Płaszczyzna w przestrzeni (zadania)

Mamy 5 zadań. W każdym z nich mamy napisać równanie płaszczyzny mając różne dane. Podstawą jest umiejętność liczenia iloczynu wektorowego. Patrz tutaj. Pamiętajmy, że wektor powstały w wyniku iloczynu wektorowego jest prostopadły do składowych tego iloczynu. Prosimy zajrzeć do zakładki Teoria tutaj, gdzie podane są podstawowe postaci prostych.

Zadanie 1. Napisz równanie płaszczyzny przechodzącej przez trzy dane punkty:

1) $\dpi{120} P_{1}=\left ( 2,4,1 \right ),P_{2}=\left ( -2,3,1 \right ),P_{3}=\left ( 1,-4,2 \right ),$

Rozwiązanie

Pamiętajmy, że przez trzy niewspółliniowe punkty przechodzi dokładnie jedna płaszczyzna. Aby wyznaczyć równanie tej płaszczyzny należy obliczyć jej wektor normalny:

$\dpi{120} \vec{n}=\overrightarrow{P_{1}P_{2}}\times \overrightarrow{P_{1}P_{3}}$

Policzmy zatem współrzędne wektorów $\dpi{120} \overrightarrow{P_{1}P_{2}}$ oraz $\dpi{120} \overrightarrow{P_{1}P_{3}}$ :

$\dpi{120} \overrightarrow{P_{1}P_{2}}=\left [ -2-2,3-4,1-1 \right ]=\left [ -4,-1,0 \right ]$

$\dpi{120} \overrightarrow{P_{1}P_{3}}=\left [ 1-2,-4-4,2-1 \right ]=\left [ -1,-8,1\right ]$

Korzystając ze wzoru na iloczyn wektorowy otrzymujemy:

$\dpi{120} \vec{n}=\overrightarrow{P_{1}P_{2}}\times \overrightarrow{P_{1}P_{3}}=\left [ -4,-1,0 \right ]\times \left [ -1,-8,1 \right ]=$

$\dpi{120} =\begin{vmatrix} e_{1} & e_{2} &e_{3} \\ -4& -1 & 0\\ -1 & -8& 1 \end{vmatrix}\begin{matrix} e_{1} & e_{2}\\ -4& -1\\ -1 & -8 \end{matrix}=-e_{1}+32e_{3}-e_{3}+4e_{2}=$

$\dpi{120} =-e_{1}+4e_{2}+31e_{3}=\left [ -1,4,31 \right ]$

Oznacza to, że równanie płaszczyzny ma postać:

$\dpi{120} -x+4y+31z+D=0$

Współczynnik $\dpi{120} D$ wyznaczamy z faktu, że np. punkt $\dpi{120} P_{1}=\left ( 2,4,1 \right )$ leży w tej płaszczyźnie:

$\dpi{120} -1\cdot 2+4\cdot 4+31\cdot 1+D=0\Rightarrow D=-45$

Wobec tego szukanym równaniem płaszczyzny jest:

$\dpi{120} -x+4y+31z-45=0$

Pokaż rozwiązanie

Zwiń

2) $\dpi{120} P_{1}=\left ( 3,2,1 \right ),P_{2}=\left ( 2,-2,4 \right ),P_{3}=\left ( 1,-4,2\right ),$

Rozwiązanie

Pamiętajmy, że przez trzy niewspółliniowe punkty przechodzi dokładnie jedna płaszczyzna. Aby wyznaczyć równanie tej płaszczyzny należy obliczyć jej wektor normalny:

$\dpi{120} \vec{n}=\overrightarrow{P_{1}P_{2}}\times \overrightarrow{P_{1}P_{3}}$

Policzmy zatem współrzędne wektorów $\dpi{120} \overrightarrow{P_{1}P_{2}}$ oraz $\dpi{120} \overrightarrow{P_{1}P_{3}}$ :

$\dpi{120} \overrightarrow{P_{1}P_{2}}=\left [2-3,-2-2,4-1\right ]=\left [ -1,-4,3\right ]$

