Prosta w przestrzeni (zadania) - WYZNACZNIK

Mamy 4 zadania. Podobnie jak w zadaniach dotyczących płaszczyzn, podstawą jest poprawne zastosowanie iloczynu wektorowego. Rada: zawsze zacznijmy od zastanowienia się, które wektory są do siebie prostopadłe. Warto zajrzeć do zakładki Teoria tutaj.

Zadanie 1. Napisz równanie prostej przechodzącej przez punkty $\dpi{120} \large P_{1}$ i $\dpi{120} \large P_{2}$ :

1) $\dpi{120} P_{1}=\left ( {\color{Red} 2},{\color{Purple} 3}, {\color{DarkGreen} 5} \right ),P_{2}=\left ( 3,0,1 \right ),$

Rozwiązanie

Znajdźmy wektor kierunkowy szukanej prostej. Jest nim wektor $\dpi{120} \overrightarrow{P_{1}P_{2}}$ . Mamy:

$\dpi{120} \vec{u}=\overrightarrow{P_{1}P_{2}}=\left [ 3-2,0-3,1-5 \right ]=\left [ {\color{Green} 1},{\color{Blue} -3},{\color{Cyan} -4}\right ]$

Możemy napisać równanie kierunkowe prostej:

$\dpi{120} \frac{x-{\color{Red} 2}}{{\color{Green} 1}}=\frac{y-{\color{Purple} 3}}{{\color{Blue} -3}}=\frac{z-{\color{DarkGreen} 5}}{{\color{Cyan} -4}},$

lub równanie parametryczne:

$\dpi{120} \left\{\begin{matrix} x={\color{Red} 2}+{\color{Green} 1}t\\ y={\color{Purple} 3}{\color{Blue} -3}t\\ z={\color{DarkGreen} 5}{\color{Cyan} -4}t \end{matrix}\right.\; \; t\in \mathbb{R}.$

Pokaż rozwiązanie

Zwiń

2) $\dpi{120} P_{1}=\left ( 0,5,-2\right ),P_{2}=\left ( 9,-2,4 \right ),$

Rozwiązanie

Znajdźmy wektor kierunkowy szukanej prostej. Jest nim wektor $\dpi{120} \overrightarrow{P_{1}P_{2}}$ . Mamy:

$\dpi{120} \vec{u}=\overrightarrow{P_{1}P_{2}}=\left [ 9-0,-2-5,4-\left ( -2 \right )\right ]=\left [ 9, -7, 6\right ]$

Możemy napisać równanie kierunkowe prostej:

$\dpi{120} \frac{x- 0}{9}=\frac{y- 5}{ -7}=\frac{z+ 2}{ 6},$

lub równanie parametryczne:

$\dpi{120} \left\{\begin{matrix} x=0+ 9t\\ y= 5 -7t\\ z=-2 +6t \end{matrix}\right.\; \; t\in \mathbb{R}.$

Pokaż rozwiązanie

Zwiń

3) $\dpi{120} P_{1}=\left ( 8,0,1\right ),P_{2}=\left ( 3,-2,1 \right ).$

Rozwiązanie

Znajdźmy wektor kierunkowy szukanej prostej. Jest nim wektor $\dpi{120} \overrightarrow{P_{1}P_{2}}$ . Mamy:

$\dpi{120} \vec{u}=\overrightarrow{P_{1}P_{2}}=\left [ 3-8,-2-0,1-1\right ]=\left [ -5,-2,0\right ]$

Ponieważ jedna ze współrzędnych wektora kierunkowego jest równa zero, więc równanie kierunkowe prostej zapiszemy jako:

$\dpi{120} \left\{\begin{matrix} \frac{x-8}{-5}=\frac{y-0}{-2}\\ z-1=0 \end{matrix}\right.$

lub równanie parametryczne:

$\dpi{120} \left\{\begin{matrix} x=8-5t\\ y= 0 -2t\\ z=1 +0t \end{matrix}\right.\; \; t\in \mathbb{R}$

Czyli:

$\dpi{120} \left\{\begin{matrix} x=8-5t\\ y= -2t\; \; \; \\ z=1 \; \; \; \; \; \; \; \end{matrix}\right.\; \; t\in \mathbb{R}$

Pokaż rozwiązanie

Zwiń

Zadanie 2. Napisz równanie prostej przechodzącej przez punkt $\dpi{120} \large P$ i prostopadłej do wektorów $\dpi{120} \large \vec{v}$ i $\dpi{120} \large \vec{w}$ :

1) $\dpi{120} P=\left ( 2,-1,1 \right ),\vec{v}=\left [ 1,2,3 \right ],\vec{w}=\left [ -2,1,-3 \right ],$

