Twierdzenie Kroneckera-Capellego (teoria)

Niech będzie dany układ równań

$\dpi{120} \left\{\begin{matrix} a_{11}x_{1}+a_{12}x_{2}+...+a_{1n}x_{n}=b_{1}\\ a_{12}x_{1}+a_{22}x_{1}+...+a_{2n}x_{n}=b_{2}\\ \vdots \\ a_{m1}x_{1}+a_{m2}x_{2}+...+a_{mn}x_{n}=b_{m} \end{matrix}\right.$

Macierzą rozszerzoną tego układu równań nazywamy macierz:

$macierz rozszerzona układu równań$

Przypomnijmy,macierz współczynników oznaczyliśmy jako:

$\dpi{120} \bar{A}=\begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} & ... & a_{1n}\\ a_{21} & a_{22} &... & a_{2n}\\ \vdots & & \ddots & \\ a_{m1} & a_{m2} & ... &a_{mn} \end{bmatrix}$

Podstawowym kryterium istnienia rozwiązania takiego układu równań jest

TWIERDZENIE KRONECKERA – CAPELLEGO

Układ równań liniowych

$\dpi{120} \left\{\begin{matrix} a_{11}x_{1}+a_{12}x_{2}+...+a_{1n}x_{n}=b_{1}\\ a_{12}x_{1}+a_{22}x_{2}+...+a_{2n}x_{n}=b_{2}\\ \vdots \\ a_{m1}x_{1}+a_{m2}x_{2}+...+a_{mn}x_{n}=b_{m} \end{matrix}\right.$

ma rozwiązanie wtedy i tylko wtedy, gdy $\dpi{120} rz\, A=rz\bar{A},$ przy czym jeżeli:

$\dpi{120} rz\, A=rz\, \bar{A}=n,$ to układ jest oznaczony (ma jedno rozwiązanie),
$\dpi{120} rz\, A=rz\, \bar{A}<n,$ to układ jest nieoznaczony (ma nieskończenie wiele rozwiązań)
jeżeli $\dpi{120} rzA\neq rz\bar{A},$ to układ jest sprzeczny (brak rozwiązań).

Twierdzenie Kroneckera – Capellego służy do stwierdzenia ilości rozwiązań układu równań. Twierdzenie to nie podaje nam rozwiązania, aby je znaleźć możemy zastosować inne metody np. twierdzenie Cramera tutaj.

Zapraszamy do zadań! tutaj