LICZBY ZESPOLONE
Dodawanie, odejmowanie, mnożenie i dzielenie liczb zespolonych.
Rozwiązania
Zadanie 1.
a)
{mnożymy jak wielomiany}
{ponieważ 
}
b)
,
1. stosujemy wzór skróconego mnożenia 
oraz zmieniamy znaki w nawiasie
2. oraz redukcja wyrazów podobnych czyli części rzeczywistej
3. mnożymy jak wielomiany i ponownie
4. redukcja części rzeczywistej i urojonej
c)
,
1. mnożymy liczby jak wielomiany, pamiętając, że
2. redukcja części rzeczywistej i urojonej w nawiasach
3. ponownie redukcja wyrazów podobnych
d)
,
1. stosujemy wzór 
do nawiasu pierwszego i drugiego oraz trzeciego i czwartego
2. uwzględniamy
e)
,
1. mnożymy licznik i mianownik przez liczbę sprzężoną do mianownika
2. w liczniku mnożymy jak wielomiany, zaś w mianowniku stosujemy wzór oraz uwzględniamy
3. redukcja wyrazów podobnych
4. rozdzielamy wyrażenie na dwa ułamki, aby otrzymać wyraźną część rzeczywistą i urojoną
f)
1. wymnażamy licznik, pamiętając, że
2. redukcja wyrazów podobnych
3. mnożymy licznik i mianownik przez sprzężenie mianownika, wymnażamy wyrażenia w liczniku
4. redukcja wyrazów podobnych
5. rozdzielamy wyrażenie na dwa ułamki
g)
,
1. mnożymy liczby zespolone
2. mnożymy licznik i mianownik przez sprzężenie mianownika
3. sprowadzamy do wspólnego mianownika
h)
,
1. mnożymy wyrażenia w liczniku, w mianowniku stosujemy wzory oraz
2. redukcja, opuszczamy w liczniku nawias pamiętając o zmianie znaków wewnątrz nawiasu (częsty błąd)
i)
,
1. mnożymy wyrażenie w nawiasie, 
oznacza część urojoną wyrażenia w nawiasie
2. 
gdyż jest to część urojona wyrażenia w nawiasie, czyli współczynnik przy 
j)
,
1. mnożymy licznik i mianownik przez sprzężenie mianownika
2. sprowadzamy wyrażenie w nawiasie do wspólnego mianownika
3. aby podnieść ułamek do kwadratu, podnosimy licznik do kwadratu i mianownik do kwadratu
4. stosujemy wzór
k)
,
1. mnożymy wyrażenia w nawiasach
2. 
– jest to część rzeczywista liczby zespolonej
3. mnożymy licznik i mianownik przez sprzężenie mianownika
l)
,
1. sprowadzamy ułamki do wspólnego mianownika
2. stosujemy wzory oraz
3. opuszczamy nawias i zmieniamy każdy znak w tym nawiasie na przeciwny
Zadanie 2.
a)
część rzeczywista 
, część urojona 
b)
, 
c)
Najpierw sprowadźmy tę liczbę do postaci algebraicznej, czyli trzeba domnożyć licznik i mianownik przez sprzężenie mianownika.
.
Stąd
, 
.
d)
Najpierw sprowadźmy tę liczbę do postaci algebraicznej, czyli trzeba domnożyć licznik i mianownik przez sprzężenie mianownika.
.
Stąd
, 
.
e)
Stosujemy wzór
.
Stąd
.
f)
Wykonujemy najpierw wszystkie działania, czyli mnożymy liczby zespolone, wykorzystujemy wzór oraz pamiętamy, że
.
Mamy dzielenie liczb zespolonych, więc domnażamy licznik i mianownik przez 
. W tym wypadku nie musi to być koniecznie sprzężenie mianownika, czyli 
, ale jeżeli domnożycie przez również będzie poprawnie.
.
Stąd
.
g)
Jeżeli mamy wysoką potęgę liczby , to korzystając z własności potęg zapisujemy ją jako iloczyn oraz najwyższej potęgi parzystej , tzn.
