Przed przystąpieniem do zadań warto zapoznać się z zakładkami Teoria tutaj i Wzory tutaj.
Zadanie 1. Wykonać działania:
a) dla
Rozwiązanie
1. odejmujemy od siebie wyrazy stojące na tych samych miejscach w obydwu macierzach
b) dla
Rozwiązanie
1.mnożymy każdy wyraz macierzy przez 2, macierzy przez 3 (można również pomnożyć drugą macierz przez -3, ale wówczas między macierzami postawimy znak +)
2. odejmujemy od siebie wyrazy stojące na tych samych miejscach w obydwu macierzach
c) dla ,
Rozwiązanie
1. transponujemy macierz , czyli zamieniamy wiersze z kolumnami, tzn. pierwszą kolumnę wpisujemy jako pierwszy wiersz, drugą kolumnę jako drugi wiersz 2. mnożymy każdy wyraz macierzy przez 3. odejmujemy od siebie wyrazy stojące na tych samych miejscach w obydwu macierzach
d) , dla , ,
Rozwiązanie
1. transponujemy macierz , czyli zamieniamy wiersze z kolumnami, tzn. pierwszą kolumnę wpisujemy jako pierwszy wiersz, drugą kolumnę jako drugi wiersz
2. mnożymy każdy wyraz macierzy przez oraz każdy wyraz macierzy przez
3. dodajemy i odejmujemy odpowiednie wyrazy we wszystkich trzech macierzach
e) oraz dla ,,
Rozwiązanie
Obliczamy kolejne wyrazy macierzy:
– liczymy mnożąc 1 wiersz macierzy A przez 1 kolumnę macierzy B, tzn.
– liczymy mnożąc 1 wiersz macierzy A przez 2 kolumnę macierzy B, tzn.
– liczymy mnożąc 2 wiersz macierzy A przez 1 kolumnę macierzy B, tzn.
– liczymy mnożąc 2 wiersz macierzy A przez 2 kolumnę macierzy B, tzn.
Wstawiamy w odpowiednie miejsca macierzy. Mówią nam o tym wskaźniki wyrazu np. wstawiamy na przecięciu 2 wiersza i 1 kolumny.
Teraz liczymy analogicznie:
Obliczamy kolejne wyrazy macierzy:
– liczymy mnożąc 1 wiersz macierzy A przez 1 kolumnę macierzy B, tzn.
– liczymy mnożąc 2 wiersz macierzy A przez 2 kolumnę macierzy B, tzn.
– liczymy mnożąc 2 wiersz macierzy A przez 1 kolumnę macierzy B, tzn.
– liczymy mnożąc 2 wiersz macierzy A przez 2 kolumnę macierzy B, tzn.
Wstawiamy w odpowiednie miejsca macierzy. Mówią nam o tym wskaźniki wyrazu np. wstawiamy na przecięciu 2 wiersza i 1 kolumny.
Przykład ten pokazuje, że mnożenie macierzy nie jest przemienne. Bardzo ważne!!!
f) dla , ,
Rozwiązanie
Mnożenie macierzy jest wykonalne, gdyż macierz A ma 3 wiersze i 2 kolumny, macierz B ma 2 wiersze i 4 kolumny. Liczba kolumn macierzy A zgadza się z liczbą wierszy macierzy B (dwa). W wyniku otrzymamy macierz o wymiarach: 3 wiersze (tyle samo co w A) i 4 kolumny (tyle samo co w B).
Zauważmy, że iloczyn jest niewykonalny, gdyż w macierzy B mamy 4 kolumny, zaś w macierzy A wierszy jest 3. Na tym przykładzie widzimy również brak przemienności mnożenia macierzy.
g) dla ,
Rozwiązanie
Policzmy najpierw:
,
- Wykorzystujemy, że .
Wracamy do wyrażenia :
- mnożymy macierze przez liczbę rzeczywistą, czyli mnożymy każdy wyraz macierzy przez daną liczbę
h) dla , , ,
Rozwiązanie
- Wykonujemy transponowanie macierzy, czyli 1 wiersz zapisujemy jako 1 kolumnę, 2 wiersz jako 2 kolumnę. Mnożymy również macierz przez liczbę 2, a więc mnożymy każdy wyraz macierzy przez 2.
i) dla , , .
Rozwiązanie
- Za macierz wstawiamy macierz jednostkową, w tym przypadku będzie ona wymiaru: 2 wiersze i 2 kolumny, gdyż widać, że pozostałe macierze będą właśnie takich wymiarów.
- Mnożymy macierze A·B, a dopiero później mnożymy je przez 2. Tak jest wygodniej, niż najpierw pomnożyć macierz A przez 2, a później mnożyć macierze. Są mniejsze liczby. Ponadto transponujemy macierz C, czyli zamieniamy wiersze z kolumnami.
