Prosta w przestrzeni (teoria) - WYZNACZNIK

RÓWNANIE KRAWĘDZIOWE PROSTEJ

Rozważmy dwie nierównoległe płaszczyzny $\dpi{120} \pi _{1}$ i $\dpi{120} \pi _{2}$ odpowiednio o równaniach:

$\dpi{120} \pi _{1}:\; A_{1}x+B_{1}y+C_{1}z+D_{1}=0$

$\dpi{120} \pi _{2}:\; A_{2}x+B_{2}y+C_{2}z+D_{2}=0$

Płaszczyzny te przecinają się wzdłuż pewnej prostej $\dpi{120} l$ . Dlatego też układ równań

$\dpi{120} \left\{\begin{matrix} A_{1}x+B_{1}y+C_{1}z+D_{1}=0\\ A_{2}x+B_{2}y+C_{2}z+D_{2}=0 \end{matrix}\right.$

określa prostą w przestrzeni i nazywany jest postacią krawędziową prostej. Z postaci tej nie widać bezpośrednio kierunku prostej $\dpi{120} l$ .

RÓWNANIE PARAMETRYCZNE PROSTEJ

Niech będzie dany punkt $\dpi{120} P_{0}=\left ( x_{0},y_{0,}z_{0} \right )\in l$ oraz niezerowy wektor $\dpi{120} \vec{u}=\left [ u_{1},u_{2},u_{3} \right ]$ wyznaczający kierunek prostej $\dpi{120} l$ (wektor $\dpi{120} \vec{u}$ jest równoległy do prostej $\dpi{120} l$ ). Nazywany jest on wektorem kierunkowym prostej $\dpi{120} l$ . Wektor

$\dpi{120} \vec{u}=\left [ A_{1},B_{1},C_{1} \right ]\times \left [ A_{2},B_{2},C_{2} \right ]$

Wówczas równanie prostej $\dpi{120} l$ przechodzącej przez punkt $\dpi{120} P_{0}=\left ( x_{0},y_{0,}z_{0} \right )\in l$ i równoległej do wektora $\dpi{120} \vec{u}=\left [ u_{1},u_{2},u_{3} \right ]$ ma postać:

$\dpi{120} l:\; \left\{\begin{matrix} x=x_{0}+tu_{1}\\ y=y_{0}+tu_{2}\\ z=z_{0}+tu_{3} \end{matrix}\right.\; \; \; t\in \mathbb{R},\: u_{1}^{2}+u_{2}^{2}+u_{3}^{2}>0$

Jest to tzw. równanie parametryczne prostej.

RÓWNANIE KIERUNKOWE PROSTEJ

Eliminując z tych równań parametr $\dpi{120} t$ otrzymujemy inną postać równania prostej:

$\dpi{120} \frac{x-x_{0}}{u_{1}}=\frac{y-y_{0}}{u_{2}}=\frac{z-z_{0}}{u_{3}},\; \; u_{1}^{2}+u_{2}^{2}+u_{3}^{2}>0$

którą nazywamy równaniem kierunkowym prostej. Jeżeli w równaniach tych jeden z mianowników zeruje się, to przyjmujemy, że również odpowiadający mu licznik jest równy $\dpi{120} 0$ , np. jeżeli $\dpi{120} \vec{u}=\left [ 2,0,1 \right ]$ i $\dpi{120} P_{0}=\left ( 3,-2,5 \right )$ to równanie kierunkowe ma postać:

$\dpi{120} \left\{\begin{matrix} \frac{x-3}{2}=\frac{z-5}{1}\\ y+2=0 \end{matrix}\right.$

Zapraszamy do zadań! tutaj