Przed przystąpieniem do zadań warto zapoznać się ze schematami rozwiązań przedstawionych w zakładce Wzory. tutaj Mamy pięć zadań. W pierwszym pojawiają się równania wykorzystujące wcześniejsze pojęcia z liczb zespolonych. W drugim rozwiązujemy równania kwadratowe o współczynnikach rzeczywistych, w trzecim równania kwadratowe o współczynnikach zespolonych, zaś kolejne to równania wyższych stopni.
Zadanie 1. Rozwiązać równania:
1)
Rozwiązanie
Wykorzystujemy postać algebraiczną liczby zespolonej , ponadto liczba sprzężona to
. Wstawiamy powyższe zależności do równania.
Porównujemy część rzeczywistą z lewej strony równania z częścią rzeczywistą prawej strony równania. To samo z częścią urojoną. Mamy:
Stąd rozwiązaniami powyższego równania są oraz
.
2)
Rozwiązanie Wykorzystujemy postać algebraiczną liczby zespolonej Porównujemy część rzeczywistą z lewej strony równania z częścią rzeczywistą prawej strony równania. To samo z częścią urojoną. Mamy: Stąd rozwiązaniem powyższego równania jest , ponadto liczba sprzężona to
. Wstawiamy powyższe zależności do równania.
.
3)
Rozwiązanie
Wykorzystujemy postać algebraiczną liczby zespolonej , stąd liczba sprzężona to
. Wstawiamy powyższe zależności do równania.
Porównujemy część rzeczywistą z lewej strony równania z częścią rzeczywistą prawej strony równania. To samo z częścią urojoną. Mamy:
- Dla
otrzymujemy:
Otrzymaliśmy w tym przypadku dwa rozwiązania oraz
.
2. Dla mamy:
W tym przypadku mamy również dwa rozwiązania oraz
.
Ostatecznie, rozwiązaniami powyższego równania są ,
,
,
.
Zadanie 2. Rozwiązać w dziedzinie zespolonej równania kwadratowe (o współczynnikach rzeczywistych):
Pamiętajmy, że jako rozwiązanie musimy dostać liczby sprzężone.
1)
Rozwiązanie
1. Liczymy wyróżnik:
2. Zapisujemy wyróżnik jako:
3. Liczymy
4. Obliczamy pierwiastki równania kwadratowego:
- Pierwiastki naszego równania są liczbami sprzężonymi.
- Do wzorów wstawiamy tylko dodatni pierwiastek z
. Wstawiając ujemny dostajemy te same rozwiązania.
2) Rozwiązanie 1. Liczymy wyróżnik: 2. Zapisujemy wyróżnik jako: 3. Liczymy 4. Obliczamy pierwiastki równania kwadratowego:
:
. Wstawiając ujemny dostajemy te same rozwiązania.
3) Rozwiązanie 1. Liczymy wyróżnik: 2. Zapisujemy wyróżnik jako: 3. Liczymy 4. Obliczamy pierwiastki równania kwadratowego::
. Wstawiając ujemny dostajemy te same rozwiązania.
4) Rozwiązanie 1. Liczymy wyróżnik: 2. Zapisujemy wyróżnik jako: 3. Liczymy 4. Obliczamy pierwiastki równania kwadratowego::
. Wstawiając ujemny dostajemy te same rozwiązania.
5) Rozwiązanie 1. Liczymy wyróżnik: 2. Zapisujemy wyróżnik jako: 3. Liczymy 4. Obliczamy pierwiastki równania kwadratowego::
. Wstawiając ujemny dostajemy te same rozwiązania.
6) Rozwiązanie Równanie to możemy rozwiązywać analogicznie do poprzednich przykładów, ale jest również inny sposób. Uwaga na popełniany błąd! Często Zapiszmy to równanie inaczej: Korzystamy ze wzoru Są to rozwiązania powyższego równania. jest błędnie rozpisywany jako
, co jest nieprawdą.
(pamiętajmy
)
7) Rozwiązanie Zapiszmy to równanie jako: Korzystamy ze wzoru Są to rozwiązania powyższego równania. (pamiętajmy
)
Zadanie 3. Rozwiązać w dziedzinie zespolonej równania kwadratowe (o współczynnikach zespolonych).