$\dpi{120} \overrightarrow{P_{1}P_{3}}=\left [1-3,-4-2,2-1 \right ]=\left [ -2,-6,1\right ]$

Korzystając ze wzoru na iloczyn wektorowy otrzymujemy:

$\dpi{120} \vec{n}=\overrightarrow{P_{1}P_{2}}\times \overrightarrow{P_{1}P_{3}}=\left [ -1,-4,3 \right ]\times \left [ -2,-6,1\right ]=$

$\dpi{120} =\begin{vmatrix} e_{1} & e_{2} &e_{3} \\ -1& -4 & 3\\ -2 & -6& 1 \end{vmatrix}\begin{matrix} e_{1} & e_{2}\\ -1& -4\\ -2 & -6 \end{matrix}=-4e_{1}-6e_{2}+6e_{3}-8e_{3}+18e_{1}+e_{2}=$

$\dpi{120} =14e_{1}-5e_{2}-2e_{3}=\left [ 14,-5,-2 \right ]$

Oznacza to, że równanie płaszczyzny ma postać:

$\dpi{120} 14x-5y-2z+D=0$

Współczynnik $\dpi{120} D$ wyznaczamy z faktu, że np. punkt $\dpi{120} P_{1}=\left ( 3,2,1 \right )$ leży w tej płaszczyźnie:

$\dpi{120} 14\cdot 3-5\cdot 2-2\cdot 1+D=0\Rightarrow D=-30$

Wobec tego szukanym równaniem płaszczyzny jest:

$\dpi{120} 14x-5y-2z-30=0$

Pokaż rozwiązanie

Zwiń

3) $\dpi{120} P_{1}=\left ( 3,1,1 \right ),P_{2}=\left (1,-1,2 \right ),P_{3}=\left ( 3,-1,2 \right ).$

Rozwiązanie

Pamiętajmy, że przez trzy niewspółliniowe punkty przechodzi dokładnie jedna płaszczyzna. Aby wyznaczyć równanie tej płaszczyzny należy obliczyć jej wektor normalny:

$\dpi{120} \vec{n}=\overrightarrow{P_{1}P_{2}}\times \overrightarrow{P_{1}P_{3}}$

Policzmy zatem współrzędne wektorów $\dpi{120} \overrightarrow{P_{1}P_{2}}$ oraz $\dpi{120} \overrightarrow{P_{1}P_{3}}$ :

$\dpi{120} \overrightarrow{P_{1}P_{2}}=\left [1-3,-1-1,2-1\right ]=\left [ -2,-2,1\right ]$

$\dpi{120} \overrightarrow{P_{1}P_{3}}=\left [3-3,-1-1,2-1 \right ]=\left [ 0,-2,1\right ]$

Korzystając ze wzoru na iloczyn wektorowy otrzymujemy:

$\dpi{120} \vec{n}=\overrightarrow{P_{1}P_{2}}\times \overrightarrow{P_{1}P_{3}}=\left [ -2,-2,1 \right ]\times \left [ 0,-2,1\right ]=$

$\dpi{120} =\begin{vmatrix} e_{1} & e_{2} &e_{3} \\ -2& -2 & 1\\ 0 & -2& 1 \end{vmatrix}\begin{matrix} e_{1} & e_{2}\\ -2& -2\\ 0 & -2 \end{matrix}=-2e_{1}+4e_{3}+2e_{1}+2e_{2}=$

$\dpi{120} =2e_{2}+4e_{3}=\left [ 0,2,4 \right ]$

Oznacza to, że równanie płaszczyzny ma postać:

$\dpi{120} 2y+4z+D=0$

Współczynnik $\dpi{120} D$ wyznaczamy z faktu, że np. punkt $\dpi{120} P_{1}=\left ( 3,1,1 \right )$ leży w tej płaszczyźnie:

$\dpi{120} 2\cdot 1+4\cdot 1+D=0\Rightarrow D=-6$

Wobec tego szukanym równaniem płaszczyzny jest:

