Granice funkcji (teoria) - WYZNACZNIK - Matematyka na studiach

Niech $\dpi{120} X\subset \mathbb{R}$ i $\dpi{120} Y\subset \mathbb{R}$ . Funkcję $\dpi{120} f:X\rightarrow Y$ nazywamy funkcją rzeczywistą zmiennej rzeczywistej. Zbiór $\dpi{120} X$ nazywamy dziedziną funkcji $\dpi{120} f$ .

Załóżmy, że funkcja $\dpi{120} f\left ( x \right )$ jest określona jest określona na pewnym sąsiedztwie $\dpi{120} S$ punktu $\dpi{120} x_{0}$ , czyli zbiorze

$\dpi{120} S\left ( x_{0},\delta \right )=\left ( x_{0}-\delta ;x_{0}+\delta \right )-\left \{ x_{0} \right \},$

gdzie $\dpi{120} \delta$ jest liczbą dodatnią.

GRANICA FUNKCJI (HEINEGO)

Liczbę $\dpi{120} g$ nazywamy granicą funkcji $\dpi{120} f\left ( x \right )$ w punkcie $\dpi{120} x_{0}$ wtedy i tylko wtedy, gdy dla każdego ciągu $\dpi{120} \left ( x_{n} \right )$ o wyrazach $\dpi{120} x_{n}\in S$ zbieżnego do $\dpi{120} x_{0}$ , ciąg $\dpi{120} \left ( f\left ( x_{n} \right ) \right )$ jest zbieżny do $\dpi{120} g$ , tzn.

$granica funkcji heinego$

GRANICA FUNKCJI (CAUCHY’EGO)

Liczbę $\dpi{120} g$ nazywamy granicą funkcji $\dpi{120} f\left ( x \right )$ w punkcie $\dpi{120} x_{0}$ wtedy i tylko wtedy, gdy dla każdej liczby $\dpi{120} \varepsilon >0$ istnieje liczba $\dpi{120} \delta >0$ taka, że dla każdego argumentu $\dpi{120} x$ spełniającego nierówność $\dpi{120} \left | x-x_{0} \right |<\delta$ zachodzi nierówność $\dpi{120} \left | f\left ( x \right ) -g\right |<\varepsilon$ , tzn.

$granica funkcji Cauchy'ego$

Definicja granicy funkcji w sensie Heinego jest równoważna definicji w sensie Cauchy’ego.

Twierdzenie 1.

Jeżeli $\dpi{120} \lim_{x\rightarrow x_{0}}f\left ( x \right )=g_{1}$ oraz $\dpi{120} \lim_{x\rightarrow x_{0}}h\left ( x \right )=g_{2}$ , to

1) $\dpi{120} \lim_{x\rightarrow x_{0}}\left (f\left ( x \right ) \pm h\left ( x \right ) \right )=g_{1}\pm g_{2},$

2) $\dpi{120} \lim_{x\rightarrow x_{0}}\left (f\left ( x \right ) \cdot h\left ( x \right ) \right )=g_{1}\cdot g_{2},$

3) $\dpi{120} \lim_{x\rightarrow x_{0}}\frac{f\left ( x \right )}{h\left ( x \right )}=\frac{g_{1}}{g_{2}}$ o ile $\dpi{120} g_{2}\neq 0.$

Twierdzenie 2. ( o granicy funkcji złożonej)

Jeżeli $\dpi{120} \lim_{x\rightarrow x_{0}}f\left ( x \right )=y_{0}$ i $\dpi{120} \lim_{x\rightarrow x_{0}}h\left ( x \right )=g$ oraz $\dpi{120} f\left ( x \right )\neq y_{0}$ dla każdego $\dpi{120} x$ z pewnego sąsiedztwa punktu $\dpi{120} x_{0}$ , to:

$\dpi{120} \lim_{x\rightarrow x_{0}}h\left ( f\left (x \right ) \right )=\lim_{y\rightarrow y_{0}}h\left ( y \right )=g.$

Jeżeli w określeniu granicy funkcji $\dpi{120} f\left ( x \right )$ w punkcie $\dpi{120} x_{0}$ zastąpimy sąsiedztwo $\dpi{120} S$ tego punktu przez sąsiedztwo lewostronne $\dpi{120} \left ( x_{0}-\delta ;x_{0} \right )$ albo prawostronne $\dpi{120} \left ( x_{0};x_{0}+\delta \right )$ , to otrzymamy określenie tzw. granicy jednostronnej, odpowiednio:

– lewostronnej $granica funkcji lewostronna$

– prawostronnej $granica funkcji prawostronna$

Twierdzenie 3.

Funkcja $\dpi{120} f\left ( x \right )$ ma granicę w punkcie $\dpi{120} x_{0}$ wtedy i tylko wtedy, gdy

$\dpi{120} \lim_{x\rightarrow x{_{0}}^{-}}f\left ( x \right )=\lim_{x\rightarrow x{_{0}}^{+}}f\left ( x \right ).$

CIĄGŁOŚĆ FUNKCJI

Funkcję $\dpi{120} f\left ( x \right )$ nazywamy ciągłą w punkcie $\dpi{120} x_{0}$ wtedy i tylko wtedy, gdy

$ciągłość funkcji w punkcie$

Funkcję nazywamy prawostronnie (lewostronnie) ciągłą w punkcie $\dpi{120} x_{0}$ wtedy i tylko wtedy, gdy

$\dpi{120} \lim_{x\rightarrow x{_{0}}^{-}}f\left ( x \right )=f\left ( x_{0} \right )\; \; \; \left ( \lim_{x\rightarrow x{_{0}}^{+}}f\left ( x \right )=f\left ( x_{0} \right )\right ).$

Funkcja jest ciągła w punkcie $\dpi{120} x_{0}$ wtedy i tylko wtedy, gdy jest w tym punkcie prawostronnie i lewostronnie ciągła.

W zakładce Wzory znajdziemy schematy liczenia granic funkcji (bez reguły de l’Hospitala), podzielone na grupy.

Zapraszamy do zadań! tutaj