Mamy 3 zadania. W zadaniu 1 uczymy się rozwiązywać równania jednorodne rzędu II. Chociaż w podpunkcie 8 i 9 tego zadania pojawiają się równania wyższego rzędu. Warto zobaczyć, gdyż nie jest to nic skomplikowanego. W zadaniu 2 dołożony jest warunek początkowy, ale dalej ćwiczymy rozwiązywanie równań jednorodnych. Zadanie 3 to już pełne równanie rzędu II o stałych współczynnikach, które rozwiązujemy metodą przewidywań. Pamiętajmy, że pojawiła się już ona w równaniach liniowych rzędu I. Zasady są takie same. Podpunkty 6, 7 i 8 są trudniejsze. Wkracza tam druga zasada metody przewidywań. Radzimy dobrze je przestudiować, bo niestety często pojawiają się na egzaminach. Warto zapoznać się z zakładką Teoria tutaj, gdzie przedstawiamy schemat rozwiązania.
Zadanie 1. Rozwiąż równanie rzędu II jednorodne o stałych współczynnikach:
1) Rozwiązanie Zapisujemy równanie charakterystyczne dla równania Rozwiązujemy je: Rozwiązanie równania jednorodnego ma postać (patrz zakładka Teoria tutaj):
:
2) Rozwiązanie Zapisujemy równanie charakterystyczne: Rozwiązujemy je licząc deltę lub zauważając, że jest to wzór skróconego mnożenia: Rozwiązanie równania jednorodnego ma postać (patrz zakładka Teoria tutaj): Pamiętajmy, o pomnożeniu przez
– pierwiastek podwójny
w drugim składniku sumy.
3) Rozwiązanie Zapisujemy równanie charakterystyczne: Rozwiązujemy je: Zawsze dostaniemy jako rozwiązania liczby sprzężone. Rozwiązanie równania jednorodnego ma postać (patrz zakładka Teoria tutaj): Minus, który znajduje się w części urojonej jednego z rozwiązań nie ma znaczenia. Opuszczamy go.
4) Rozwiązanie Zapisujemy równanie charakterystyczne: Uwaga na częste błędy. Pojawiają się one już w zapisie równania charakterystycznego, jeżeli jest to niepełna postać. Rozwiązujemy je licząc deltę (wyjdzie ujemna), bądź zauważając, że równanie to w liczbach rzeczywistych nie ma rozwiązań, więc przechodzimy na liczby zespolone. Otrzymaliśmy rozwiązania Rozwiązanie równania jednorodnego ma postać:
. Stąd część rzeczywista
, część urojona
. Pamiętajmy, minus przy części urojonej nie ma znaczenia.
5) Rozwiązanie Zapisujemy równanie charakterystyczne: Uwaga na częste błędy. Pojawiają się one już w zapisie równania charakterystycznego, jeżeli jest to niepełna postać. Rozwiązujemy je: Rozwiązanie równania jednorodnego ma postać:
6) Rozwiązanie Zapisujemy równanie charakterystyczne: Rozwiązujemy je: Rozwiązanie równania jednorodnego ma postać:
7) Rozwiązanie Zapisujemy równanie charakterystyczne: Rozwiązujemy je: Rozwiązanie równania jednorodnego ma postać:
8) Rozwiązanie Jest to równanie stopnia trzeciego. Rozwiązywanie równań wyższych stopni jest analogiczne do rozwiązywania równań stopnia drugiego. Wprowadzamy równanie charakterystyczne: Należy je rozwiązać. Musimy dostać zawsze tyle pierwiastków jaki jest stopień równania (wliczając ewentualne krotności pierwiastków). Rozwiązujemy równanie poprzez grupowanie: Rozwiązanie ogólne ma postać:
9) Rozwiązanie Wprowadzamy równanie charakterystyczne: Rozwiązujemy je: Rozwiązanie równania jednorodnego:
– pierwiastek potrójny