Tutaj w rozwiązaniach nie zachodzą żadne zależności.
1)
Rozwiązanie
1. Liczymy wyróżnik:
2. Liczymy . Mamy
,
. Zatem
Czyli dla mamy:
lub
(pierwiastki kwadratowe zawsze różnią się tylko znakiem)
3. Liczymy pierwiastki równania
Było to równanie o współczynnikach zespolonych i otrzymaliśmy pierwiastki, które nie są sprzężone.
2) Rozwiązanie 1. Liczymy wyróżnik: 2. Liczymy Aby pozbyć się pierwiastka, podniesiemy stronami równanie do kwadratu: Przypomnijmy, dwie liczby zespolone są równe, gdy odpowiednie ich części są równe: Rozwiązujemy powyższy układ równań. Z drugiego równania wyliczamy np. i wstawiamy do pierwszego równania: Mnożąc stronami przez wprowadźmy zmienną pomocniczą Rozwiązaniami powyższego równania są: Wobec tego: Zatem: Podsumowując, szukanymi pierwiastkami są: 3. Liczymy pierwiastki równania Było to równanie o współczynnikach zespolonych i otrzymaliśmy pierwiastki, które nie są sprzężone. .
otrzymujemy tzw. równanie dwukwadratowe:
:
(pierwiastki kwadratowe zawsze różnią się tylko znakiem)
3) Rozwiązanie 1. Liczymy wyróżnik: 2. Liczymy Rozwiązujemy powyższy układ równań. Z drugiego równania wyliczamy np. i wstawiamy do pierwszego równania: Wprowadźmy zmienną pomocniczą Rozwiązaniami powyższego równania są: Wobec tego: Zatem Podsumowując, szukanymi pierwiastkami są: 3. Liczymy pierwiastki równania Było to równanie o współczynnikach zespolonych i otrzymaliśmy pierwiastki, które nie są sprzężone.
:
(pierwiastki kwadratowe zawsze różnią się tylko znakiem)
.
4) Rozwiązanie 1. Liczymy wyróżnik: 2. Liczymy Czyli dla lub 3. Liczymy pierwiastki równania Było to równanie o współczynnikach zespolonych i otrzymaliśmy pierwiastki, które nie są sprzężone. . Mamy:
,
. Zatem
mamy:
(pierwiastki kwadratowe zawsze różnią się tylko znakiem)
5) Rozwiązanie Wykonajmy działania w powyższym równaniu. (Innym sposobem rozwiązania może być wprowadzenie nowej zmiennej 1. Liczymy wyróżnik 2. Wiemy z poprzednich zadań, że Mamy zatem: 3. Liczymy pierwiastki równania Było to równanie o współczynnikach zespolonych i otrzymaliśmy pierwiastki, które nie są sprzężone. i rozwiązanie równania
)
, więc
.
6) Rozwiązanie 1. Liczymy wyróżnik 2. Liczymy Rozwiązujemy powyższy układ równań. Z drugiego równania wyliczamy np. i wstawiamy do pierwszego równania: Wprowadźmy zmienną pomocniczą Rozwiązaniami powyższego równania są: ( Wobec tego: Zatem: Podsumowując, szukanymi pierwiastkami są: 3. Liczymy pierwiastki równania Było to równanie o współczynnikach zespolonych i otrzymaliśmy pierwiastki, które nie są sprzężone.
:
)
(pierwiastki kwadratowe zawsze różnią się tylko znakiem)
7) Rozwiązanie 1. Liczymy wyróżnik 2. Liczymy Czyli dla lub 3. Liczymy pierwiastki równania Było to równanie o współczynnikach zespolonych i otrzymaliśmy pierwiastki, które nie są sprzężone. . Mamy:
,
. Zatem
mamy:
(pierwiastki kwadratowe zawsze różnią się tylko znakiem)
8) Rozwiązanie 1. Liczymy wyróżnik 2. Zapisujemy wyróżnik jako: Liczymy 3. Liczymy pierwiastki równania Było to równanie o współczynnikach zespolonych i otrzymaliśmy pierwiastki, które nie są sprzężone. :
Zadanie 4. Rozwiązać w dziedzinie zespolonej równania wyższego stopnia:
1) Rozwiązanie Wprowadzamy zmienną pomocniczą Liczymy wyróżnik: Obliczamy pierwiastki równania kwadratowego: Wracamy do podstawienia Z równania Z równania :
.Zatem:
lub
.
mamy:
.
mamy:
.
