Wzajemne położenie płaszczyzn – teoria

Niech będą dane dwie płaszczyzny:

\dpi{120} \pi _{1}:\; A_{1}x+B_{1}y+C_{1}z+D_{1}=0

\dpi{120} \pi _{2}:\; A_{2}x+B_{2}y+C_{2}z+D_{2}=0

Wzajemne położenie tych płaszczyzn określają ich wektory normalne \dpi{120} \overrightarrow{n_{1}}=\left [ A_{1},B_{1},C_{1} \right ] oraz \dpi{120} \overrightarrow{n_{2}}=\left [ A_{2},B_{2},C_{2} \right ]. Są cztery przypadki wzajemnego położenia płaszczyzn.

1. PŁASZCZYZNY RÓWNOLEGŁE

Ich wektory normalne \dpi{120} \overrightarrow{n_{1}}=\left [ A_{1},B_{1},C_{1} \right ] i \dpi{120} \overrightarrow{n_{2}}=\left [ A_{2},B_{2},C_{2} \right ] są wówczas równoległe, a więc ich współrzędne są proporcjonalne. Dostajemy zatem warunek:

\dpi{120} \frac{A_{1}}{A_{2}}=\frac{B_{1}}{B_{2}}=\frac{C_{1}}{C_{2}}

Odległością płaszczyzn równoległych jest odległość dowolnego punktu \dpi{120} P_{0}=\left ( x_{0},y_{0},z_{0} \right ) należącego do jednej z płaszczyzn od drugiej płaszczyzny. Wzór na odległość punku \dpi{120} P_{0}=\left ( x_{0},y_{0},z_{0} \right ) od dowolnej płaszczyzny \dpi{120} \pi :\; Ax+By+Cz+D=0 ma postać:

\dpi{120} d\left ( P_{0},\pi \right )=\frac{\left | Ax_{0}+By_{0}+Cz_{0}+D \right |}{\sqrt{A^{2}+B^{2}+C^{2}}}

Jeżeli dodatkowo założymy, że płaszczyzny \dpi{120} \pi _{1} i \dpi{120} \pi _{2} nie są równoległe do płaszczyzny \dpi{120} Oxy, to płaszczyzny \dpi{120} \pi _{1} i \dpi{120} \pi _{2} można zapisać jako:

\dpi{120} \pi _{1}:\; Ax+By+z+D_{1}=0

\dpi{120} \pi _{2}:\; Ax+By+z+D_{2}=0

Uwaga, współczynniki \dpi{120} D_{1} i \dpi{120} D_{2} występujące powyżej są różne od współczynników \dpi{120} D_{1} i \dpi{120} D_{2} występujących w początkowych równaniach płaszczyzn \dpi{120} \pi _{1} i \dpi{120} \pi _{2}.

Wówczas odległość tak rozumianych płaszczyzn wynosi:

\dpi{120} d\left ( \pi _{1} ,\pi _{2}\right )=\frac{\left | D_{1}-D_{2} \right |}{\sqrt{A^{2}+B^{2}+1}}

Analogicznie, możemy zapisać wzory przy założeniach, że płaszczyzny nie są równoległe do płaszczyzn \dpi{120} Oxz i \dpi{120} Oyz.

2. PŁASZCZYZNY POKRYWAJĄCE SIĘ

Jest to szczególny przypadek płaszczyzn równoległych. Dodatkowo, dochodzi warunek, że dowolny punkt należący do płaszczyzny \dpi{120} \pi _{1} należy również do płaszczyzny \dpi{120} \pi _{2}. A więc mamy, że:

\dpi{120} \frac{A_{1}}{A_{2}}=\frac{B_{1}}{B_{2}}=\frac{C_{1}}{C_{2}}=\frac{D_{1}}{D_{2}}

3. PŁASZCZYZNY PRZECINAJĄCE SIĘ

W tym przypadku wystarczy, że jedna z równości w warunku równoległości płaszczyzn nie jest spełniona. Oczywiście, odległość między tymi płaszczyznami jest równa zero. Możemy jednakże mówić o mierze kąta dwuściennego pomiędzy płaszczyznami. Jest on równy:

\dpi{120} \cos \left ( \pi _{1},\pi _{2} \right )= \cos \measuredangle \left ( \overrightarrow{n_{1}} ,\overrightarrow{n_{2}}\right )=\frac{\overrightarrow{n_{1}}\circ \overrightarrow{n_{2}}}{\left | \overrightarrow{n_{1}} \right |\cdot \left | \overrightarrow{n_{2}} \right |}=\frac{A_{1}A_{2}+B_{1}B_{2}+C_{1}C_{2}}{\sqrt{A_{1}^{2}+B_{1}^{2}+C_{1}^{2}}\cdot\sqrt{A_{2}^{2}+B_{2}^{2}+C_{2}^{2}} }

4. PŁASZCZYZNY PROSTOPADŁE

Jest to szczególny przypadek płaszczyzn przecinających się. Wektory normalne płaszczyzn tworzą kąt prosty. A to oznacza, że ich iloczyn skalarny  jest równy zero.

\dpi{120} \overrightarrow{n_{1}}\circ \overrightarrow{n_{2}}=0\Leftrightarrow A_{1}\cdot A_{2}+B_{1}\cdot B_{2}+C_{1}\cdot C_{2}=0