Zadanie 2. Rozwiąż równanie rzędu II jednorodne o stałych współczynnikach z warunkiem początkowym:
1) Rozwiązanie Wprowadzamy równanie charakterystyczne: Rozwiązujemy je: Rozwiązanie ogólne równania ma postać: Uwzględniamy warunki początkowe Wstawiamy Uwzględniając Rozwiązaniem warunku początkowego jest:
. Potrzebna jest jeszcze pochodna
:
i otrzymujemy układ równań, z którego wyliczamy stałe
i
:
mamy:
2) Rozwiązanie Wprowadzamy równanie charakterystyczne: Rozwiązujemy je: Rozwiązanie ogólne równania ma postać: Uwzględniamy warunki początkowe Wstawiamy Uwzględniając Rozwiązaniem warunku początkowego jest:
. Potrzebna jest jeszcze pochodna
:
i otrzymujemy układ równań, z którego wyliczamy stałe
i
:
mamy:
3) Rozwiązanie Wprowadzamy równanie charakterystyczne: Rozwiązujemy je: Rozwiązanie ogólne równania ma postać: Uwzględniamy warunki początkowe Wstawiamy Otrzymaliśmy układ równań: Rozwiązując go dowolną metodą mamy: Rozwiązaniem warunku początkowego jest:
. Potrzebna jest jeszcze pochodna
:
i otrzymujemy układ równań, z którego wyliczamy stałe
i
:
Zadanie 3. Rozwiąż równanie rzędu II metodą przewidywań:
1) Rozwiązanie 1. Rozwiązujemy równanie jednorodne tak jak w poprzednich zadaniach: Równanie charakterystyczne: Rozwiązanie równania jednorodnego: 2. Szukamy rozwiązania szczególnego metodą przewidywań. Ponieważ prawa strona jest postaci Liczymy pierwszą i drugą pochodną: Wstawiamy do wyjściowego równania Wymnażamy i grupujemy przy odpowiednich potęgach Porównujemy współczynniki po lewej i prawej stronie: Wyliczając kolejno Zatem rozwiązanie szczególne ma postać: 3. Rozwiązanie końcowe równania
– pierwiastek podwójny
– wielomian stopnia trzeciego, to również rozwiązanie szczególne będzie takiej postaci. Wobec tego:
:
:
otrzymujemy:
to:
2) Rozwiązanie 1. Rozwiązujemy równanie jednorodne tak jak w poprzednich zadaniach: Równanie charakterystyczne: Rozwiązanie równania jednorodnego: 2. Szukamy rozwiązania szczególnego metodą przewidywań. Ponieważ prawa strona jest postaci Liczymy pierwszą i drugą pochodną: Wstawiamy do wyjściowego równania Zatem rozwiązanie szczególne ma postać: 3. Rozwiązanie końcowe równania
, to również rozwiązanie szczególne będzie takiej postaci. Wobec tego:
:
to:
3) Rozwiązanie 1. Rozwiązujemy równanie jednorodne tak jak w poprzednich zadaniach: Równanie charakterystyczne: Rozwiązanie równania jednorodnego: 2. Szukamy rozwiązania szczególnego metodą przewidywań. Ponieważ prawa strona jest postaci Liczymy pierwszą i drugą pochodną: Wstawiamy do wyjściowego równania Wymnażamy i grupujemy przy Porównujemy odpowiednie współczynniki: Rozwiązujemy powyższy układ równań dowolną metodą i otrzymujemy: Zatem rozwiązanie szczególne ma postać: 3. Rozwiązanie końcowe równania
, to rozwiązanie szczególne będzie postaci:
:
i
:
to:
4) Rozwiązanie 1. Rozwiązujemy równanie jednorodne tak jak w poprzednich zadaniach: Równanie charakterystyczne: Rozwiązanie równania jednorodnego: 2. Szukamy rozwiązania szczególnego metodą przewidywań. Ponieważ prawa strona jest postaci Liczymy pierwszą i drugą pochodną: Wstawiamy do wyjściowego równania Wymnażamy i grupujemy przy Porównujemy odpowiednie współczynniki: Zatem rozwiązanie szczególne ma postać: 3. Rozwiązanie końcowe równania