Zadania 2. Znaleźć macierz spełniającą równanie:
a) ,
Rozwiązanie
Przewidujemy, że macierz będzie miała postać , gdyż macierz po prawej stronie równania jest wymiaru . Jednym z warunków równości macierzy jest zgodność ich wymiarów. Następnie mamy, że . Wstawiając do równania otrzymujemy:
Aby macierze były równe, odpowiadające sobie elementy muszą być równe. Powstaje więc układ równań:
Rozwiązując powyższy układ otrzymujemy
Szukana macierz ma postać .
b) ,
Rozwiązanie
1. Przewidujemy, że macierz będzie miała postać , gdyż macierz po prawej stronie równania jest wymiary . Jednym z warunków równości macierzy jest zgodność ich wymiarów. Następnie mamy, że . Wstawiając do równania otrzymujemy:
2. Aby macierze były równe, odpowiadające sobie elementy muszą być równe. Powstaje więc układ równań:
Rozwiązując powyższy układ otrzymujemy
3. Szukana macierz ma postać .
c) ,
Rozwiązanie
1. Przewidujemy, że macierz będzie miała postać , gdyż macierz po prawej stronie równania jest wymiaru . Jednym z warunków równości macierzy jest zgodność ich wymiarów. Następnie mamy, że . Wstawiając do równania otrzymujemy:
2. Aby macierze były równe, odpowiadające sobie elementy muszą być równe. Powstaje więc układ równań:
Zauważmy, że jedynymi rozwiązaniami pierwszego równania są oraz . Równania drugie i trzecie są takie same. Wstawiając do nich i otrzymujemy :
– sprzeczność
Zatem nie istnieje macierz spełniająca równanie .
d) ,
Rozwiązanie
1. Przewidujemy, że macierz będzie miała postać , gdyż macierz po prawej stronie równania jest wymiaru . Jednym z warunków równości macierzy jest zgodność ich wymiarów. Wstawiając do równania otrzymujemy:
2. Aby macierze były równe, odpowiadające sobie elementy muszą być równe. Powstaje więc układ równań:
3. Rozpatrzmy pierwszy przypadek dla . Wstawiając do pozostałych równań otrzymujemy:
Należy teraz rozpatrzyć kolejne podprzypadki (wszystkie kombinacje i ). Jest 4 możliwości:
1. . Wstawiamy do drugiego równania:
2. . Wstawiamy do drugiego równania:
– sprzeczność
3.
– sprzeczność
4.
.
Ostatecznie dla otrzymaliśmy dwie macierze: oraz .
4. Rozpatrzmy drugi przypadek . Wstawiając do pozostałych równań otrzymujemy:
– sprzeczność
Zatem w tym przypadku nie ma rozwiązań.
Podsumowując, rozwiązaniami tego równania są: oraz .
e) dla , ,
Rozwiązanie
Przykład ten można rozwiązywać sposobem z poprzednich zadań, ale w tym wypadku raczej się to nie opłaca. Przekształćmy zatem równanie i wyliczmy z niego macierz niewiadomą .
Wstawiamy za A i B odpowiednie macierze:
(transponowanie – zamiana wierszy z kolumnami)
(mnożymy każdy wyraz macierzy przez 2)
(odejmujemy odpowiadające sobie wyrazy macierzy)
(każdy wyraz macierzy mnożymy przez )
Szukaną macierzą jest .
f) dla , .
Rozwiązanie Przekształcamy równanie i wyliczamy macierz niewiadomą Wstawiamy za A i B odpowiednie macierze: (transponowanie – zamiana wierszy z kolumnami) (mnożymy każdy wyraz macierzy przez 2) (odejmujemy odpowiadające sobie wyrazy macierzy)
(każdy wyraz macierzy mnożymy przez ) .
Zadanie 3. Rozwiązać układ równań:
a) ,
Rozwiązanie Zauważmy z pierwszego równania, że szukane macierze muszą być wymiaru 2 wiersze i 2 kolumny. Wobec tego macierz jednostkowa . Otrzymujemy: Układ ten można rozwiązywać różnymi metodami. My zastosujemy metodę przeciwnych współczynników. Pomnóżmy zatem pierwsze równanie przez -2. Mamy:
Dodajmy równania stronami:
Macierz wstawiamy np. do równania . Otrzymujemy:
Rozwiązaniami układu równań są macierze oraz .
b) .
Rozwiązanie Zauważmy z pierwszego równania, że szukane macierze muszą być wymiaru 2 wiersze i 2 kolumny. Wobec tego macierz jednostkowa . Otrzymujemy:
Zastosujemy metodę przeciwnych współczynników i pomnóżmy pierwsze równanie przez 2. Mamy:
Dodajmy równania stronami:
Macierz wstawiamy np. do równania . Otrzymujemy:
Rozwiązaniami układu równań są macierze oraz .
Zadanie 4. Korzystając z rozdzielności mnożenia względem dodawania macierzy obliczyć:
Rozwiązanie Oczywiście w zadaniu tym możemy po prostu wymnożyć te macierz, dostaniemy duże liczby, ale to nie o to chodzi. Należy skorzystać z prawa rozdzielności, a więc tak rozpisać drugą macierz, aby mnożenie okazało się łatwiejsze (teoretycznie bez kalkulatora). My rozpiszemy ją jako różnicę dwóch macierzy: Otrzymujemy: Tutaj korzystamy z prawa rozdzielności Ponadto wyłączamy przed iloczyn liczbę 100.