$\dpi{120} 2y+4z-6=0$

Pokaż rozwiązanie

Zwiń

Zadanie 2. Napisz równanie ogólne płaszczyzny przechodzącej przez punkt $\dpi{120} \large P$ i równoległej do wektorów $\dpi{120} \large \vec{u}$ i $\dpi{120} \large \vec{v}$ :

1) $\dpi{120} P=\left ( 2,-1,1 \right ),\vec{u}=\left [ 1,2,3 \right ],\vec{v}=\left [ -2,1,-3 \right ],$

Rozwiązanie

Należy znaleźć wektor normalny $\dpi{120} \vec{n}=\left [ A,B,C \right ]$ tej płaszczyzny. Wektor normalny płaszczyzny jest wektorem prostopadłym do płaszczyzny. My zaś mamy dane dwa wektory równoległe do tej płaszczyzny. Wobec tego wektor normalny będzie również prostopadły do tych dwóch wektorów. Z własności iloczynu wektorowego wiemy, że wektor będący wartością iloczynu wektorowego jest prostopadły do składowych tego iloczynu. Licząc więc iloczyn $\dpi{120} \vec{u}\times \vec{v}$ otrzymamy wektor normalny płaszczyzny.

$\dpi{120} \vec{n}=\vec{u}\times \vec{v}$

Zatem:

$\dpi{120} \vec{u}\times \vec{v}=\left [ 1,2,3 \right ]\times \left [ -2,1,-3 \right ]=\begin{vmatrix} e_{1} & e_{2} & e_{3}\\ 1 &2 &3 \\ -2& 1 & -3 \end{vmatrix}\begin{matrix} e_{1} &e_{2} \\ 1 & 2\\ -2 & 1 \end{matrix}=$

$\dpi{120} =-6e_{1}-6e_{2}+e_{3}+4e_{3}-3e_{1}+3e_{2}=-9e_{1}-3e_{2}+5e_{3}=\left [ -9,-3,5 \right ]$

Otrzymaliśmy, że wektor normalny ma współrzędne $\dpi{120} \vec{n}=\left [ -9,-3,5 \right ]$ . Zatem równanie ogólne płaszczyzny ma postać:

$\dpi{120} -9x-3y+5z+D=0$

Współczynnik $\dpi{120} D$ wyliczamy wstawiając punkt $\dpi{120} P=\left ( 2,-1,1 \right )$ do równania płaszczyzny (punkt $\dpi{120} P$ leży na płaszczyźnie):

$\dpi{120} -9\cdot 2-3\cdot \left ( -1 \right )+5\cdot 1+D=0\Rightarrow D=10$

Równanie szukanej płaszczyzny jest postaci:

$\dpi{120} -9x-3y+5z+10=0$

Pokaż rozwiązanie

Zwiń

2) $\dpi{120} P=\left ( 3,-2,1 \right ),\vec{u}=\left [ -1,1,2 \right ],\vec{v}=\left [ 2,-1,1 \right ],$

Rozwiązanie

$\dpi{120} \vec{n}=\vec{u}\times \vec{v}$

Zatem:

$\dpi{120} \vec{u}\times \vec{v}=\left [ -1,1,2 \right ]\times \left [ 2,-1,1 \right ]=\begin{vmatrix} e_{1} & e_{2} & e_{3}\\ -1 &1 &2 \\ 2& -1 & 1 \end{vmatrix}\begin{matrix} e_{1} &e_{2} \\ -1 & 1\\ 2 & -1 \end{matrix}=$

$\dpi{120} =e_{1}+4e_{2}+e_{3}-2e_{3}+2e_{1}+e_{2}=3e_{1}+5e_{2}-e_{3}=\left [ 3,5,-1 \right ]$

Otrzymaliśmy, że wektor normalny ma współrzędne $\dpi{120} \vec{n}=\left [ 3,5,-1 \right ]$ . Zatem równanie ogólne płaszczyzny ma postać:

