Zmienne losowe skokowe (zadania)

Mamy 7 zadań. Trzy pierwsze zadania pokazują jak przechodzić od funkcji prawdopodobieństwa do dystrybuanty i odwrotnie. Kolejne cztery zadania są zadaniami z treścią. Należy samemu ułożyć tabelę rozkładu prawdopodobieństwa i przystąpić do kolejnych rachunków analogicznych jak w pierwszych zadaniach. Należy na nie zwrócić szczególną uwagę, gdyż często pojawiają się na sprawdzianach. Warto zapoznać się z zakładką Teoria. tutaj

Zadanie 1. Zmienna losowa skokowa ma funkcję prawdopodobieństwa określoną w tabeli:

$\dpi{120} x_{i}$	-3	0	1	4
$\dpi{120} p_{i}$	0,2	0,1	0,5	0,2

Znaleźć dystrybuantę zmiennej losowej $\dpi{120} \large \! X$ .

Rozwiązanie

Dystrybuanta jest określona na całym zbiorze liczb rzeczywistych. Punkty skokowe są granicami przedziałów. Ponadto dystrybuanta jest funkcją lewostronnie ciągłą, więc przedziały domykamy z prawej strony. Dystrybuantę możemy podać w formie tabeli lub funkcji z klamrą.Wartości dystrybuanty zawsze zaczynają się od zera, kończą w jedynce.

$\dpi{120} x$	$\dpi{120} \left ( -\infty ;-3 \right >$	$\dpi{120} \left ( -3 ;0 \right >$	$\dpi{120} \left ( 0 ;1 \right >$	$\dpi{120} \left ( 1 ;4 \right >$	$\dpi{120} \left ( 4;+\infty \right )$
$\dpi{120} F\left ( x \right )$	0	0,2	0,2+0,1=0,3	0,3+0,5=0,8	0,8+0,2=1

lub

$\dpi{120} F\left ( x \right )=\left\{\begin{matrix} 0 & dla & x\leqslant -3\\ 0,2 & dla& -3<x\leqslant 0\\ 0,3& dla & 0<x\leqslant 1\\ 0,8& dla &1<x\leqslant 4 \\ 1 & dla & x>4 \end{matrix}\right.$

Pokaż rozwiązanie

Zwiń

Zadanie 2. Mając daną dystrybuantę zmiennej losowej $\dpi{120} \large \! X$ , znaleźć funkcję prawdopodobieństwa:

$\dpi{120} \large F\left ( x \right )=\left\{\begin{matrix} 0 & dla & x\leqslant -2\\ 0,3 & dla& -2<x\leqslant 0\\ 0,5 & dla & 0<x\leqslant 2\\ 0,7& dla& 2<x\leqslant 5\\ 1 & dla & x>5 \end{matrix}\right.$

Rozwiązanie

Punkty skokowe są widoczne jako końce przedziałów. Skoki liczymy jako różnicę wartości dystrybuanty.

$\dpi{120} x_{i}$	-2	0	2	5
$\dpi{120} p_{i}$	0,3	0,5-0,3=0,2	0,7-0,5=0,2	1-0,7=0,3

Pokaż rozwiązanie

Zwiń

Zadanie 3. Dystrybuanta zmiennej losowej $\dpi{120} \large \! X$ dana jest wzorem:

$\dpi{120} \large F\left ( x \right )=\left\{\begin{matrix} 0 & dla &x\leqslant 1 \\ \frac{1}{7} & dla & 1<x\leqslant 2\\ \frac{3}{7}& dla & 2<x\leqslant 5\\ \frac{6}{7}& dla & 5<x\leqslant 10\\ 1& dla & x>10 \end{matrix}\right.$

Określić funkcję prawdopodobieństwa tej zmiennej, obliczyć $\dpi{120} \large P\left ( 1< X\leqslant 8 \right )$ .

