definicjami z zakładki Teoria. tutaj

 

Zadanie 1. Zmienna losowa \dpi{120} \large X ma funkcję prawdopodobieństwa określoną tabelą:

\dpi{120} \large x_{i} 0 1 2 3 4
\dpi{120} \large p_{i} 0,2 0,3 0,1 0,3 0,1

Znaleźć \dpi{120} \large EX i \dpi{120} \large D^{2}X.

Zadanie 2. Zmienna losowa \dpi{120} \large X ma rozkład określony tabelą:

\dpi{120} \large x_{i} -2 -1 0 2 3
\dpi{120} \large p_{i} 0,1 0,2 0,2 0,1 0,4

Obliczyć wartość oczekiwaną, wariancję i odchylenie standardowe zmiennej losowej \dpi{120} \large X.

Zadanie 3. Znaleźć \dpi{120} \large EX oraz \dpi{120} \large D^{2}X dla zmiennej losowej \dpi{120} \large Xo gęstości:

a) \dpi{120} \large f\left ( x \right )=\left\{\begin{matrix} \frac{1}{4} & dla & x\in \left ( 1,5 \right )\\ 0 & dla& x\notin \left ( 1,5 \right ) \end{matrix}\right.

b) \dpi{120} \large f\left ( x \right )=\left\{\begin{matrix} \frac{3}{8} x^{2}& dla & x\in \left ( 0,2 \right )\\ 0 & dla& x\notin \left ( 0,2 \right ) \end{matrix}\right.

c) \dpi{120} \large f\left ( x \right )=\left\{\begin{matrix} \sin x & dla & x\in \left ( 0;\frac{\pi }{2} \right )\\ 0& dla & x\notin \left ( 0;\frac{\pi }{2} \right ) \end{matrix}\right.

Zadanie 4. Zmienna losowa \dpi{120} \large X ma dystrybuantę \dpi{120} \large F\left ( x \right ) . Znaleźć wartość oczekiwaną zmiennej \dpi{120} \large X.

a) \dpi{120} \large F\left ( x \right )=\left\{\begin{matrix} 0 & dla & x\leqslant -1\\ \frac{1}{2}+\frac{1}{\pi }\arcsin x& dla & -1<x<1\\ 1& dla & x\geqslant 1 \end{matrix}\right.

b) \dpi{120} \large F\left ( x \right )=\left\{\begin{matrix} \frac{2}{\pi }\; arc\, tg \, x &dla &x>0 \\ 0 & dla & x\leqslant 0 \end{matrix}\right.

Zadanie 5. Wiedząc, że \dpi{120} \large EX=-3, \dpi{120} \large EY=4, \dpi{120} \large D^{2}X=0,5, \dpi{120} \large D^{2}Y=2 oraz zmienne losowe \dpi{120} \large X i \dpi{120} \large Y są niezależne , wyznaczyć wartość oczekiwaną i wariancję zmiennej losowej \dpi{120} \large U=3X-2Y+2.