$\dpi{120} 3x+5y-z+D=0$

Współczynnik $\dpi{120} D$ wyliczamy wstawiając punkt $\dpi{120} P=\left (3,-2,1 \right )$ do równania płaszczyzny (punkt $\dpi{120} P$ leży na płaszczyźnie):

$\dpi{120} 3\cdot 3+5\cdot \left ( -2 \right )-1\cdot 1+D=0\Rightarrow D=2$

Równanie szukanej płaszczyzny jest postaci:

$\dpi{120} 3x+5y-z+2=0$

Pokaż rozwiązanie

Zwiń

3) $\dpi{120} P=\left ( 4,1,0 \right ),\vec{u}=\left [ 2,3,-1 \right ],\vec{v}=\left [ 0,3,2 \right ].$

Rozwiązanie

$\dpi{120} \vec{n}=\vec{u}\times \vec{v}$

Zatem:

$\dpi{120} \vec{u}\times \vec{v}=\left [ 2,3,-1 \right ]\times \left [ 0,3,2 \right ]=\begin{vmatrix} e_{1} & e_{2} & e_{3}\\ 2 &3 &-1 \\ 0& 3 & 2 \end{vmatrix}\begin{matrix} e_{1} &e_{2} \\ 2 & 3\\ 0 & 3 \end{matrix}=$

$\dpi{120} =6e_{1}+0e_{2}+6e_{3}+0e_{3}+3e_{1}-4e_{2}=9e_{1}-4e_{2}+6e_{3}=\left [ 9,-4,6 \right ]$

Otrzymaliśmy, że wektor normalny ma współrzędne $\dpi{120} \vec{n}=\left [ 9,-4,6 \right ]$ . Zatem równanie ogólne płaszczyzny ma postać:

$\dpi{120} 9x-4y+6z+D=0$

Współczynnik $\dpi{120} D$ wyliczamy wstawiając punkt $\dpi{120} P=\left (4,1,0\right )$ do równania płaszczyzny (punkt $\dpi{120} P$ leży na płaszczyźnie):

$\dpi{120} 9\cdot 4-4\cdot 1+6\cdot 0+D=0\Rightarrow D=-32$

Równanie szukanej płaszczyzny jest postaci:

$\dpi{120} 9x-4y+6z-32=0$

Pokaż rozwiązanie

Zwiń

Zadanie 3. Napisz równanie płaszczyzny przechodzącej przez dany punkt $\dpi{120} \large P$ i równoległej do płaszczyzny $\dpi{120} \large \pi _{1}$ .

1) $\dpi{120} P=\left ( 0,2,3 \right ),\pi _{1}:\; x-3y-z-2=0,$

Rozwiązanie

Ponieważ szukana płaszczyzna jest równoległa do płaszczyzny $\dpi{120} \pi _{1}$ , więc ich wektory normalne są również równoległe. Wektor normalny płaszczyzny $\dpi{120} \pi _{1}$ ma współrzędne $\dpi{120} \vec{n_{1}}=\left [ 1,-3,-1 \right ]$ . Jest on również wektorem normalnym szukanej płaszczyzny:

$\dpi{120} \vec{n}=\vec{n_{1}}=\left [ 1,-3,-1 \right ]$

Równanie płaszczyzny ma postać:

$\dpi{120} x-3y-z+D=0$

Wykorzystujemy fakt, że punkt $\dpi{120} P=\left ( 0,2,3 \right )$ leży w tej płaszczyźnie, więc:

$\dpi{120} 1\cdot 0-3\cdot 2-1\cdot 3+D=0\Rightarrow D=9$

Zatem równanie szukanej płaszczyzny ma postać:

$\dpi{120} x-3y-z+9=0$

Pokaż rozwiązanie

Zwiń

2) $\dpi{120} P=\left ( 3,-2,1 \right ),\pi _{1}:\; -x-2y+z-5=0,$

Rozwiązanie

Ponieważ szukana płaszczyzna jest równoległa do płaszczyzny $\dpi{120} \pi _{1}$ , więc ich wektory normalne są również równoległe. Wektor normalny płaszczyzny $\dpi{120} \pi _{1}$ ma współrzędne $\dpi{120} \vec{n_{1}}=\left [ -1,-2,1\right ]$ . Jest on również wektorem normalnym szukanej płaszczyzny:

