Prawdopodobieństwo całkowite, wzór Bayesa – zadania

Zadania 1,2 i 3 dotyczą prawdopodobieństwa warunkowego. wykorzystujemy wzór na prawdopodobieństwo warunkowe z zakładki Teoria. tutaj Zadanie 4,5,6 i 7 dotyczą prawdopodobieństwa całkowitego, które pojawia się również w kolejnych zadaniach. Zadania od 9, to zastosowanie wzoru Bayesa. Pamiętajmy jednak, że tam również wykorzystuje się wzór na prawdopodobieństwo całkowite.

 

Zadanie 1. Trzykrotnie rzucamy monetą. Obliczyć prawdopodobieństwo zdarzenia \dpi{120} \large A – wyrzucono dwa razy orła, pod warunkiem, że zaszło zdarzenie \dpi{120} \large Bw pierwszym rzucie wyrzucono orła.

Zadanie 2. Rzucamy dwukrotnie kostką. Obliczyć prawdopodobieństwo zdarzenia \dpi{120} \large A– suma wyrzuconych oczek jest równa \dpi{120} \large 4, pod warunkiem, że zaszło zdarzenie \dpi{120} \large B – w pierwszym rzucie wyrzucono \dpi{120} \large 1.

Zadanie 3. Rzucamy dwukrotnie kostką. Obliczyć prawdopodobieństwo tego, że wypadnie suma oczek mniejsza niż 4, o ile w pierwszym rzucie otrzymaliśmy 1.

Zadanie 4. Ile razy trzeba rzucać dwiema kostkami, aby można z prawdopodobieństwem większym od 0,5 oczekiwać, że przynajmniej jedna suma wyrzuconych oczek będzie równa 12?

Zadanie 5. W sklepie są 3 skrzynie z pomarańczami i 2 skrzynie z cytrynami. W każdej skrzyni z pomarańczami znajduje się 3% owoców zepsutych, natomiast w skrzyniach z cytrynami znajduje się 5% owoców zepsutych. Pobieramy losowo jeden owoc z dowolnej skrzyni. Jakie jest prawdopodobieństwo, że jest zepsuty.

Zadanie 6. Na strzelnicy jest 10 karabinów: 7 z celownikiem, 3 bez celowników.Prawdopodobieństwo trafienia z karabinka z celownikiem wynosi 0,9, a prawdopodobieństwo drugiego przypadku wynosi 0,2. Losowo wybranym karabinkiem trafiamy do celu. Jakie jest prawdopodobieństwo tego, że cel zostanie trafiony?

Zadanie 7. Mamy 3 maszyny typu A, 5 maszyn typu B, 2 maszyny typu C. Każda z nich produkuje tę samą ilość towaru. Dla maszyny typu A mamy: 50% wyrobów I gat., 45% wyrobów II gat., resztę stanowią braki. Dla typu B: 80% I gat., 17% II gat.,reszta braki. Dla typu C: 30% I gat., 69% II gat., 1% braki. Pobieramy losowo jedną sztukę towaru. Obliczyć prawdopodobieństwo tego, że sztuka jest I gatunku.

Zadanie 8. Wśród 9 czekoladek 3 są zatrute (po spożyciu następuje zgon). Wraz z przyjacielem bawicie się w rosyjską ruletkę: kolejno zjadacie po jednej czekoladce. Obliczyć prawdopodobieństwo tego, że:

a) jeśli ty zaczynasz, to przeżyjesz,

b) jeśli ty zacząłeś i przeżyłeś, to przyjaciel przeżyje,

c) jeśli ty zacząłeś i nie przeżyłeś, to przyjaciel przeżyje,

d) jeśli przyjaciel zaczyna, to ty przeżyjesz.

Zadanie 9. Dane są dwie urny z kulami: urna A zawierająca 6 czarnych i 9 białych kul i urna B o zawartości 5 czarnych i 15 białych kul. Wylosowano białą kulę. Jakie jest prawdopodobieństwo, że pochodzi ona z urny A?

Zadanie 10. Na 100 mężczyzn w wieku od 40 do 60 lat 18 ma nadciśnienie tętnicze, zaś na 200 kobiet w tym samym wieku 11 ma nadciśnienie tętnicze. Z grupy o jednakowej liczbie kobiet i mężczyzn wylosowano osobę, która ma nadciśnienie tętnicze. Jakie jest prawdopodobieństwo, że jest to mężczyzna?

Zadanie 11. Na pewnym kierunku studiów skład grup studenckich przedstawia się następująco: w grupie I jest 14 studentek i 11 studentów, w grupie II jest 12 studentek i 12 studentów, a w grupie III 17 studentek i 5 studentów. Z listy alfabetycznej całego roku wybrano losowo jedną osobę, która okazała się studentką. Obliczyć prawdopodobieństwo, że wybrana studentka należy do II grupy.

Zadanie 12. Pewna metoda wykrywania uszkodzeń daje następujące wyniki: jeśli urządzenie ma defekt, to metoda wykrywa go w 90%, jeśli urządzenie nie ma defektu, to w 1% metoda o nim informuje. W partii jest 3% urządzeń mających defekt. Jakie jest prawdopodobieństwo, że wybrane losowo urządzenie jako uszkodzone, jest rzeczywiście uszkodzone.

Zadanie 13. Obszar powietrzny jest kontrolowany przez stację radiolokacyjną. Prawdopodobieństwo, że samolot przeleci nad tym obszarem w czasie krótszym od 1 minuty wynosi 0,3; w czasie od 1 minuty do 2 minut wynosi 0,5; zaś w czasie dłuższym od 2 minut wynosi 0,2. W pierwszym przypadku stacja wykrywa samolot z prawdopodobieństwem 0,6; w drugim 0,8; a w trzecim z prawdopodobieństwem 1.Samolot przelatujący nad tym obszarem nie został wykryty. Obliczyć prawdopodobieństwo, że przeleciał w czasie krótszym od 1 minuty.

Zadanie 14. Student dojeżdża na uczelnię rowerem średnio co drugi dzień, autobusem co trzeci dzień, a tramwajem co szósty. Jadąc rowerem spóźnia się na uczelnię raz na sześćdziesiąt razy, jadąc autobusem – raz na dwadzieścia razy, a tramwajem raz na dziesięć razy. Obliczyć prawdopodobieństwo, że student przyjechał autobusem, jeśli wiadomo, że się nie spóźnił.