2) Rozwiązanie Wprowadzamy zmienną pomocniczą Liczymy wyróżnik: Obliczamy pierwiastki równania kwadratowego: Wracamy do podstawienia Z równania Z równania :
. Zatem:
lub
mamy:
.
mamy:
.
3) Rozwiązanie Zauważmy, że jednym z pierwiastków tego równania jest Otrzymaliśmy, że: Liczymy wyróżnik: Obliczamy pierwiastki równania kwadratowego: Otrzymaliśmy rozwiązania: . Wykorzystujemy schemat Hornera i dzielimy
,
,
,
. Pozostaje nam zatem do rozwiązania równanie:
,
,
.
4) Rozwiązanie Zauważmy, że jednym z pierwiastków tego równania jest Otrzymaliśmy, że Liczymy wyróżnik: Obliczamy pierwiastki równania kwadratowego: Otrzymaliśmy rozwiązania: . Wykorzystujemy schemat Hornera i dzielimy
. Pozostaje nam zatem do rozwiązania równanie:
5) Rozwiązanie Zauważmy, że jednym z pierwiastków tego równania jest Otrzymaliśmy, że Pozostaje nam zatem do rozwiązania równanie: Liczymy wyróżnik: Obliczamy pierwiastki równania kwadratowego: Otrzymaliśmy rozwiązania: . Wykorzystujemy schemat Hornera i dzielimy
,
.
.
6) Rozwiązanie Zauważmy, że jednym z pierwiastków tego równania jest Otrzymaliśmy, że: Pozostaje nam zatem do rozwiązania równanie: Analogicznie, zauważamy, że jednym z pierwiastków tego równania jest Otrzymaliśmy, że: Liczymy wyróżnik: Obliczamy pierwiastki równania kwadratowego: Podsumowując, rozwiązaniami są: . Wykorzystujemy schemat Hornera i dzielimy
,
,
,
.
(
jest podzielnikiem wyrazu wolnego 10). Wykorzystujemy schemat Hornera i dzielimy
.
,
,
.
. Pozostaje nam zatem do rozwiązania równanie:
.
7) Rozwiązanie Zauważmy, że jednym z pierwiastków tego równania jest Otrzymaliśmy, że: Pozostaje nam zatem do rozwiązania równanie: Wprowadzamy zmienną pomocniczą Liczymy wyróżnik: Obliczamy pierwiastki równania kwadratowego: Wracamy do podstawienia Z równania Liczymy Sprowadzamy liczbę Czyli Wzór na pierwiastki 2 – ego stopnia Podstawiamy kolejno 1. Dla 2. Dla Stąd: Z równania Można liczyć analogicznie do wcześniejszego pierwiastka, ale można również wykorzystać wiadomość, że jeżeli liczba zespolona Podsumowując dostaliśmy pierwiastki:. Wykorzystujemy schemat Hornera i dzielimy
,
,
,
,
.
.
. Zatem:
lub
mamy:
.
.
do postaci trygonometrycznej
,
(
III ćw,
)
.
.
mamy:
otrzymujemy:
, gdyż musi to być liczba o przeciwnych znakach.
mamy:
jest pierwiastkiem wielomianu o współczynnikach rzeczywistych, to liczba sprzężona
jest również pierwiastkiem tego wielomianu.
Zadanie 4. Wiedząc, że jest pierwiastkiem równania
znaleźć pozostałe pierwiastki tego równania.
Rozwiązanie
Ponieważ jednym z pierwiastków jest , więc pierwiastkiem jest również liczba sprzężona
Wykorzystujemy schemat Hornera. Dzielimy wielomian przez
.
Zatem . Ponownie dzielimy wielomian
przez
.
Dostaliśmy wielomian , czyli pozostało do rozwiązania równanie
. Pierwiastkami tego równania są
oraz
.
Ostatecznie: .