$\dpi{120} \vec{n}=\vec{n_{1}}=\left [ -1,-2,1 \right ]$

Równanie płaszczyzny ma postać:

$\dpi{120} -x-2y+z+D=0$

Wykorzystujemy fakt, że punkt $\dpi{120} P=\left ( 3,-2,1 \right )$ leży w tej płaszczyźnie, więc:

$\dpi{120} -1\cdot 3-2\cdot \left ( -2 \right )+1\cdot 1+D=0\Rightarrow D=-2$

Zatem równanie szukanej płaszczyzny ma postać:

$\dpi{120} -x-2y+z-2=0$

Pokaż rozwiązanie

Zwiń

3) $\dpi{120} P=\left ( -4,2,0 \right ),\pi _{1}:\; 2x-y+z-3=0.$

Rozwiązanie

Ponieważ szukana płaszczyzna jest równoległa do płaszczyzny $\dpi{120} \pi _{1}$ , więc ich wektory normalne są również równoległe. Wektor normalny płaszczyzny $\dpi{120} \pi _{1}$ ma współrzędne $\dpi{120} \vec{n_{1}}=\left [ 2,-1,1\right ]$ . Jest on również wektorem normalnym szukanej płaszczyzny:

$\dpi{120} \vec{n}=\vec{n_{1}}=\left [2,-1,1\right ]$

Równanie płaszczyzny ma postać:

$\dpi{120} 2x-y+z+D=0$

Wykorzystujemy fakt, że punkt $\dpi{120} P=\left ( -4,2,0 \right )$ leży w tej płaszczyźnie, więc:

$\dpi{120} 2\cdot \left ( -4 \right )-1\cdot 2+1\cdot 0+D=0\Rightarrow D=10$

Zatem równanie szukanej płaszczyzny ma postać:

$\dpi{120} 2x-y+z+10=0$

Pokaż rozwiązanie

Zwiń

Zadanie 4. Napisz równanie płaszczyzny przechodzącej przez dany punkt $\dpi{120} \large P$ i prostopadłej do płaszczyzn $\dpi{120} \large \pi _{1}$ i $\dpi{120} \large \pi _{2}$ :

1) $\dpi{120} P=\left ( 2,1,0 \right ),\; \pi _{1}:\; x-2y-z-1=0,\; \pi _{2}:\; 2x-2y+3z+1=0,$

Rozwiązanie

Szukana płaszczyzna $\dpi{120} \pi$ ma być prostopadła do płaszczyzn $\dpi{120} \pi _{1}$ i $\dpi{120} \pi _{2}$ . Oznacza to, że wektor normalny płaszczyzny $\dpi{120} \pi$ jest prostopadły do wektorów normalnych płaszczyzn $\dpi{120} \pi _{1}$ i $\dpi{120} \pi _{2}$ . Wykorzystujemy własność iloczynu wektorowego, że wektor będący wynikiem iloczynu wektorowego jest prostopadły do wektorów składowych tego iloczynu. A więc szukany wektor normalny $\dpi{120} \vec{n}$ jest równy $\dpi{120} \vec{n}=\vec{n_{1}}\times \vec{n_{2}}$ , gdzie $\dpi{120} \vec{n_{1}}=\left [ 1,-2,-1 \right ]$ – wektor normalny $\dpi{120} \pi _{1}$ , $\dpi{120} \vec{n_{2}}=\left [ 2,-2,3 \right ]$ – wektor normalny $\dpi{120} \pi _{2}$ . Czyli:

$\dpi{120} \vec{n}=\begin{vmatrix} e_{1} & e_{2} &e_{3} \\ 1 & -2 &-1 \\ 2& -2 & 3 \end{vmatrix}\begin{matrix} e_{1} & e_{2}\\ 1 & -2\\ 2 & -2 \end{matrix}=-6e_{1}-2e_{2}-2e_{3}+4e_{3}-2e_{1}-3e_{2}=$

