Równanie Riccattiego (teoria) - WYZNACZNIK

Równanie Riccatiego to równanie różniczkowe postaci:

$\dpi{120} y'=f\left ( x \right )y^{2}+g\left ( x \right )y+h\left ( x \right )$

gdzie funkcje $\dpi{120} f,g,h$ są ciągłe w pewnym przedziale.

Gdy:

– $\dpi{120} f\left ( x \right )=0$ , to otrzymujemy równanie liniowe,

– $\dpi{120} h\left ( x \right )=0$ , to otrzymujemy równanie Bernoulliego.

Jeśli znamy rozwiązanie szczególne $\dpi{120} y_{sz}\left ( x \right )$ tego równania, to poprzez podstawienie

$\dpi{120} y=y_{sz}+\frac{1}{u}$

sprowadzimy je do równania liniowego.

Zróżniczkujmy powyższe podstawienie:

$\dpi{120} y'=y'_{sz}-\frac{1}{u^{2}}u'$

Wstawiamy do równania:

$\dpi{120} y'_{sz}-\frac{1}{u^{2}}u'=f\left ( x \right )\cdot \left ( y_{sz}+\frac{1}{u} \right )^{2}+g\left ( x \right )\cdot \left ( y_{sz}+\frac{1}{u} \right )+h\left ( x \right )$

$\dpi{120} y'_{sz}-\frac{1}{u^{2}}u'=f\left ( x \right )\cdot \left ( y^{2}_{sz}+\frac{2}{u}y_{sz}+\frac{1}{u^{2}} \right )+g\left ( x \right )\cdot \left ( y_{sz}+\frac{1}{u} \right )+h\left ( x \right )$

$\dpi{120} {\color{Red} y'_{sz}}-\frac{1}{u^{2}}u'={\color{Red} f\left ( x \right ) y^{2}_{sz}}+\frac{2}{u}y_{sz}f\left ( x \right )+\frac{f\left ( x \right )}{u^{2}} +{\color{Red} g\left ( x \right )y_{sz}}+\frac{g\left ( x \right )}{u} +{\color{Red} h\left ( x \right )}$

Wyrazy zaznaczone na czerwono skracają się , gdyż $\dpi{120} y_{sz}$ jest rozwiązaniem szczególnym równania. Otrzymujemy:

$\dpi{120} -\frac{1}{u^{2}}u'=\frac{2}{u}y_{sz}f\left ( x \right )+\frac{f\left ( x \right )}{u^{2}} +\frac{g\left ( x \right )}{u} /\cdot \left ( -u^{2} \right )$

$\dpi{120} u'=-2u\cdot y_{sz}\cdot f\left ( x \right )-f\left ( x \right )-u\cdot g\left ( x \right )$

$\dpi{120} u'+u\cdot \left ( 2y_{sz}\cdot f\left ( x \right )+g\left ( x \right ) \right )=-f\left ( x \right )$

Jest to równanie liniowe, które rozwiązujemy dowolną poznaną wcześniej metodą.