Równania rzędu drugiego o stałych współczynnikach- teoria

Równanie liniowe rzędu drugiego o stałych współczynnikach to równanie postaci:

równanie różniczkowe rzędu drugiego

I krok

Aby rozwiązać powyższe równanie w pierwszym kroku należy rozwiązać równanie jednorodne, czyli takie, którego prawa strona jest równa zero:

\dpi{120} ay''+by'+cy=0

Schemat w dalszej części. Otrzymujemy rozwiązanie \dpi{120} y_{j}.

II krok

Następnie znajdujemy rozwiązanie szczególne \dpi{120} y_{sz} metodą przewidywań.

III krok

Rozwiązanie końcowe równania \dpi{120} ay''+by'+cy=f\left ( x \right ) ma postać:

\dpi{120} y=y_{j}+y_{sz}

Schemat rozwiązania równania jednorodnego równanie różniczkowe jednorodne

Metoda przewidywań

Rozwiązanie szczególne \dpi{120} y_{sz} znajdujemy wykorzystując poniższą tabelę:

Prawa strona \dpi{120} f\left ( x \right ) Przewidywana postać \dpi{120} y_{sz}
\dpi{120} ae^{\alpha x} \dpi{120} Ae^{\alpha x}
\dpi{120} a\sin \alpha x+b\cos \alpha x \dpi{120} A\sin \alpha x+B\cos \alpha x
\dpi{120} a_{0}+a_{1}x+a_{2}x^{2}+...+a_{n}x^{n} \dpi{120} A_{0}+A_{1}x+A_{2}x^{2}+...+A_{n}x^{n}

Metoda szczegółowo omówiona w zadaniach. Pojawiła się już wcześniej w równaniach liniowych. Patrz tutaj.

Zapraszamy do zadań! tutaj