$\dpi{120} =-8e_{1}-5e_{2}+2e_{3}=\left [ -8,-5,2 \right ]$

Wobec tego równanie ogólne płaszczyzny zapisujemy jako:

$\dpi{120} -8x-5y+2z+D=0$

Wstawiając współrzędne punktu $\dpi{120} P=\left ( 2,1,0 \right )$ otrzymujemy, że:

$\dpi{120} -8\cdot 2-5\cdot 1+2\cdot 0+D=0\Rightarrow D=21$

Zatem równanie płaszczyzny ma postać:

$\dpi{120} -8x-5y+2z+21=0$

Pokaż rozwiązanie

Zwiń

2) $\dpi{120} P=\left ( 2,0,-3 \right ),\; \pi _{1}:\; -3x+y-z-4=0,\; \pi _{2}:\; x+2y-3z+5=0,$

Rozwiązanie

Szukana płaszczyzna $\dpi{120} \pi$ ma być prostopadła do płaszczyzn $\dpi{120} \pi _{1}$ i $\dpi{120} \pi _{2}$ . Oznacza to, że wektor normalny płaszczyzny $\dpi{120} \pi$ jest prostopadły do wektorów normalnych płaszczyzn $\dpi{120} \pi _{1}$ i $\dpi{120} \pi _{2}$ . Wykorzystujemy własność iloczynu wektorowego, że wektor będący wynikiem iloczynu wektorowego jest prostopadły do wektorów składowych tego iloczynu. A więc szukany wektor normalny $\dpi{120} \vec{n}$ jest równy $\dpi{120} \vec{n}=\vec{n_{1}}\times \vec{n_{2}}$ , gdzie $\dpi{120} \vec{n_{1}}=\left [ -3,1,-1 \right ]$ – wektor normalny $\dpi{120} \pi _{1}$ , $\dpi{120} \vec{n_{2}}=\left [ 1,2,-3 \right ]$ – wektor normalny $\dpi{120} \pi _{2}$ . Czyli:

$\dpi{120} \vec{n}=\begin{vmatrix} e_{1} & e_{2} &e_{3} \\ -3 & 1 &-1 \\ 1& 2 & -3 \end{vmatrix}\begin{matrix} e_{1} & e_{2}\\ -3 & 1\\ 1 & 2 \end{matrix}=-3e_{1}-e_{2}-6e_{3}-e_{3}+2e_{1}-9e_{2}=$

$\dpi{120} =-e_{1}-10e_{2}-7e_{3}=\left [ -1,-10,-7 \right ]$

Wobec tego równanie ogólne płaszczyzny zapisujemy jako:

$\dpi{120} -x-10y-7z+D=0$

Wstawiając współrzędne punktu $\dpi{120} P=\left ( 2,0,-3\right )$ otrzymujemy, że:

$\dpi{120} -1\cdot 2-10\cdot 0-7\cdot \left ( -3 \right )+D=0\Rightarrow D=-19$

Zatem równanie płaszczyzny ma postać:

$\dpi{120} -x-10y-7z-19=0$

Pokaż rozwiązanie

Zwiń

3) $\dpi{120} P=\left ( 3,2,1 \right ),\; \pi _{1}:\; x+2y-1=0,\; \pi _{2}:\; -3x-2y+z=0.$

Rozwiązanie

Szukana płaszczyzna $\dpi{120} \pi$ ma być prostopadła do płaszczyzn $\dpi{120} \pi _{1}$ i $\dpi{120} \pi _{2}$ . Oznacza to, że wektor normalny płaszczyzny $\dpi{120} \pi$ jest prostopadły do wektorów normalnych płaszczyzn $\dpi{120} \pi _{1}$ i $\dpi{120} \pi _{2}$ . Wykorzystujemy własność iloczynu wektorowego, że wektor będący wynikiem iloczynu wektorowego jest prostopadły do wektorów składowych tego iloczynu. A więc szukany wektor normalny $\dpi{120} \vec{n}$ jest równy $\dpi{120} \vec{n}=\vec{n_{1}}\times \vec{n_{2}}$ , gdzie $\dpi{120} \vec{n_{1}}=\left [ 1,2,0 \right ]$ – wektor normalny $\dpi{120} \pi _{1}$ , $\dpi{120} \vec{n_{2}}=\left [-3,-2,1 \right ]$ – wektor normalny $\dpi{120} \pi _{2}$ . Czyli:

