Kategoria: Teoria

Wzajemne położenie prostych – teoria

Data wpisu przez Joanna Piasecka

Niech będą dane dwie proste i o wektorach kierunkowych odpowiednio  i  oraz przechodzące przez punkty , . PROSTE RÓWNOLEGŁE Proste są równoległe, gdy ich wektory kierunkowe są równoległe, tzn. istnieje takie, że Odległość prostych równoległych liczymy jako odległość punktów  i , które otrzymujemy w sposób następujący. Znajdujemy płaszczyznę  prostopadłą do prostych . Punkt  jest punktem Read more about Wzajemne położenie prostych – teoria[…]

Wzajemne położenie płaszczyzn – teoria

Data wpisu przez Joanna Piasecka

Niech będą dane dwie płaszczyzny: Wzajemne położenie tych płaszczyzn określają ich wektory normalne  oraz . Są cztery przypadki wzajemnego położenia płaszczyzn. 1. PŁASZCZYZNY RÓWNOLEGŁE Ich wektory normalne  i  są wówczas równoległe, a więc ich współrzędne są proporcjonalne. Dostajemy zatem warunek: Odległością płaszczyzn równoległych jest odległość dowolnego punktu  należącego do jednej z płaszczyzn od drugiej płaszczyzny. Read more about Wzajemne położenie płaszczyzn – teoria[…]

Prosta w przestrzeni – teoria

Data wpisu przez Joanna Piasecka

RÓWNANIE KRAWĘDZIOWE PROSTEJ Rozważmy dwie nierównoległe płaszczyzny  i  odpowiednio o równaniach: Płaszczyzny te przecinają się wzdłuż pewnej prostej . Dlatego też układ równań określa prostą w przestrzeni i nazywany jest postacią krawędziową prostej. Z postaci tej nie widać bezpośrednio kierunku prostej . RÓWNANIE PARAMETRYCZNE PROSTEJ Niech będzie dany punkt  oraz niezerowy wektor  wyznaczający kierunek prostej Read more about Prosta w przestrzeni – teoria[…]

Płaszczyzna w przestrzeni – teoria

Data wpisu przez Joanna Piasecka

RÓWNANIE OGÓLNE PŁASZCZYZNY Niech  będzie dowolnym punktem przestrzeni  oraz wektorem z tej przestrzeni. Płaszczyznę  określamy jako zbiór punktów  takich, że wektor  jest prostopadły do wektora . Z warunku prostopadłości wektorów mamy, że: Oznacza to, że Kładąc  otrzymujemy równanie płaszczyzny  postaci: Równanie to nazywamy równaniem ogólnym płaszczyzny . Wektor prostopadły do płaszczyzny  nazywamy wektorem normalnym. Jednym Read more about Płaszczyzna w przestrzeni – teoria[…]

Iloczyn skalarny, wektorowy i mieszany – teoria

Data wpisu przez Joanna Piasecka

Dla prostoty pomijamy znak wektora nad , czyli: . ILOCZYN SKALARNY DEFINICJA 1. Niech  będzie przestrzenią wektorową nad ciałem . Odwzorowanie spełniające dla dowolnych  i dowolnego  następujące warunki: 1) 2)    i   3) 4)    i   nazywamy iloczynem skalarnym. Iloczyn skalarny wektorów  przyjęło się również oznaczać . A więc iloczyn skalarny jest to funkcja określona Read more about Iloczyn skalarny, wektorowy i mieszany – teoria[…]

Baza i wymiar przestrzeni wektorowej – teoria

Data wpisu przez Joanna Piasecka

DEFINICJA 1.  Wektory  przestrzeni wektorowej  nad ciałem  nazywamy bazą tej przestrzeni, gdy każdy wektor  można przedstawić jednoznacznie w postaci: tzn. każdy element przestrzeni  jest kombinacją liniową wektorów bazowych. Uwaga. Przestrzeń wektorowa  może mieć wiele baz. Jeśli przestrzeń wektorowa  ma bazę skończoną, to mówimy, że  jest przestrzenią skończenie wymiarową. Wówczas wszystkie bazy tej przestrzeni mają tyle Read more about Baza i wymiar przestrzeni wektorowej – teoria[…]

Liniowa niezależność wektorów – teoria

Data wpisu przez Joanna Piasecka

Układ  złożony z niepustego zbioru , ciała  oraz dwu działań:   – dodawanie wektorów        – mnożenie wektora przez skalar spełniający następujące warunki: 1) struktura   jest grupą abelową, 2)    – łączność 3)        – rozdzielność 4) nazywamy przestrzenią wektorową  nad ciałem . Elementy grupy  nazywamy wektorami, elementy ciała  nazywamy skalarami. Działanie Read more about Liniowa niezależność wektorów – teoria[…]

Pola i objętości figur obrotowych – teoria

Data wpisu przez Joanna Piasecka

Jeżeli krzywa wyznaczona jest równaniem postaci , przy czym funkcja ma w przedziale pochodną ciągłą, to długość łuku w tym przedziale wyraża się wzorem:   Niech dany będzie łuk o równaniu , gdzie jest funkcją ciągłą i nieujemną w przedziale . Wówczas objętość bryły obrotowej ograniczonej powierzchnią, która powstaje, gdy łuk obraca się dookoła osi Read more about Pola i objętości figur obrotowych – teoria[…]

Całki niewłaściwe – teoria

Data wpisu przez Joanna Piasecka

Całki niewłaściwe I rodzaju Są to całki na przedziale nieskończonym. Dlatego też rozróżniamy trzy typy takich całek. 1. Jeżeli funkcja  jest całkowalna na przedziale  dla każdego , to jej całkę niewłaściwą na przedziale  określamy następująco: 2. Jeżeli funkcja  jest całkowalna na przedziale dla każdego , to jej całkę niewłaściwą na przedziale określamy następująco: 3. Jeżeli funkcja  jest całkowalna na Read more about Całki niewłaściwe – teoria[…]

Całka oznaczona jako pole obszaru – teoria

Data wpisu przez Joanna Piasecka

Dana jest funkcja ciągła w przedziale . Całką oznaczoną funkcji w przedziale nazywamy różnicę wartości dowolnej funkcji pierwotnej na końcach przedziału całkowania, co zapisujemy następująco: Liczbę nazywamy dolną granicą całkowania, zaś – górną granicą całkowania. Jeżeli istnieje , to mówimy, że funkcja jest całkowalna w przedziale . Podstawowe własności całek oznaczonych: 1. 2. 3. 4. Read more about Całka oznaczona jako pole obszaru – teoria[…]