Wartość oczekiwana i wariancja (teoria)

Wartością oczekiwaną (przeciętną) zmiennej losowej skokowej $\dpi{120} X$ wyrażenie

$\dpi{120} EX=\sum_{k}^{\, }x_{k}\cdot p_{k}$

gdzie $\dpi{120} x_{k}$ – punkty skokowe, zaś $\dpi{120} p_{k}$ – skoki.

W przypadku zmiennej losowej ciągłej $\dpi{120} X$ , o gęstości $\dpi{120} f\left ( x \right )$ , wartością oczekiwaną nazywamy wyrażenie

$\dpi{120} EX=\int_{-\infty }^{+\infty }x\cdot f\left ( x \right )dx$

Wartość oczekiwaną często oznacza się również symbolem $\dpi{120} m$ .

Własności wartości oczekiwanej:

1) $\dpi{120} E\left ( aX +b\right )=a\cdot EX+b,\; \; a,b\in \mathbb{R}$ ,

2) Jeżeli istnieją wartości oczekiwane zmiennej losowej $\dpi{120} X$ i $\dpi{120} Y$ , to:

$\dpi{120} E\left ( X+Y \right )=EX+EY$

3) Jeżeli istnieją wartości oczekiwane zmiennej losowej $\dpi{120} X$ i $\dpi{120} Y$ zmienne te są niezależne to:

$\dpi{120} E\left ( XY \right )=EX\cdot EY$

Wariancją zmiennej losowej $\dpi{120} X$ nazywamy wartość oczekiwaną zmiennej losowej $\dpi{120} \left (X-EX \right )^{2}$ . Oznaczamy ją symbolem $\dpi{120} D^{2}X$ lub $\dpi{120} \sigma ^{2}$ . Zatem:

$\dpi{120} D^{2}X=\sigma ^{2}=E\left ( X-EX \right )^{2}$ Własności wariancji:

1) $\dpi{120} D^{2}\left ( aX+b \right )=a^{2}D^{2}X\; \; a,b\in \mathbb{R}$

2) Jeżeli istnieją wariancje zmiennych losowych $\dpi{120} X$ i $\dpi{120} Y$ oraz zmienne te są niezależne, to

$\dpi{120} D^{2}X=\left ( X+Y \right )= D^{2}X+D^{2}Y$

3) $\dpi{120} D^{2}X=EX^{2}-E^{2}X$

W praktyce wariancję liczymy z własności 3).

Często pojawia się jeszcze jeden parametr tzw. odchylenie standardowe:

$\dpi{120} DX=\sigma =\sqrt{D^{2}X}$