Rozwiązanie

Tworzymy tabelę funkcji prawdopodobieństwa:

$\dpi{120} x_{i}$	1	2	5	10
$\dpi{120} p_{i}$	$\dpi{120} \frac{1}{7}$	$\dpi{120} \frac{3}{7}-\frac{1}{7}=\frac{2}{7}$	$\dpi{120} \frac{6}{7}-\frac{3}{7}=\frac{3}{7}$	$\dpi{120} 1-\frac{6}{7}=\frac{1}{7}$

Liczymy prawdopodobieństwo $\dpi{120} P\left ( 1< X\leqslant 8 \right )$ . Szukamy punktów skokowych zawierających się w przedziale $\dpi{120} \left ( 1;8 \right \rangle$ . Są to $\dpi{120} X=2$ oraz $\dpi{120} X=5$ . Mamy zatem:

$\dpi{120} P\left ( 1< X\leqslant 8 \right )=P\left ( X=2 \right )+P\left ( X=5 \right )=\frac{2}{7}+\frac{3}{7}=\frac{5}{7}$

Pokaż rozwiązanie

Zwiń

Zadanie 4. Rzucono trzy razy monetą. Niech $\dpi{120} \large \! X$ oznacza różnicę pomiędzy liczbą orłów a reszek w tym doświadczeniu. Wyznaczyć:

a) funkcję prawdopodobieństwa zmiennej losowej $\dpi{120} \large \! X$ ,

b) dystrybuantę zmiennej losowej $\dpi{120} \large \! X$ ,

c) $\dpi{120} \large P\left ( -1\leqslant X<3 \right ),\; P\left ( -2\leqslant X<1 \right ),\; P\left ( -1\leqslant X\leqslant 3 \right ),\; P\left ( -1<X<4 \right )$ .

Rozwiązanie

a) Wypiszmy wszystkie możliwe zdarzenia losowe:

$\dpi{120} \Omega =\left \{ \underset{3-0=3}{\underbrace{\left ( O,O,O \right )}},\underset{2-1=1}{\underbrace{\left ( O,O,R \right ),\left ( O,R,O \right ) ,\left ( R,O,O \right )}},\underset{1-2=-1}{\underbrace{\left ( O,R,R \right ),\left ( R,O,R \right ),\left ( R,R,O \right )}},\underset{0-3=-3}{\underbrace{\left ( R,R,R \right )}}\right \}$

Zmienna losowa oznacza różnicę pomiędzy liczbą orłów i reszek. Pod klamrami oznaczono wartości tej różnicy. Zatem wartościami zmiennej losowej $\dpi{120} X$ są:

$\dpi{120} K_{X}=\left \{ -3,-1,1,3 \right \}$

Liczymy prawdopodobieństwa:

$\dpi{120} P\left ( X=-3 \right )=\frac{1}{8}$

$\dpi{120} P\left ( X=-1 \right )=\frac{3}{8}$

$\dpi{120} P\left ( X=1 \right )=\frac{3}{8}$

$\dpi{120} P\left ( X=3 \right )=\frac{1}{8}$

Zawsze sprawdźmy, czy suma prawdopodobieństw sumuje się do jednego. Jak widzimy tak jest. Tworzymy tabelę funkcji prawdopodobieństwa:

$\dpi{120} x_{i}$	-3	-1	1	3
$\dpi{120} p_{i}$	$\dpi{120} \frac{1}{8}$	$\dpi{120} \frac{3}{8}$	$\dpi{120} \frac{3}{8}$	$\dpi{120} \frac{1}{8}$

b) Tworzymy tabelę dystrybuanty jak w zadaniu 1.

$\dpi{120} x$	$\dpi{120} \left ( -\infty ;-3 \right >$	$\dpi{120} \left ( -3 ;-1 \right >$	$\dpi{120} \left ( -1 ;1 \right >$	$\dpi{120} \left ( 1 ;3 \right >$	$\dpi{120} \left ( 3;+\infty \right )$
$\dpi{120} F\left ( x \right )$	$\dpi{120} 0$	$\dpi{120} \frac{1}{8}$	$\dpi{120} \frac{1}{8}+\frac{3}{8}=\frac{4}{8}$	$\dpi{120} \frac{4}{8}+\frac{3}{8}=\frac{7}{8}$	$\dpi{120} \frac{7}{8}+\frac{1}{8}=1$

c) $\dpi{120} P\left ( -1\leqslant X<3 \right )=P\left ( X=-1 \right )+P\left ( X=1 \right )=\frac{3}{8}+\frac{3}{8}=\frac{6}{8}$

Patrzymy, które wartości zmiennych losowych zawierają się w przedziale $\dpi{120} \left < -1;3 \right )$ . Wartości prawdopodobieństw odczytujemy z tabeli funkcji prawdopodobieństwa.