Rozwiązanie

Zauważmy, że wektor kierunkowy prostej $\dpi{120} \vec{u}$ jest prostopadły do wektorów $\dpi{120} \vec{v}$ i $\dpi{120} \vec{w}$ . Zatem:

$\dpi{120} \vec{u}=\vec{v}\times \vec{w}$

Mamy:

$\dpi{120} \vec{u}=\left [ 1,2,3 \right ]\times \left [ -2,1,-3 \right ]=\begin{vmatrix} e_{1} & e_{2} &e_{3} \\ 1& 2 & 3\\ -2&1 & -3 \end{vmatrix}\begin{matrix} e_{1} &e_{2} \\ 1&2 \\ -2 & 1 \end{matrix}=$

$\dpi{120} =-6e_{1}-6e_{2}+e_{3}+4e_{3}-3e_{1}+3e_{2}=-9e_{1}-3e_{2}+5e_{3}=\left [ -9,-3,5 \right ]$

Możemy napisać równanie kierunkowe prostej:

$\dpi{120} \frac{x- 2}{-9}=\frac{y+1}{ -3}=\frac{z-1}{ 5},$

lub równanie parametryczne:

$\dpi{120} \left\{\begin{matrix} x=2- 9t\\ y= -1 -3t\\ z=1 +5t \end{matrix}\right.\; \; t\in \mathbb{R}.$

Pokaż rozwiązanie

Zwiń

2) $\dpi{120} P=\left (-3,0,4 \right ),\vec{v}=\left [ 1,-2,2 \right ],\vec{w}=\left [ 0,4,-3 \right ],$

Rozwiązanie

Zauważmy, że wektor kierunkowy prostej $\dpi{120} \vec{u}$ jest prostopadły do wektorów $\dpi{120} \vec{v}$ i $\dpi{120} \vec{w}$ . Zatem:

$\dpi{120} \vec{u}=\vec{v}\times \vec{w}$

Mamy:

$\dpi{120} \vec{u}=\left [ 1,-2,2 \right ]\times \left [ 0,4,-3 \right ]=\begin{vmatrix} e_{1} & e_{2} &e_{3} \\ 1& -2 & 2\\ 0&4 & -3 \end{vmatrix}\begin{matrix} e_{1} &e_{2} \\ 1&-2 \\ 0 & 4 \end{matrix}=$

$\dpi{120} =6e_{1}+0e_{2}+e_{3}-0e_{3}-8e_{1}+3e_{2}=-2e_{1}+3e_{2}+e_{3}=\left [ -2,3,1 \right ]$

Możemy napisać równanie kierunkowe prostej:

$\dpi{120} \frac{x+3}{-2}=\frac{y-0}{ 3}=\frac{z-4}{ 1},$

lub równanie parametryczne:

$\dpi{120} \left\{\begin{matrix} x=-3- 2t\\ y= 0 +3t\\ z=4 +1t \end{matrix}\right.\; \; t\in \mathbb{R}.$

Pokaż rozwiązanie

Zwiń

3) $\dpi{120} P=\left (7,-3,1\right ),\vec{v}=\left [5,2,-3 \right ],\vec{w}=\left [ 3,5,0 \right ].$

Rozwiązanie

Zauważmy, że wektor kierunkowy prostej $\dpi{120} \vec{u}$ jest prostopadły do wektorów $\dpi{120} \vec{v}$ i $\dpi{120} \vec{w}$ . Zatem:

$\dpi{120} \vec{u}=\vec{v}\times \vec{w}$

Mamy:

$\dpi{120} \vec{u}=\left [ 5,2,-3\right ]\times \left [ 3,5,0\right ]=\begin{vmatrix} e_{1} & e_{2} &e_{3} \\ 5& 2 & -3\\ 3&5 & 0 \end{vmatrix}\begin{matrix} e_{1} &e_{2} \\ 5&2 \\ 3 & 5 \end{matrix}=$

$\dpi{120} =0e_{1}-9e_{2}+25e_{3}-6e_{3}+15e_{1}-0e_{2}=-15e_{1}-9e_{2}+19e_{3}=\left [ -15,-9,19 \right ]$

Możemy napisać równanie kierunkowe prostej:

$\dpi{120} \frac{x-7}{-15}=\frac{y+3}{ -9}=\frac{z-1}{ 19},$

lub równanie parametryczne:

$\dpi{120} \left\{\begin{matrix} x=7- 15t\\ y= -3 -9t\\ z=1 +19t \end{matrix}\right.\; \; t\in \mathbb{R}.$

Pokaż rozwiązanie

Zwiń

Zadanie 3. Napisz równanie prostej przechodzącej przez punkt $\dpi{120} \large P$ i prostopadłej do płaszczyzny $\dpi{120} \large \pi$ :