,
Parzystą potęgę zapisujemy jako potęgę 
, aby móc skorzystać z
.
Stąd
, 
.
h)
Stosujemy wzory oraz , jak również 
zapisujemy jako 
podobnie jak we wcześniejszym podpunkcie:
.
Stąd
, 
.
Zadanie 3.
a)
Mnożymy wyrazy po lewej stronie. Mamy:
Grupujemy część rzeczywistą i część urojoną:
Aby dwie liczby zespolone były równe, odpowiednie ich części muszą być równe, czyli:
Rozwiązując powyższy układ równań np. metodą podstawiania otrzymujemy:
Czyli
.
Są to szukane liczby rzeczywiste.
b)
,
Mnożymy wyrazy po lewej stronie. Mamy:
Grupujemy część rzeczywistą i część urojoną:
Aby dwie liczby zespolone były równe, odpowiednie ich części muszą być równe, czyli:
Rozwiązując powyższy układ równań np. metodą podstawiania otrzymujemy:
Czyli
.
Są to szukane liczby rzeczywiste.
c)
,
Mnożymy stronami równanie przez wspólny mianownik, czyli 
. Otrzymujemy:
.
Mnożymy wyrazy po lewej i prawej stronie. Mamy:
Grupujemy część rzeczywistą i część urojoną:
Aby dwie liczby zespolone były równe, odpowiednie ich części muszą być równe, czyli:
Rozwiązując powyższy układ równań np. metodą przeciwnych współczynników otrzymujemy:
Czyli
.
Są to szukane liczby rzeczywiste.
d)
,
Mnożymy stronami równanie przez wspólny mianownik, czyli 
. Otrzymujemy:
Korzystając ze wzoru otrzymujemy:
Grupujemy część rzeczywistą i część urojoną:
Aby dwie liczby zespolone były równe, odpowiednie ich części muszą być równe, czyli:
Rozwiązując powyższy układ równań np. metodą przeciwnych współczynników otrzymujemy:
Czyli
.
Są to szukane liczby rzeczywiste.
e)
Wykorzystujemy definicję liczby sprzężonej do danej, czyli 
Wymnażamy lewą stronę równania:
Grupujemy część rzeczywistą i część urojoną:
Aby dwie liczby zespolone były równe, odpowiednie ich części muszą być równe, czyli:
Więc wstawiając 
do drugiego równania otrzymujemy:
.
Są to szukane liczby rzeczywiste.
Zadanie 4.
a)
Wstawiamy 
oraz 
. Mamy:
Stąd 
.
1. stosujemy wzór oraz wykonujemy mnożenie liczb
2. wykorzystujemy
3. sprzężenie liczby 
wynosi 
. Częsty błąd, gdyż zmieniona kolejność części rzeczywistej i urojonej.
4. grupujemy część rzeczywistą i urojoną liczby
b)
Wstawiamy . Mamy:
Stąd
.
1. stosujemy wzór i korzystamy z
2. mnożymy licznik i mianownik przez sprzężenie mianownika, uważając co jest częścią rzeczywistą i urojoną
3. zastosowaliśmy wzór w mianowniku oraz
4. rozdzielamy na dwa ułamki: część rzeczywistą i część urojoną
c)
Wstawiamy . Mamy:
,
W mianowniku pogrupowaliśmy część rzeczywistą i urojoną. Teraz pomnożymy licznik i mianownik przez sprzężenie mianownika czyli 
. Mamy:
Mnożymy liczby w liczniku pamiętając o . Wyrażenia w mianowniku podnosimy do kwadratu:
Grupujemy w liczniku część rzeczywistą i urojoną:
Mamy:
.
d)
Wstawiamy . Mamy:
Stosujemy w mianowniku wzór . Mamy:
Mnożymy licznik i mianownik przez sprzężenie mianownika, czyli 
Po redukcji otrzymujemy:
Mamy, że
