Równanie różniczkowe rzędu drugiego (teoria)- WYZNACZNIK -

Równanie liniowe rzędu drugiego o stałych współczynnikach to równanie postaci:

$równanie różniczkowe rzędu drugiego$

I krok

Aby rozwiązać powyższe równanie w pierwszym kroku należy rozwiązać równanie jednorodne, czyli takie, którego prawa strona jest równa zero:

$\dpi{120} ay''+by'+cy=0$

Schemat w dalszej części. Otrzymujemy rozwiązanie $\dpi{120} y_{j}$ .

II krok

Następnie znajdujemy rozwiązanie szczególne $\dpi{120} y_{sz}$ metodą przewidywań.

III krok

Rozwiązanie końcowe równania $\dpi{120} ay''+by'+cy=f\left ( x \right )$ ma postać:

$\dpi{120} y=y_{j}+y_{sz}$

Schemat rozwiązania równania jednorodnego $równanie różniczkowe jednorodne$

1. Zapisujemy tzw. równanie charakterystyczne dla równania jednorodnego:

$równanie charakterystyczne$

2. Rozwiązujemy powyższe równanie. Mogą zajść trzy przypadki:

a) $\Delta >0$

Liczymy pierwiastki tego równania według standardowych wzorów:

$\dpi{120} r_{1}=\frac{-b-\sqrt{\Delta }}{2a},\; \; r_{2}=\frac{-b+\sqrt{\Delta }}{2a}$

Rozwiązanie równania jednorodnego jest wówczas postaci:

$\dpi{120} y_{j}=C_{1}e^{r_{1}x}+C_{2}e^{r_{2}x}$

b) $\dpi{120} \Delta =0$

Mamy jeden pierwiastek podwójny:

$\dpi{120} r_{0}=\frac{-b}{2a}$

Rozwiązanie równania jednorodnego jest wówczas postaci:

$\dpi{120} y_{j}=C_{1}e^{r_{0}x}+C_{2}xe^{r_{0}x}$

Zwróćmy uwagę na drugi składnik sumy – mnożenie przez $\dpi{120} x$ .

c) $\dpi{120} \Delta <0$

Rozwiązań szukamy w liczbach zespolonych. W tym celu zapisujemy $\dpi{120} \Delta$ jako:

$\dpi{120} \Delta =-D=D\cdot i^{2}$

Wówczas:

$\dpi{120} \sqrt{\Delta }=i\sqrt{D}$

Rozwiązania $\dpi{120} r_{1}$ i $\dpi{120} r_{2}$ liczymy według standardowych wzorów podanych w podpunkcie a). Otrzymujemy rozwiązania zespolone:

$\dpi{120} r_{1}=\alpha +\beta i$ oraz $\dpi{120} r_{2}=\alpha -\beta i$ .

Są one zawsze liczbami sprzężonymi.

Rozwiązanie równania jednorodnego jest wówczas postaci:

$\dpi{120} y_{j}=e^{\alpha x}\cdot \left ( C_{1}\sin \beta x+C_{2} \cos \beta x\right )$

Metoda przewidywań

Rozwiązanie szczególne $\dpi{120} y_{sz}$ znajdujemy wykorzystując poniższą tabelę:

Prawa strona $\dpi{120} f\left ( x \right )$	Przewidywana postać $\dpi{120} y_{sz}$
$\dpi{120} ae^{\alpha x}$	$\dpi{120} Ae^{\alpha x}$
$\dpi{120} a\sin \alpha x+b\cos \alpha x$	$\dpi{120} A\sin \alpha x+B\cos \alpha x$
$\dpi{120} a_{0}+a_{1}x+a_{2}x^{2}+...+a_{n}x^{n}$	$\dpi{120} A_{0}+A_{1}x+A_{2}x^{2}+...+A_{n}x^{n}$

Metoda szczegółowo omówiona w zadaniach. Pojawiła się już wcześniej w równaniach liniowych. Patrz tutaj.

Zapraszamy do zadań! tutaj