1) $\dpi{120} P=\left ( 0,2,3 \right ),\; \pi :\: x-3y-z-2=0,$

Rozwiązanie

Jeżeli prosta jest prostopadła do płaszczyzny, to wektor normalny płaszczyzny jest równoległy do tej prostej. Zatem może być jej wektorem kierunkowym. Mamy:

$\dpi{120} \vec{n}=\vec{u}$

Czyli:

$\dpi{120} \vec{u}=\left [ 1,-3,-1 \right ]$

Możemy napisać równanie kierunkowe prostej:

$\dpi{120} \frac{x-0}{1}=\frac{y-2}{ -3}=\frac{z-3}{ -1},$

lub równanie parametryczne:

$\dpi{120} \left\{\begin{matrix} x=0+1t\\ y= 2 -3t\\ z=3 -1t \end{matrix}\right.\; \; t\in \mathbb{R}.$

Pokaż rozwiązanie

Zwiń

2) $\dpi{120} P=\left ( 7,-3,4\right ),\; \pi :\: 2x-y-4z-1=0,$

Rozwiązanie

Jeżeli prosta jest prostopadła do płaszczyzny, to wektor normalny płaszczyzny jest równoległy do tej prostej. Zatem może być jej wektorem kierunkowym. Mamy:

$\dpi{120} \vec{n}=\vec{u}$

Czyli:

$\dpi{120} \vec{u}=\left [ 2,-1,-4 \right ]$

Możemy napisać równanie kierunkowe prostej:

$\dpi{120} \frac{x-7}{2}=\frac{y+3}{ -1}=\frac{z-4}{ -4},$

lub równanie parametryczne:

$\dpi{120} \left\{\begin{matrix} x=7+2t\\ y= -3 -1t\\ z=4 -4t \end{matrix}\right.\; \; t\in \mathbb{R}.$

Pokaż rozwiązanie

Zwiń

3) $\dpi{120} P=\left ( 5,1,-2 \right ),\; \pi$ – płaszczyzna $\dpi{120} Oyz.$

Rozwiązanie

Jeżeli prosta jest prostopadła do płaszczyzny, to wektor normalny płaszczyzny jest równoległy do tej prostej. Zatem może być jej wektorem kierunkowym. Mamy:

$\dpi{120} \vec{n}=\vec{u}$

Ponieważ u nas płaszczyzna $\dpi{120} \pi$ to płaszczyzna $\dpi{120} Oyz$ , więc $\dpi{120} Oyz:\; x=0$ . Czyli:

$\dpi{120} \vec{u}=\left [ 1,0,0 \right ]$

Równanie parametryczne szukanej prostej:

$\dpi{120} \left\{\begin{matrix} x=5+1t\\ y= 1 +0t\\ z=-2 +0t \end{matrix}\right.\; \; t\in \mathbb{R}.$

Stąd:

$\dpi{120} \left\{\begin{matrix} x=5+t\\ y= 1\; \; \; \; \; \\ z=-2 \; \; \; \end{matrix}\right.\; \; t\in \mathbb{R}.$

Pokaż rozwiązanie

Zwiń

Zadanie 4. Napisz równanie kierunkowe prostej będącej przecięciem dwóch płaszczyzn $\dpi{120} \large \pi _{1}$ i $\dpi{120} \large \pi _{2}$ :

1) $\dpi{120} \pi _{1}:\: x+2y-z-2=0,\; \pi _{2}:\: x-4y-3z+5=0,$

Rozwiązanie

Zauważmy, że wektor kierunkowy prostej $\dpi{120} \vec{u}$ jest prostopadły do wektorów normalnych płaszczyzn $\dpi{120} \overrightarrow{n_{1}}=\left [1,2,-1 \right ]$ i $\dpi{120} \overrightarrow{n_{2}}=\left [ 1,-4,-3 \right ]$ . Zatem:

$\dpi{120} \vec{u}=\overrightarrow{n_{1}}\times \overrightarrow{n_{2}}=\begin{vmatrix} e_{1} & e_{2} &e_{3} \\ 1& 2 &-1 \\ 1& -4 & -3 \end{vmatrix}\begin{matrix} e_{1} & e_{2}\\ 1 & 2\\ 1 & -4 \end{matrix}=$

$\dpi{120} =-6e_{1}-e_{2}-4e_{3}-2e_{3}-4e_{1}+3e_{2}=-10e_{1}+2e_{2}-6e_{3}=\left [ -10,2,-6 \right ]$

Potrzebny nam jest jeszcze dowolny punkt $\dpi{120} P$ należący do tej prostej. W tym celu rozwiążemy układ równań składający się z równań płaszczyzn:

$\dpi{120} \left\{\begin{matrix} x+2y-z-2=0\\ x-4y-3z+5=0 \end{matrix}\right.$

Podstawmy np. $\dpi{120} x=0$ . Wówczas otrzymamy układ dwóch równań z dwiema niewiadomymi, który rozwiązujemy dowolną metodą:

$\dpi{120} \left\{\begin{matrix} 2y-z=2\\ -4y-3z=-5 \end{matrix}\right.$

Rozwiązaniami powyższego układu są:

$\dpi{120} \left\{\begin{matrix} y=\frac{11}{10}\\ z=\frac{1}{5} \end{matrix}\right.$

Zatem punkt ma współrzędne $\dpi{120} P=\left ( 0,\frac{11}{10} ,\frac{1}{5}\right )$ .

