Rozkład normalny – teoria

Data wpisu przez Joanna Piasecka

Rozkład normalny z parametrami \dpi{120} m,\sigma jest to rozkład prawdopodobieństwa zmiennej losowej \dpi{120} X o gęstości

\dpi{120} f\left ( x \right )=\frac{1}{\sigma \sqrt{2\pi }}e^{-\frac{\left ( x-m \right )^{2}}{2\sigma ^{2}}}

gdzie \dpi{120} m\in \mathbb{R},\: \sigma >0.

Rozkład normalny z parametrami \dpi{120} m,\sigma oznaczamy symbolem \dpi{120} N\left ( m,\sigma \right ).

Zmienna losowa \dpi{120} X o rozkładzie normalnym \dpi{120} N\left ( m,\sigma \right ) ma wartość oczekiwaną równą \dpi{120} m i wariancję równą \dpi{120} \sigma ^{2}.

Jeśli zmienna losowa \dpi{120} X ma rozkład normalny \dpi{120} N\left ( m,\sigma \right ), to zmienna losowa

\dpi{120} Y=\frac{X-m}{\sigma }

ma rozkład normalny \dpi{120} N\left ( 0,1 \right ). Jest to tzw. zmienna losowa standaryzowana.

Jeśli zmienne losowe niezależne \dpi{120} X i \dpi{120} Y mają rozkłady normalne \dpi{120} N\left ( m_{1},\sigma _{1} \right ) i \dpi{120} N\left ( m_{2},\sigma _{2} \right ), to zmienna losowa \dpi{120} X+Y ma rozkład normalny \dpi{120} N\left ( m_{1}+m_{2},\sqrt{\sigma _{1}^{2}+\sigma _{2}^{2}} \right ).

Jeśli zmienna losowa \dpi{120} X ma rozkład normalny \dpi{120} N\left ( m,\sigma \right ), to zmienna losowa \dpi{120} Y=aX+b\; \; (a,b\in \mathbb{R},a\neq 0) ma rozkład normalny \dpi{120} N\left ( am+b,\left | a \right | \cdot \sigma \right ).

Dystrybuanta zmiennej losowej \dpi{120} X o rozkładzie \dpi{120} N\left ( 0,1 \right ) ma postać:

\dpi{120} \Phi \left ( x \right )=\frac{1}{\sqrt{2\pi }}\int_{-\infty }^{x}e^{-\frac{t^{2}}{2}}dt

Funkcje \dpi{120} f i \dpi{120} \Phi są stablicowane dla \dpi{120} x\in \left \langle 0;4,99 \right \rangle. Dla \dpi{120} x\geqslant 5 gęstość \dpi{120} f jest praktycznie równa \dpi{120} 0, zaś dystrybuanta \dpi{120} 1. Dla \dpi{120} x<0 wykorzystujemy własności:

\dpi{120} f\left ( -x \right )=f\left ( x \right )

\dpi{120} \Phi \left ( -x \right )=1-\Phi \left ( x \right )