Wzór Bayesa (teoria) - WYZNACZNIK - Matematyka na studiach

Prawdopodobieństwem warunkowym $\dpi{120} P\left ( A/B \right )$ zdarzenia $\dpi{120} A$ przy założeniu, że zaszło zdarzenie $\dpi{120} B$ nazywamy iloraz prawdopodobieństwa łącznego zajścia zdarzeń $\dpi{120} A$ i $\dpi{120} B$ i prawdopodobieństwa zdarzenia $\dpi{120} B$

$\dpi{120} P\left ( A/B \right )=\frac{P\left ( A\cap B \right )}{P\left ( B \right )}$ , gdzie $\dpi{120} P\left ( B \right )>0$ .

Układem zupełnym zdarzeń losowych nazywamy ciąg $\dpi{120} \left \{ B_{n} :n\geqslant 1\right \}$ taki, że $\dpi{120} B_{i}\cap B_{j}=\phi,\; i\neq j$ oraz $\dpi{120} \bigcup_{i=1}^{\infty }B_{i}=\Omega$ .

Wzór na prawdopodobieństwo całkowite

Jeśli $\dpi{120} \left \{ B_{n} :n\geqslant 1\right \}$ jest układem zupełnym zdarzeń, to dla dowolnego zdarzenia $\dpi{120} A$ zachodzi wzór:

$\dpi{120} P\left ( A \right )=P\left ( A/B_{1} \right )\cdot P\left ( B_{1} \right )+P\left ( A/B_{2} \right )\cdot P\left ( B_{2} \right )+...+P\left ( A/B_{n} \right )\cdot P\left ( B_{n} \right )$

Zagadnienie Bayesa

Wiemy, że zaszło zdarzenie $\dpi{120} A$ . Interesuje nas prawdopodobieństwo zdarzenia $\dpi{120} B_{k}\: \left ( k=1,2,...,n \right )$ obliczane na podstawie otrzymanej już informacji o zajściu zdarzenia $\dpi{120} A$ , tzn. prawdopodobieństwo

$\dpi{120} P\left ( B_{k} /A\right ),\; k=1,2,...,n$

Zachodzi tzw. wzór Bayesa:

$\dpi{120} P\left ( B_{k}/A \right )=\frac{P\left ( B_{k} \right )\cdot P\left ( A/B_{k} \right )}{P\left ( A \right )}$

Pamiętajmy, że