$\dpi{120} P\left ( -2\leqslant X<1 \right )=P\left ( X=-1 \right )=\frac{3}{8}$

$\dpi{120} P\left ( -1\leqslant X\leqslant 3 \right )=P\left ( X=-1 \right )+P\left ( X=1 \right )+P\left ( X=3 \right )=\frac{3}{8}+\frac{3}{8}+\frac{1}{8}=\frac{7}{8}$

$\dpi{120} P\left ( -1< X< 4 \right )=P\left ( X=1 \right )+P\left ( X=3 \right )=\frac{3}{8}+\frac{1}{8}=\frac{4}{8}$

Pokaż rozwiązanie

Zwiń

Zadanie 5. Rzucamy dwiema kościami. Jeśli suma oczek jest równa 2 to otrzymujemy 10 zł, jeśli 3 to otrzymujemy 5 zł, a w każdym innym przypadku płacimy 1 zł. Niech $\dpi{120} \large \! X$ oznacza wygraną. Znaleźć funkcję prawdopodobieństwa i dystrybuantę zmiennej losowej $\dpi{120} \large \! X$ .

Rozwiązanie

Zmienna losowa $\dpi{120} X$ oznacza wygraną w grze. Przez wygraną rozumiemy zarówno zarobienie pewnej kwoty, jak również jej przegranie. Stąd wartościami naszej zmiennej losowej są:

$\dpi{120} K_{X}=\left \{ -1,5,10 \right \}$

Liczymy prawdopodobieństwa:

$\dpi{120} P\left ( X=-1 \right )$ – zostawiamy na koniec

$\dpi{120} P\left ( X=5 \right )=\frac{2}{36}$ – wszystkich zdarzeń losowych jest $\dpi{120} 6^{2}$ , zdarzeń sprzyjających dwa. Są nimi $\dpi{120} \left ( 1,2 \right )$ oraz $\dpi{120} \left ( 2,1 \right )$

$\dpi{120} P\left ( X=10 \right )=\frac{1}{36}$ – wszystkich zdarzeń losowych jest $\dpi{120} 6^{2}$ , zdarzeń sprzyjających jedno $\dpi{120} \left ( 1,1 \right )$

$\dpi{120} P\left ( X=-1 \right )=1-\frac{2}{36}-\frac{1}{36}=\frac{33}{36}$

Tworzymy tabelę funkcji prawdopodobieństwa:

$\dpi{120} x_{i}$	-1	5	10
$\dpi{120} p_{i}$	$\dpi{120} \frac{33}{36}$	$\dpi{120} \frac{2}{36}$	$\dpi{120} \frac{1}{36}$

Tworzymy tabelę dystrybuanty:

$\dpi{120} x$	$\dpi{120} \left ( -\infty ;-1 \right >$	$\dpi{120} \left ( -1 ;5 \right >$	$\dpi{120} \left ( 5 ;1 0\right >$	$\dpi{120} \left ( 10;+\infty \right )$
$\dpi{120} F\left ( x \right )$	$\dpi{120} 0$	$\dpi{120} \frac{33}{36}$	$\dpi{120} \frac{33}{36}+\frac{2}{36}=\frac{35}{36}$	$\dpi{120} \frac{35}{36}+\frac{1}{36}=1$

Pokaż rozwiązanie

Zwiń

Zadanie 6. W urnie jest 5 kul białych i 4 czarne. Z urny losujemy bez zwracania 3 kule. Zmienna losowa $\dpi{120} \large \; X$ oznacza liczbę wybranych kul białych. Znaleźć funkcję prawdopodobieństwa i dystrybuantę tej zmiennej losowej.

Rozwiązanie

Wartością zmiennej losowej jest wylosowana liczba kul białych. Zatem:

$\dpi{120} K_{X}=\left \{ 0,1,2,3 \right \}$

Liczymy prawdopodobieństwa.

Losujemy trzy czarne kule:

$\dpi{120} P\left ( X=0 \right )=\frac{4}{9}\cdot \frac{3}{8}\cdot \frac{2}{7}=\frac{2\cdot 3\cdot 4}{7\cdot 8\cdot 9}$

Losujemy 1 białą kulę i 2 czarne. Są trzy możliwości (jednakowo prawdopodobne): (b, cz,cz), (cz, b, cz), (cz, cz, b). Wybierzmy np. możliwość (b, cz, cz) i otrzymane prawdopodobieństwo pomnóżmy przez 3.

$\dpi{120} P\left ( X=1 \right )=3\cdot \left ( \frac{5}{9}\cdot \frac{4}{8} \cdot \frac{3}{7}\right )=\frac{3\cdot 3\cdot 4\cdot 5}{7\cdot 8\cdot 9}$

Losujemy 2 białe kule i 1 czarną. Są trzy możliwości (jednakowo prawdopodobne): (b, b,cz), (cz, b, b), (b, cz, b). Wybierzmy np. możliwość (b, b, cz) i otrzymane prawdopodobieństwo pomnóżmy przez 3.

$\dpi{120} P\left ( X=2 \right )=3\cdot \left ( \frac{5}{9}\cdot \frac{4}{8} \cdot \frac{4}{7}\right )=\frac{3\cdot 4\cdot 4\cdot 5}{7\cdot 8\cdot 9}$

Losujemy trzy białe kule:

$\dpi{120} P\left ( X=3 \right )=\frac{5}{9}\cdot \frac{4}{8}\cdot \frac{3}{7}=\frac{3\cdot 4\cdot 5}{7\cdot 8\cdot 9}$

Tworzymy tabelę funkcji prawdopodobieństwa:

$\dpi{120} x_{i}$	0	1	2	3
$\dpi{120} p_{i}$	$\dpi{120} \frac{2\cdot 3\cdot 4}{7\cdot 8\cdot 9}$	$\dpi{120} \frac{3\cdot 3\cdot 4\cdot 5}{7\cdot 8\cdot 9}$	$\dpi{120} \frac{3\cdot 4\cdot 4\cdot 5}{7\cdot 8\cdot 9}$	$\dpi{120} \frac{ 3\cdot 4\cdot 5}{7\cdot 8\cdot 9}$

Można sprawdzić, czy suma prawdopodobieństw sumuje się do 1.

Pokaż rozwiązanie

Zwiń

Zadanie 7. Strzelec strzela do celu tyle razy aż trafi, nie więcej jednak niż 4 razy. Prawdopodobieństwo trafienia do celu w jednym strzale wynosi $\dpi{120} \frac{3}{4}$ . Znaleźć funkcję prawdopodobieństwa zmiennej losowej $\dpi{120} \large \; X$ oznaczającej liczbę oddanych strzałów.

Rozwiązanie

Wartościami zmiennej losowej jest liczba oddanych strzałów. Można strzelić 1, 2, 3 lub 4 razy. Zatem:

$\dpi{120} K_{X}=\left \{ 1,2,3,4 \right \}$

Liczymy prawdopodobieństwa:

$\dpi{120} P\left ( X=1 \right )=\frac{3}{4}$ – strzelec trafia za pierwszym razem

$\dpi{120} P\left ( X=2 \right )=\frac{1}{4}\cdot \frac{3}{4}=\frac{3}{4^{2}}$ – strzelec trafia za drugim razem

$\dpi{120} P\left ( X=3 \right )=\frac{1}{4}\cdot \frac{1}{4}\cdot \frac{3}{4}=\frac{3}{4^{3}}$ – strzelec trafia za trzecim razem

$\dpi{120} P\left ( X=4 \right )=\frac{1}{4}\cdot \frac{1}{4}\cdot \frac{1}{4}\cdot \frac{3}{4}+\frac{1}{4}\cdot \frac{1}{4}\cdot \frac{1}{4}\cdot \frac{1}{4}=\frac{3+1}{4^{4}}=\frac{1}{4^{3}}$ – strzelec trafia za czwartym razem lub nie trafia wcale (może strzelić tylko cztery razy)