Dana jest funkcja określona na zbiorze . Funkcja ma w punkcie maksimum lokalne (minimum lokalne), gdy istnieje taki promień , że dla każdego wartości funkcji spełniają warunek: Twierdzenie 1. Warunek konieczny istnienia ekstremum Jeżeli funkcja jest różniczkowalna w punkcie i ma w nim ekstremum lokalne, to Punkt , w którym spełniony jest warunek konieczny istnienia Read more about Ekstrema lokalne funkcji dwóch zmiennych – teoria[…]
Mamy 2 zadania. W pierwszym liczymy pochodne cząstkowe rzędu pierwszego. Jak zwykle początkowe przykłady łatwe, później coraz trudniejsze. W drugim ćwiczymy liczenie pochodnych zarówno rzędu pierwszego jak i drugiego. Są one uwikłane w pewne równania. Inna treść zadania, ale w rzeczywistości sprawdza umiejętność liczenia pochodnych cząstkowych. Podpunkt 3) w zadaniu 2 wymaga biegłości w rachunkach. Read more about Pochodne cząstkowe – zadania[…]
Dany jest zbiór , gdzie oraz zbiór liczbowy . Jeśli każdemu elementowi jest przyporządkowana dokładnie jedna liczba , to mówimy, że została określona funkcja rzeczywista zmiennych, przekształcająca zbiór w zbiór . POCHODNE CZĄSTKOWE PIERWSZEGO RZĘDU Dla danej funkcji , pochodną cząstkową pierwszego rzędu funkcji w punkcie względem zmiennej nazywamy granicę (jeśli istnieje) ilorazu różnicowego: Dla Read more about Pochodne cząstkowe – teoria[…]
Mamy 6 zadań. Niestety nie jesteśmy w stanie podać wszystkich rodzajów zadań dotyczących związków prostych i płaszczyzn. Jest ich bardzo dużo. Pamiętajcie, zawsze zastanówcie się jakie związki są pomiędzy wektorami kierunkowymi i wektorami normalnymi. Do dyspozycji macie iloczyn skalarny, wektorowy i mieszany. tutaj Chcąc znaleźć wektor prostopadły do dwóch danych zawsze liczymy ich iloczyn wektorowy. Read more about Wzajemne położenie prostej i płaszczyzny – zadania[…]
Jeżeli prosta jest dana w postaci krawędziowej zaś płaszczyzna dana jest równaniem ogólnym to ich wzajemne położenie najszybciej jest zbadać rozwiązując układ równań: Jeżeli powyższy układ jest: oznaczony (ma jedno rozwiązanie), to prosta ma z płaszczyzną jeden punkt wspólny, czyli przecina płaszczyznę. nieoznaczony (ma nieskończenie wiele rozwiązań), to prosta ma z płaszczyzną nieskończenie wiele punktów Read more about Wzajemne położenie prostej i płaszczyzny – teoria[…]
Mamy 4 zadania. W zadaniu 1 liczymy odległości między prostymi. podpunkty 1) i 2) dotyczą prostych skośnych, zaś 3) i 4) prostych równoległych. Są to dwa różne schematy. Zadanie 2 i zadanie 4 to sprawdzenie wzajemnego położenia prostych. W zadaniu 3 liczymy kąt pomiędzy prostymi przecinającymi się. Wszędzie wykorzystujemy iloczyn skalarny, wektorowy i mieszany. Patrz Read more about Wzajemne położenie prostych – zadania[…]
Niech będą dane dwie proste i o wektorach kierunkowych odpowiednio i oraz przechodzące przez punkty , . PROSTE RÓWNOLEGŁE Proste są równoległe, gdy ich wektory kierunkowe są równoległe, tzn. istnieje takie, że Odległość prostych równoległych liczymy jako odległość punktów i , które otrzymujemy w sposób następujący. Znajdujemy płaszczyznę prostopadłą do prostych . Punkt jest punktem Read more about Wzajemne położenie prostych – teoria[…]
Mamy 3 zadania. Wykorzystujemy w nich wzory na odległość płaszczyzn równoległych, kąt miedzy płaszczyznami. Patrz zakładka Wzory tutaj lub Teoria tutaj. W zadaniu 3 mamy pośrednio pokazane jak przejść od postaci parametrycznej równania płaszczyzny do postaci ogólnej równania płaszczyzny. Cały czas potrzebna jest wiedza dotycząca iloczynu wektorowego i skalarnego. tutaj Zadanie 1. Obliczyć odległość płaszczyzn Read more about Wzajemne położenie płaszczyzn – zadania[…]
Niech będą dane dwie płaszczyzny: WARUNEK RÓWNOLEGŁOŚCI PŁASZCZYZN ODLEGŁOŚĆ PŁASZCZYZN RÓWNOLEGŁYCH gdzie – dowolny punkt. Jeżeli płaszczyzny i mają postać: odległość tak rozumianych płaszczyzn wynosi: PŁASZCZYZNY POKRYWAJĄCE SIĘ PŁASZCZYZNY PRZECINAJĄCE SIĘ Miara kąta dwuściennego: PŁASZCZYZNY PROSTOPADŁE
Niech będą dane dwie płaszczyzny: Wzajemne położenie tych płaszczyzn określają ich wektory normalne oraz . Są cztery przypadki wzajemnego położenia płaszczyzn. 1. PŁASZCZYZNY RÓWNOLEGŁE Ich wektory normalne i są wówczas równoległe, a więc ich współrzędne są proporcjonalne. Dostajemy zatem warunek: Odległością płaszczyzn równoległych jest odległość dowolnego punktu należącego do jednej z płaszczyzn od drugiej płaszczyzny. Read more about Wzajemne położenie płaszczyzn – teoria[…]