Równanie prostej zapisze się jako:

$\dpi{120} \frac{x}{-10}=\frac{y-\frac{11}{10}}{2}=\frac{z-\frac{1}{5}}{-6}$

Pokaż rozwiązanie

Zwiń

2) $\dpi{120} \pi _{1}:\: -x+5y-z+3=0,\; \pi _{2}:\: 4x-y+5z+3=0,$

Rozwiązanie

Zauważmy, że wektor kierunkowy prostej $\dpi{120} \vec{u}$ jest prostopadły do wektorów normalnych płaszczyzn $\dpi{120} \overrightarrow{n_{1}}=\left [-1,5,-1 \right ]$ i $\dpi{120} \overrightarrow{n_{2}}=\left [ 4,-1,5 \right ]$ . Zatem:

$\dpi{120} \vec{u}=\overrightarrow{n_{1}}\times \overrightarrow{n_{2}}=\begin{vmatrix} e_{1} & e_{2} &e_{3} \\ -1& 5 &-1 \\ 4& -1 & -5 \end{vmatrix}\begin{matrix} e_{1} & e_{2}\\ -1 & 5\\ 4 & -1 \end{matrix}=$

$\dpi{120} =-25e_{1}-4e_{2}+e_{3}-20e_{3}-e_{1}-5e_{2}=-26e_{1}-9e_{2}-19e_{3}=\left [ -26,-9,-19 \right ]$

Potrzebny nam jest jeszcze dowolny punkt $\dpi{120} P$ należący do tej prostej. W tym celu rozwiążemy układ równań składający się z równań płaszczyzn:

$\dpi{120} \left\{\begin{matrix} -x+5y-z+3=0\\ 4x-y+5z+3=0 \end{matrix}\right.$

Podstawmy np. $\dpi{120} x=0$ . Wówczas otrzymamy układ dwóch równań z dwiema niewiadomymi, który rozwiązujemy dowolną metodą:

$\dpi{120} \left\{\begin{matrix} 5y-z=-3\\ -y+5z=-3 \end{matrix}\right.$

Rozwiązaniami powyższego układu są:

$\dpi{120} \left\{\begin{matrix} y=\frac{11}{2}\\ z=\frac{1}{2} \end{matrix}\right.$

Zatem punkt ma współrzędne $\dpi{120} P=\left ( 0,\frac{11}{2} ,\frac{1}{2}\right )$ .

Równanie prostej zapisze się jako:

$\dpi{120} \frac{x}{-26}=\frac{y-\frac{11}{2}}{-9}=\frac{z-\frac{1}{2}}{-19}$

Pokaż rozwiązanie

Zwiń

3) $\dpi{120} \pi _{1}:\: -3x+y-5=0,\; \pi _{2}:\: 2y-z+3=0.$

Rozwiązanie

Zauważmy, że wektor kierunkowy prostej $\dpi{120} \vec{u}$ jest prostopadły do wektorów normalnych płaszczyzn $\dpi{120} \overrightarrow{n_{1}}=\left [-3,1,0 \right ]$ i $\dpi{120} \overrightarrow{n_{2}}=\left [ 0,2,-1\right ]$ . Zatem:

$\dpi{120} \vec{u}=\overrightarrow{n_{1}}\times \overrightarrow{n_{2}}=\begin{vmatrix} e_{1} & e_{2} &e_{3} \\ -3& 1 &0 \\ 0& 2 & -1 \end{vmatrix}\begin{matrix} e_{1} & e_{2}\\ -3 & 1\\ 0 & 2 \end{matrix}=$

$\dpi{120} =-e_{1}+0e_{2}-6e_{3}-0e_{3}-0e_{1}-3e_{2}=-e_{1}-3e_{2}-6e_{3}=\left [ -1,-3,-6 \right ]$

Potrzebny nam jest jeszcze dowolny punkt $\dpi{120} P$ należący do tej prostej. W tym celu rozwiążemy układ równań składający się z równań płaszczyzn:

$\dpi{120} \left\{\begin{matrix} -3x+y-5=0\\2y-z+3=0 \end{matrix}\right.$