Liczby zespolone, równania, wzory

Równanie kwadratowe o współczynnikach rzeczywistych

$\dpi{120} az^{2}+bz+c=0, \; \; \; a,b,c\in \mathbb{R}$

Algorytm rozwiązania:

1. Liczymy $\dpi{120} \Delta =b^{2}-4ac.$ Dostajemy liczbę rzeczywistą. Jeżeli:

a) $\dpi{120} \Delta \geqslant 0$ , rozwiązaniami są liczby rzeczywiste. Liczymy jak w szkole. Koniec zadania.

b) $\dpi{120} \Delta < 0$ , szukamy rozwiązań zespolonych. Przechodzimy do dalszych punktów.

2. Wyróżnik ma wówczas postać: $\dpi{120} \Delta = -A, A\in \mathbb{R}_{+}.$ Zapisujemy go jako

$\dpi{120} \Delta =-A=Ai^{2}.$

3. Obliczamy $\dpi{120} \sqrt{\Delta }=\sqrt{Ai^{2}}=\pm i\sqrt{A}.$

4. Obliczamy pierwiastki ze wzorów:

$\dpi{120} z_{1}=\frac{-b-\sqrt{\Delta }}{2a},\; z_{2}=\frac{-b+\sqrt{\Delta }}{2a}.$

Do wzorów wstawiamy tylko dodatni pierwiastek z $\dpi{120} \Delta$ . Wstawiając ujemny dostajemy te same rozwiązania.

Koniec zadania.

Równania kwadratowe o współczynnikach rzeczywistych mają rozwiązania zespolone będące liczbami sprzężonymi.

Równanie kwadratowe o współczynnikach zespolonych

$\dpi{120} az^{2}+bz+c=0,\; \; \; a,b,c\in \mathbb{C}$

Algorytm rozwiązania:

1. Liczymy $\dpi{120} \Delta =b^{2}-4ac.$ Dostajemy liczbę zespoloną.

2. Obliczamy $\dpi{120} \sqrt{\Delta }$ , według jednego z dwóch schematów przedstawionych w temacie Pierwiastkowanie liczb zespolonych tutaj.

3. Obliczamy pierwiastki ze wzorów:

$\dpi{120} z_{1}=\frac{-b-\sqrt{\Delta }}{2a},\; \; z_{2}=\frac{-b+\sqrt{\Delta }}{2a}$

Należy pamiętać, aby usunąć liczbę zespoloną z mianownika, o ile współczynnik był zespolony.

Równanie stopnia $\dpi{120} n\in \mathbb{N}$

$\dpi{120} a_{n}z^{n}+a_{n-1}z^{n-1}+...+a_{1}z+a_{0}=0$

gdzie $\dpi{120} a_{k}\in \mathbb{C}$ dla $\dpi{120} k=0,1,...,n$ i $\dpi{120} a_{n}\neq 0.$

Równanie stopnia $\dpi{120} n$ o współczynnikach zespolonych ma w zbiorze liczb zespolonych dokładnie $\dpi{120} n$ pierwiastków (każdy pierwiastek liczymy tyle razy, ile wynosi jego krotność).

Algorytm rozwiązania

1. Należy znać jeden z pierwiastków tego równania. Czasem jest podany w zadaniu. Jeśli nie, musimy go znaleźć sami. Najlepiej metodą prób i błędów. Wykorzystuje się przy tym szkolne twierdzenie:

Jeżeli równanie $\dpi{120} a_{n}x^{n}+...+a_{1}x+a_{0}=0$ ma pierwiastek całkowity $\dpi{120} c$ , to $\dpi{120} c$ jest dzielnikiem wyrazu wolnego $\dpi{120} a_{0}$ .

2. Jeżeli znaleziony pierwiastek $\dpi{120} c$ jest rzeczywisty, to dzielimy równanie przez $\dpi{120} z-c$ . W ten sposób obniżmy stopień równania. Najwygodniej w tym celu wykorzystać tzw. schemat Hornera. (algorytm poniżej) Jeżeli równanie nadal jest stopnia wyższego niż dwa, powtarzamy punkt 1 powyżej, do momentu aż uzyskamy równanie kwadratowe.

3. Jeżeli znaleziony pierwiastek $\dpi{120} w_{1}=\alpha +\beta i$

jest liczbą zespoloną, to również

$\dpi{120} w_{2}=\alpha -\beta i$

(liczba sprzężona) jest pierwiastkiem tego równania. Wobec tego równanie dzieli się przez

$\dpi{120} \left ( z-w_{1} \right )\cdot \left ( z-w_{2} \right )=\left [ z-\left ( \alpha +\beta i \right ) \right ]\cdot \left [ z-\left ( \alpha -\beta i \right ) \right ]=z^{2}-2z\alpha +\alpha ^{2}+\beta ^{2}$

(nie uczyć się tego wzoru na pamięć).

W ten sposób obniżamy równanie o dwa stopnie. Powtarzamy do momentu uzyskania równania kwadratowego.

Pokaż algorytm

Zwiń

Schemat Hornera: (na przykładzie)

Stosujemy, gdy dzielimy wielomian przez $\dpi{120} x-c$ , gdzie $\dpi{120} c$ jest pierwiastkiem tego wielomianu.

Podzielmy $\dpi{120} \left ( x^{3}+3x^{2}-14x+8\right ):\left ( x-2 \right )$ . U nas $\dpi{120} {\color{Orange} c=2}.$

1. Do górnego wiersza tabelki wpisujemy współczynniki wielomianu. Pierwszy współczynnik przepisujemy z góry:

1	3	-14	8
1

2. Liczymy: $\dpi{120} {\color{Red} 1}\cdot c+{\color{Blue} 3}={\color{Red} 1}\cdot 2+{\color{Blue} 3}={\color{Magenta} 5}$ . Wpisujemy $\dpi{120} {\color{Magenta} 5}$ do kolejnej kratki.

1	3	-14	8
1	5

3. Liczymy $\dpi{120} {\color{Magenta} 5}\cdot c{\color{Green} -14}={\color{Magenta} 5}\cdot 2{\color{Green} -14}={\color{Purple} -4}$ . Wpisujemy $\dpi{120} {\color{Purple} -4}$ do kolejnej kratki.

1	3	-14	8
1	5	-4

4. Liczymy $\dpi{120} {\color{Purple} -4}\cdot c+{\color{Red} 8}={\color{Purple} -4}\cdot 2+{\color{Red} 8}= 0$ . Wpisujemy $\dpi{120} 0$ do ostatniej kratki. Oznacza to, że wielomian podzielił się bez reszty.

1	3	-14	8
1	5	-4	0

Wynikiem naszego dzielenia jest wielomian o stopień niższy:

$\dpi{120} \left ( x^{3}+3x^{2}-14x+8 \right ):\left ( x-2 \right )={\color{Red} 1}\cdot x^{2}+{\color{Magenta} 5}\cdot x{\color{Purple} -4}=x^{2}+5x-4$

Zapraszamy do zadań! tutaj