Całki niewłaściwe (teoria) - WYZNACZNIK

Całki niewłaściwe I rodzaju

Są to całki na przedziale nieskończonym. Dlatego też rozróżniamy trzy typy takich całek.

1. Jeżeli funkcja $\dpi{120} f\left ( x \right )$ jest całkowalna na przedziale $\dpi{120} \left \langle a;T \right \rangle$ dla każdego $\dpi{120} T>a$ , to jej całkę niewłaściwą na przedziale $\dpi{120} \left \langle a;+\infty \right )$ określamy następująco:

$całka niewłaściwa I rodzaju$

2. Jeżeli funkcja $\dpi{120} f\left ( x \right )$ jest całkowalna na przedziale $\dpi{120} \left \langle T;a \right \rangle$ dla każdego $\dpi{120} T<a$ , to jej całkę niewłaściwą na przedziale $\dpi{120} \left ( -\infty ;a \right \rangle$ określamy następująco:

$całka niewłaściwa I rodzaju$

3. Jeżeli funkcja $\dpi{120} f\left ( x \right )$ jest całkowalna na każdym przedziale domkniętym na $\dpi{120} \, \mathbb{R}$ , to jej całkę niewłaściwą na przedziale $\dpi{120} \left ( -\infty ;+\infty \right )$ określamy jako:

$\dpi{120} \int_{-\infty }^{+\infty}f\left ( x \right )dx=\int_{-\infty }^{0}f\left ( x \right )dx+\int_{0}^{+\infty }f\left ( x \right )dx$

$\dpi{120} \int_{-\infty }^{+\infty}f\left ( x \right )dx=\lim_{T_{1}\rightarrow -\infty }\int_{T_{1} }^{0}f\left ( x \right )dx+\lim_{T_{2}\rightarrow +\infty }\int_{0}^{T_{2} }f\left ( x \right )dx$

Całki niewłaściwe II rodzaju

Są to całki na przedziale domkniętym $\dpi{120} \left \langle a;b \right \rangle$ funkcji nieograniczonej. Również możemy wyróżnić trzy typy tych całek.

1. Gdy funkcja $\dpi{120} f\left ( x \right )$ jest nieograniczona na lewostronnym sąsiedztwie punktu $\dpi{120} b$ i całkowalna na przedziale $\dpi{120} \left \langle a;b-\varepsilon \right \rangle$ dla każdego $\dpi{120} \varepsilon \in \left ( 0;b-a \right )$ , to jej całkę niewłaściwą na przedziale $\dpi{120} \left \langle a;b \right \rangle$ określamy następująco:

$całki niewłaściwe II rodzaju$

2. Gdy funkcja $\dpi{120} f\left ( x \right )$ jest nieograniczona na prawostronnym sąsiedztwie punktu $\dpi{120} a$ i całkowalna na przedziale $\dpi{120} \left \langle a+\varepsilon ;b \right \rangle$ dla każdego $\dpi{120} \varepsilon \in \left ( 0;b-a \right )$ , to jej całkę niewłaściwą na przedziale $\dpi{120} \left \langle a;b \right \rangle$ określamy następująco:

$\dpi{120} \int_{a}^{b}f\left ( x \right )dx=\lim_{\varepsilon \rightarrow 0^{+}}\int_{a+\varepsilon }^{b }f\left ( x \right )dx$

3. Gdy funkcja $\dpi{120} f\left ( x \right )$ jest nieograniczona na lewostronnym sąsiedztwie punktu $\dpi{120} b$ i prawostronnym sąsiedztwie punktu $\dpi{120} a$ oraz całkowalna na przedziale $\dpi{120} \left \langle a+\varepsilon ;b-\varepsilon \right \rangle$ dla każdego $\dpi{120} \varepsilon \in \left ( 0;b-a \right )$ , to jej całkę niewłaściwą na przedziale $\dpi{120} \left \langle a;b \right \rangle$ określamy następująco:

$\dpi{120} \int_{a}^{b}f\left ( x \right )dx=\int_{a}^{c}f\left ( x \right )dx+\int_{c}^{b}f\left ( x \right )dx$ dla pewnego $\dpi{120} c\in \left ( a,b \right )$ .

Zapraszamy do zadań! tutaj