Zbieżność szeregów (teoria) - WYZNACZNIK

Niech $\dpi{120} \left ( a_{n} \right )$ będzie dowolnym ciągiem liczb rzeczywistych. Szeregiem o wyrazach $\dpi{120} a_{n}$ rozumiemy wyrażenie

$szereg liczbowy$ które zapisujemy również jako $\dpi{120} a_{1}+a_{2}+a_{3}+...+a_{n}+...$ .

Ciągiem sum częściowych szeregu $\dpi{120} \sum_{n=1}^{\infty }a_{n}$ nazywamy ciąg $\dpi{120} \left ( s_{n} \right )$ , którego n-ty wyraz określony jest wzorem

$ciąg sum częściowych$

Liczba $\dpi{120} s_{n}$ nazywa się również n-tą sumą częściową szeregu $\dpi{120} \sum_{n=1}^{\infty }a_{n}$ . W przypadku, gdy ciąg $\dpi{120} \left ( s_{n} \right )$ sum częściowych szeregu $\dpi{120} \sum_{n=1}^{\infty }a_{n}$ ma granicę $\dpi{120} s$ (skończoną lub nie), to granicę tę nazywamy sumą tego szeregu

$\dpi{120} s=\sum_{n=1}^{\infty }a_{n}.$

Szereg $\dpi{120} \sum_{n=1}^{\infty }a_{n}$ nazywa się zbieżny, jeśli ma on sumę będącą liczbą skończoną. W przeciwnym przypadku szereg nazywa się rozbieżny. Szereg jest więc rozbieżny wtedy i tylko wtedy, gdy jego ciąg sum częściowych ma granicę równą $\dpi{120} +\infty$ lub $\dpi{120} -\infty$ , bądź też nie ma w ogóle granicy.

WAŻNE SZEREGI:

1) szereg geometryczny $\dpi{120} \sum_{n=0}^{\infty }aq^{n}$ o ilorazie $\dpi{120} q$ takim, że $\dpi{120} \left | q \right |<1$ jest zbieżny i $\dpi{120} \sum_{n=0}^{\infty }aq^{n}=\frac{a}{1-q}$ .

2) szereg harmoniczny rzędu $\dpi{120} r$ : $\dpi{120} \sum_{n=1}^{\infty }\frac{1}{n^{r}}$ jest :

– dla $\dpi{120} r>1$ zbieżny,

– dla $\dpi{120} r\leq 1$ rozbieżny.

Twierdzenie (warunek konieczny zbieżności szeregów)

Jeśli szereg $\dpi{120} \sum_{n=1}^{\infty }a_{n}$ jest zbieżny, to ciąg wyrazów tego szeregu dąży do zera, tzn.

$wzrunek konieczny zbieżności szrsgów$

KRYTERIA ZBIEŻNOŚCI SZEREGÓW O WYRAZACH NIEUJEMNYCH

KRYTERIUM PORÓWNAWCZE

1) Zbieżności szeregów

Jeżeli dla szeregu $\dpi{120} \sum_{n=1}^{\infty }a_{n}$ , gdzie $\dpi{120} a_{n}\geqslant 0$ , można wskazać taki szereg zbieżny $\dpi{120} \sum_{n=1}^{\infty }b_{n}$ , że zachodzi nierówność $\dpi{120} a_{n}\leqslant b_{n}$ , to szereg $\dpi{120} \sum_{n=1}^{\infty }a_{n}$ jest również zbieżny.

2) Rozbieżności szeregów

Jeżeli dla szeregu $\dpi{120} \sum_{n=1}^{\infty }a_{n}$ , gdzie $\dpi{120} a_{n}\geqslant 0$ , można wskazać taki szereg rozbieżny $\dpi{120} \sum_{n=1}^{\infty }c_{n}$ , że zachodzi nierówność $\dpi{120} a_{n}\geqslant c_{n}$ , to szereg $\dpi{120} \sum_{n=1}^{\infty }a_{n}$ jest również rozbieżny.

KRYTERIUM d’ALEMBERTA

Jeżeli wyrazy szeregu $\dpi{120} \sum_{n=1}^{\infty }a_{n}$ są dodatnie oraz istnieje granica

$kryterium d'alemberta$

to szereg ten jest:

– zbieżny, gdy $\dpi{120} g<1,$

– rozbieżny, gdy $\dpi{120} g>1.$

Kryterium powyższe nie orzeka o zbieżności, gdy $\dpi{120} g=1.$

KRYTERIUM CAUCHY’EGO

Jeżeli wyrazy szeregu $\dpi{120} \sum_{n=1}^{\infty }a_{n}$ są nieujemne oraz istnieje granica

$kryterium Cauchy'ego$

to szereg ten jest

– zbieżny, gdy $\dpi{120} g<1,$

– rozbieżny, gdy $\dpi{120} g>1.$

Kryterium nie orzeka o zbieżności, gdy $\dpi{120} g=1.$

SZEREGI PRZEMIENNE: $\dpi{120} \sum_{n=1}^{\infty }\left ( -1 \right )^{n}a_{n}$

Szereg

$\dpi{120} \sum_{n=1}^{\infty }\left ( -1 \right )^{n}a_{n},\; a_{n}>0$

nazywamy szeregiem przemiennym (naprzemiennym).

KRYTERIUM LEIBNITZA

Jeżeli ciąg $\dpi{120} \left ( a_{n} \right )$ jest nierosnący oraz $\dpi{120} \lim_{n \to \infty }a_{n}=0$ , to szereg przemienny $\dpi{120} \sum_{n=1}^{\infty }\left ( -1 \right )^{n}a_{n}$ jest zbieżny.

ZBIEŻNOŚĆ WARUNKOWA I BEZWZGLĘDNA

Jeżeli szereg $\dpi{120} \sum_{n=1}^{\infty }\left | \left ( -1 ^{n}\right )a_{n} \right |=\sum_{n=1}^{\infty }a_{n}$ utworzony z bezwzględnych wartości jest zbieżny, to i szereg $\dpi{120} \sum_{n=1}^{\infty }\left ( -1 \right )^{n}a_{n}$ jest zbieżny.

Szereg $\dpi{120} \sum_{n=1}^{\infty }\left ( -1 \right )^{n}a_{n}$ nazywamy szeregiem bezwzględnie zbieżnym, jeżeli $\dpi{120} \sum_{n=1}^{\infty }a_{n}$ jest zbieżny.

Szereg zbieżny, który nie jest bezwzględnie zbieżny nazywamy szeregiem warunkowo zbieżnym.

Szczegółowe algorytmy badania zbieżności szeregów w zakładce Wzory i w rozwiązaniach do zadań.

Zapraszamy do zadań! tutaj