Wzajemne położenie płaszczyzn (teoria)

Niech będą dane dwie płaszczyzny:

$\dpi{120} \pi _{1}:\; A_{1}x+B_{1}y+C_{1}z+D_{1}=0$

$\dpi{120} \pi _{2}:\; A_{2}x+B_{2}y+C_{2}z+D_{2}=0$

Wzajemne położenie tych płaszczyzn określają ich wektory normalne $\dpi{120} \overrightarrow{n_{1}}=\left [ A_{1},B_{1},C_{1} \right ]$ oraz $\dpi{120} \overrightarrow{n_{2}}=\left [ A_{2},B_{2},C_{2} \right ]$ . Są cztery przypadki wzajemnego położenia płaszczyzn.

1. PŁASZCZYZNY RÓWNOLEGŁE

Ich wektory normalne $\dpi{120} \overrightarrow{n_{1}}=\left [ A_{1},B_{1},C_{1} \right ]$ i $\dpi{120} \overrightarrow{n_{2}}=\left [ A_{2},B_{2},C_{2} \right ]$ są wówczas równoległe, a więc ich współrzędne są proporcjonalne. Dostajemy zatem warunek:

$\dpi{120} \frac{A_{1}}{A_{2}}=\frac{B_{1}}{B_{2}}=\frac{C_{1}}{C_{2}}$

Odległością płaszczyzn równoległych jest odległość dowolnego punktu $\dpi{120} P_{0}=\left ( x_{0},y_{0},z_{0} \right )$ należącego do jednej z płaszczyzn od drugiej płaszczyzny. Wzór na odległość punku $\dpi{120} P_{0}=\left ( x_{0},y_{0},z_{0} \right )$ od dowolnej płaszczyzny $\dpi{120} \pi :\; Ax+By+Cz+D=0$ ma postać:

$\dpi{120} d\left ( P_{0},\pi \right )=\frac{\left | Ax_{0}+By_{0}+Cz_{0}+D \right |}{\sqrt{A^{2}+B^{2}+C^{2}}}$

Jeżeli dodatkowo założymy, że płaszczyzny $\dpi{120} \pi _{1}$ i $\dpi{120} \pi _{2}$ nie są równoległe do płaszczyzny $\dpi{120} Oxy$ , to płaszczyzny $\dpi{120} \pi _{1}$ i $\dpi{120} \pi _{2}$ można zapisać jako:

$\dpi{120} \pi _{1}:\; Ax+By+z+D_{1}=0$

$\dpi{120} \pi _{2}:\; Ax+By+z+D_{2}=0$

Uwaga, współczynniki $\dpi{120} D_{1}$ i $\dpi{120} D_{2}$ występujące powyżej są różne od współczynników $\dpi{120} D_{1}$ i $\dpi{120} D_{2}$ występujących w początkowych równaniach płaszczyzn $\dpi{120} \pi _{1}$ i $\dpi{120} \pi _{2}$ .

Wówczas odległość tak rozumianych płaszczyzn wynosi:

$\dpi{120} d\left ( \pi _{1} ,\pi _{2}\right )=\frac{\left | D_{1}-D_{2} \right |}{\sqrt{A^{2}+B^{2}+1}}$

Analogicznie, możemy zapisać wzory przy założeniach, że płaszczyzny nie są równoległe do płaszczyzn $\dpi{120} Oxz$ i $\dpi{120} Oyz$ .

2. PŁASZCZYZNY POKRYWAJĄCE SIĘ

Jest to szczególny przypadek płaszczyzn równoległych. Dodatkowo, dochodzi warunek, że dowolny punkt należący do płaszczyzny $\dpi{120} \pi _{1}$ należy również do płaszczyzny $\dpi{120} \pi _{2}$ . A więc mamy, że:

$\dpi{120} \frac{A_{1}}{A_{2}}=\frac{B_{1}}{B_{2}}=\frac{C_{1}}{C_{2}}=\frac{D_{1}}{D_{2}}$

3. PŁASZCZYZNY PRZECINAJĄCE SIĘ

W tym przypadku wystarczy, że jedna z równości w warunku równoległości płaszczyzn nie jest spełniona. Oczywiście, odległość między tymi płaszczyznami jest równa zero. Możemy jednakże mówić o mierze kąta dwuściennego pomiędzy płaszczyznami. Jest on równy:

$\dpi{120} \cos \left ( \pi _{1},\pi _{2} \right )= \cos \measuredangle \left ( \overrightarrow{n_{1}} ,\overrightarrow{n_{2}}\right )=\frac{\overrightarrow{n_{1}}\circ \overrightarrow{n_{2}}}{\left | \overrightarrow{n_{1}} \right |\cdot \left | \overrightarrow{n_{2}} \right |}=\frac{A_{1}A_{2}+B_{1}B_{2}+C_{1}C_{2}}{\sqrt{A_{1}^{2}+B_{1}^{2}+C_{1}^{2}}\cdot\sqrt{A_{2}^{2}+B_{2}^{2}+C_{2}^{2}} }$

4. PŁASZCZYZNY PROSTOPADŁE

Jest to szczególny przypadek płaszczyzn przecinających się. Wektory normalne płaszczyzn tworzą kąt prosty. A to oznacza, że ich iloczyn skalarny jest równy zero.

$\dpi{120} \overrightarrow{n_{1}}\circ \overrightarrow{n_{2}}=0\Leftrightarrow A_{1}\cdot A_{2}+B_{1}\cdot B_{2}+C_{1}\cdot C_{2}=0$