Granice funkcji (wzory) - WYZNACZNIK - Matematyka na studiach

Liczenie granic funkcji (bez reguły de l’Hospitala) podzielimy na trzy podstawowe grupy.

I Grupa

Granice funkcji wymiernych zawierających symbol $\dpi{120} \frac{0}{0}$ , na przykładzie $\dpi{120} \lim_{x\rightarrow 2}\frac{x-2}{x^{2}-4}$ :

Krok 1.

Sprawdzamy jaki symbol otrzymamy po wstawieniu wartości granicznej, tzn.

$\dpi{120} \lim_{x\rightarrow {\color{Red} 2}}\frac{x-2}{x^{2}-4}=\frac{{\color{Red} 2}-2}{{\color{Red} 2}^{2}-4}=\frac{0}{0}.$

Jest to symbol nieoznaczony, więc

Krok 2.

Rozkładamy mianownik na czynniki:

$\dpi{120} \lim_{x\rightarrow { 2}}\frac{x-2}{x^{2}-4}=\lim_{x\rightarrow { 2}}\frac{{ x-2}}{{ \left ({x-2} \right )}\left ( x+2 \right )}.$

Krok 3.

Skracamy czynnik, który zeruje licznik i mianownik:

$\dpi{120} \lim_{x\rightarrow { 2}}\frac{{\color{Red} x-2}}{{\color{Red} \left ({x-2} \right )}\left ( x+2 \right )}=\lim_{x\rightarrow {\color{Blue} 2}}\frac{1}{x+2}=\frac{1}{{\color{Blue} 2}+2}=\frac{1}{4}.$

Pokaż algorytm

Zwiń

II Grupa

Granice funkcji niewymiernych zawierających symbol $\dpi{120} \infty -\infty$ , na przykładzie $\dpi{120} \lim_{x\rightarrow 0}\frac{x}{\sqrt{x^{2}+4}-\sqrt{x+4}}$ :

Krok 1.

Sprawdzamy jaki symbol otrzymamy po wstawieniu wartości granicznej, tzn.

$\dpi{120} \lim_{x\rightarrow 0}\frac{x}{\sqrt{x^{2}+4}-\sqrt{x+4}}=\frac{0}{\sqrt{0^{2}+4}-\sqrt{0+4}}=\frac{0}{0}.$

Jest to symbol nieoznaczony, więc

Krok 2.

Mnożymy licznik i mianownik przez sprzężenie (w naszym przypadku mianownika):

$\dpi{120} \lim_{x\rightarrow 0}\frac{x}{\sqrt{x^{2}+4}-\sqrt{x+4}}\cdot \frac{\sqrt{x^{2}+4}+\sqrt{x+4}}{\sqrt{x^{2}+4}+\sqrt{x+4}}=$

Krok 3.

Wykorzystujemy wzór skróconego mnożenia $\dpi{120} \left ( a-b \right )\left ( a+b \right )=a^{2}-b^{2}$ :

$\dpi{120} \lim_{x\rightarrow 0}\frac{x\left ( \sqrt{x^{2}+4}+\sqrt{x+4} \right )}{x^{2}+4-x-4}=\lim_{x\rightarrow 0}\frac{x\left ( \sqrt{x^{2}+4}+\sqrt{x+4} \right )}{x^{2}-x}={\color{Red} \frac{0}{0}}$

Krok 4.

Rozkładamy mianownik na czynniki:

$\dpi{120} =\lim_{{ x}\rightarrow 0}\frac{{\color{Red} x}\left ( \sqrt{x^{2}+4}+\sqrt{x+4} \right )}{{\color{Red} x}\left ( x-1 \right )}=\lim_{{ x}\rightarrow 0}\frac{\sqrt{x^{2}+4}+\sqrt{x+4} }{ x-1 }=\frac{2+2}{0-1}=-4.$

Pokaż algorytm

Zwiń

III Grupa

Granice funkcji trygonometrycznych z wykorzystaniem granicy $\dpi{120} \lim_{x\rightarrow 0}\frac{\sin x}{x}=1.$

Z granicy tej wynikają inne wartości granic, takie jak $\dpi{120} \lim_{x\rightarrow 0}\frac{tg x}{x}=1$ oraz ich uogólnienia $\dpi{120} \lim_{x\rightarrow 0}\frac{\sin ax}{ax}=1$ , $\dpi{120} \lim_{x\rightarrow 0}\frac{tg ax}{ax}=1$ , gdzie $\dpi{120} a$ jest dowolną stałą rzeczywistą różną od zera.

Schemat rozwiązania na przykładzie $\dpi{120} \lim_{x\rightarrow 0}\frac{\sin 6x}{4x}$ :

Dopisujemy do wyrażenia pod granicą odpowiednie czynniki (w naszym przypadku $\dpi{120} \frac{6x}{6x}$ ), pamiętając, że dopisujemy je zawsze zarówno do licznika, jak i do mianownika tak, aby nie zmienić wartości funkcji pod granicą, tzn.

$\dpi{120} \lim_{x\rightarrow 0}\frac{\sin 6x}{4x} =\lim_{x\rightarrow 0}\frac{\sin {\color{Red} 6x}}{4x}\cdot \frac{6x}{{\color{Red} 6x}}=\lim_{x\rightarrow 0}\underset{\rightarrow 1}{\underbrace{\frac{\sin { 6x}}{6x}}}\cdot \frac{6{\color{Blue} x}}{{ 4{\color{Blue} x}}}=1\cdot \frac{6}{4}=\frac{3}{2}.$

Zapraszamy do zadań! tutaj