, to rozwiązanie szczególne będzie postaci:
:
i
:
to:
5) Rozwiązanie 1. Rozwiązujemy równanie jednorodne tak jak w poprzednich zadaniach: Równanie charakterystyczne: Rozwiązanie równania jednorodnego: 2. Szukamy rozwiązania szczególnego metodą przewidywań. Ponieważ prawa strona jest postaci Liczymy pierwszą i drugą pochodną: Wstawiamy do wyjściowego równania Wymnażamy i grupujemy przy Porównujemy odpowiednie współczynniki: Zatem rozwiązanie szczególne ma postać: 3. Rozwiązanie końcowe równania
, to rozwiązanie szczególne będzie postaci:
:
i
:
to:
6) Rozwiązanie 1. Rozwiązujemy równanie jednorodne tak jak w poprzednich zadaniach: Równanie charakterystyczne: Rozwiązanie równania jednorodnego: 2. Szukamy rozwiązania szczególnego metodą przewidywań. Ponieważ prawa strona jest postaci Powtarza się ono już w rozwiązaniu ogólnym równania jednorodnego, wobec tego należy je pomnożyć przez Liczymy pierwszą i drugą pochodną (uważamy na iloczyn): Wstawiamy do wyjściowego równania Porównujemy odpowiednie współczynniki: Zatem rozwiązanie szczególne ma postać: 3. Rozwiązanie końcowe równania ważny
, to rozwiązanie szczególne powinno być postaci:
, aby uzyskać inną postać. Zatem rozwiązanie szczególne będzie postaci:
:
to:
7) Rozwiązanie 1. Rozwiązujemy równanie jednorodne tak jak w poprzednich zadaniach: Równanie charakterystyczne: Rozwiązanie równania jednorodnego: 2. Szukamy rozwiązania szczególnego metodą przewidywań. Prawa strona jest postaci Poprawna postać, gdyż nie powtarza się w rozwiązaniu ogólnym równania jednorodnego. Rozwiązanie szczególne Zajmijmy się najpierw rozwiązaniem Liczymy pierwszą i drugą pochodną: Wstawiamy do równania Zatem rozwiązanie szczególne Teraz szukamy rozwiązania Liczymy pierwszą i drugą pochodną: Wstawiamy do równania Porównujemy współczynniki: Zatem rozwiązanie szczególne 3. Rozwiązanie końcowe równania
– pierwiastek dwukrotny
, czyli jest sumą dwu funkcji
oraz
. Rozwiązanie szczególne będzie również sumą dwu rozwiązań szczególnych
oraz
. Rozwiązanie szczególne
przewidujemy dla funkcji
. Zatem jest ono postaci:
przewidujemy dla funkcji
. Zatem będzie miało postać:
.
(pomijamy wyrazy
):
ma postać:
.
(pomijamy wyraz
):
ma postać:
to:
8) Rozwiązanie 1. Rozwiązujemy równanie jednorodne tak jak w poprzednich zadaniach: Równanie charakterystyczne: Rozwiązanie równania jednorodnego: 2. Szukamy rozwiązania szczególnego metodą przewidywań. Prawa strona jest postaci Nie jest to poprawna postać, gdyż podkreślony wyraz powtarza się w rozwiązaniu jednorodnym. Mnożymy zatem rozwiązanie szczególne przez Nadal nie jest dobrze, gdyż pokrywa się składnik Jest to już poprawna postać. Liczymy pierwszą i drugą pochodną: Wstawiamy do równania Po redukcji otrzymujemy: Porównując współczynniki mamy: Zatem rozwiązanie szczególne 3. Rozwiązanie końcowe równania
– pierwiastek dwukrotny
, zatem rozwiązanie szczególne przewidujemy jako:
. Mamy:
(dwukrotne podkreślenie). Zatem mnożymy jeszcze raz przez
. Otrzymujemy:
:
ma postać:
to: