Zmienne losowe skokowe (teoria)

Pojęcie zmiennej losowej jest jednym z podstawowych pojęć rachunku prawdopodobieństwa. Jeżeli każdemu zdarzeniu elementarnemu przyporządkowujemy liczbę rzeczywistą, to mówimy, że została określona zmienna losowa jednowymiarowa, albo w skrócie – zmienne losowa. Zmienna losowa jest więc funkcją, której dziedziną jest zbiór zdarzeń elementarnych $\dpi{120} \Omega$ , a wartościami są liczby rzeczywiste.

Zmienne losowe oznaczamy wielkimi literami: $\dpi{120} X,Y,...$ .

Prawdopodobieństwo przyjęcia przez zmienną losową $\dpi{120} X$ wartości mniejszej od $\dpi{120} x$ oznaczamy $\dpi{120} F\left ( x \right )$ i nazywamy dystrybuantą zmiennej losowej $\dpi{120} X$ , tj.

$\dpi{120} F\left ( x \right )=P\left ( X<x \right ).$

Dystrybuanta $\dpi{120} F\left ( x \right )$ dowolnej zmiennej losowej $\dpi{120} X$ jest funkcją:

1. lewostronnie ciągła,

2. niemalejąca,

3. spełnia warunki: $\dpi{120} \lim_{x\rightarrow -\infty }F\left ( x \right )=0$ oraz $\dpi{120} \lim_{x\rightarrow +\infty }F\left ( x \right )=1$ .

Dla dowolnej dystrybuanty mamy:

$\dpi{120} P\left ( a\leqslant x<b \right )=F\left ( b \right )-F\left ( a \right )$

$\dpi{120} P\left ( x=a \right )=F\left ( a^{+} \right )-F\left ( a \right )$ .

Wynika stąd, że np.:

$\dpi{120} P\left ( a<x<b \right )=P\left ( x<b \right )-P\left ( x<a \right )-P\left ( x=a \right )=$

$\dpi{120} =F\left ( b \right )-F\left ( a \right )-P\left ( x=a \right )$ ,

$\dpi{120} P\left ( a< x\leqslant b \right )=P\left ( x<b \right )+P\left ( X=b \right )-P\left ( x<a \right )-P\left ( x=a \right )=$

$\dpi{120} =F\left ( b \right )-F\left ( a \right )+P\left ( x=b \right )-P\left ( x=a \right )$ .

Zmienną losową skokową nazywamy taką zmienną losową $\dpi{120} X$ , dla której istnieje funkcja $\dpi{120} P\left ( X=x_{k} \right )=p_{k}>0\; \; \left ( k=0,1,2,... \right )$ taka, że dla każdego rzeczywistego $\dpi{120} x$ zachodzi relacja

$\dpi{120} F\left ( x \right )=\sum_{x_{k}<x}^{\, }P\left ( X=x_{k} \right )$

Funkcję

$\dpi{120} P\left ( X=x_{k} \right )=p_{k}$

nazywamy funkcją prawdopodobieństwa zmiennej losowej $\dpi{120} X$ skokowej, wartości $\dpi{120} x_{k}$ nazywamy punktami skokowymi, a prawdopodobieństwa $\dpi{120} p_{k}$ – skokami.

Z definicji wynika, że

$\dpi{120} \sum_{k}^{\, }p_{k}=1$