$\dpi{120} \vec{n}=\begin{vmatrix} e_{1} & e_{2} &e_{3} \\ 1 & 2 &0 \\ -3& -2 & 1 \end{vmatrix}\begin{matrix} e_{1} & e_{2}\\ 1 & 2\\ -3 & -2 \end{matrix}=2e_{1}+0e_{2}-2e_{3}+6e_{3}+0e_{1}-e_{2}=$

$\dpi{120} =2e_{1}-e_{2}+4e_{3}=\left [ 2,-1,4 \right ]$

Wobec tego równanie ogólne płaszczyzny zapisujemy jako:

$\dpi{120} 2x-y+4z+D=0$

Wstawiając współrzędne punktu $\dpi{120} P=\left ( 3,2,1\right )$ otrzymujemy, że:

$\dpi{120} 2\cdot 3-1\cdot 2+4\cdot 1+D=0\Rightarrow D=-8$

Zatem równanie płaszczyzny ma postać:

$\dpi{120} 2x-y+4z-8=0$

Pokaż rozwiązanie

Zwiń

Zadanie 5. Napisz równanie płaszczyzny przechodzącej przez punkty $\dpi{120} \large P_{1}$ i $\dpi{120} \large P_{2}$ oraz prostopadłej do płaszczyzny $\dpi{120} \large \pi _{1}$ :

1) $\dpi{120} P_{1}=\left ( -2,3,1 \right ),P_{2}=\left ( 3,0,1 \right ),\pi _{1}:\; 4x-2y+z-2=0,$

Rozwiązanie

Wektor normalny płaszczyzny $\dpi{120} \pi _{1}$ jest równoległy do płaszczyzny szukanej $\dpi{120} \pi$ . Ponadto wektor $\dpi{120} \overrightarrow{P_{1}P_{2}}$ leży w płaszczyźnie $\dpi{120} \pi$ . Mamy zatem dwa wektory równoległe do szukanej płaszczyzny $\dpi{120} \pi$ . Stąd jej wektor normalny otrzymamy z zależności $\dpi{120} \vec{n}=\overrightarrow{n_{1}}\times \overrightarrow{P_{1}P_{2}}$ . Policzmy najpierw współrzędne wektora $\dpi{120} \overrightarrow{P_{1}P_{2}}$ :

$\dpi{120} \overrightarrow{P_{1}P_{2}}=\left [ 3-\left ( -2 \right ),0-3,1-1 \right ]=\left [ 5,-3,0 \right ]$

Liczymy wektor $\dpi{120} \vec{n}$ :

$\dpi{120} \vec{n}=\overrightarrow{n_{1}}\times \overrightarrow{P_{1}P_{2}}=\left [ 4,-2,1 \right ]\times \left [ 5,-3,0 \right ]=$

$\dpi{120} =\begin{vmatrix} e_{1} & e_{2} & e_{3}\\ 4&-2 & 1\\ 5 & -3 & 0 \end{vmatrix}\begin{matrix} e_{1} & e_{2}\\ 4& -2\\ 5 & -3 \end{matrix}=0e_{1}+5e_{2}-12e_{3}+10e_{3}+3e_{1}-0e_{2}=$

$\dpi{120} =3e_{1}+5e_{2}-2e_{3}=\left [ 3,5,-2 \right ]$

Równanie płaszczyzny $\dpi{120} \pi$ ma postać:

$\dpi{120} 3x+5y-2z+D=0$

Wstawiamy np. punkt $\dpi{120} P_{1}=\left ( -2,3,1 \right )$ i otrzymujemy współczynnik $\dpi{120} D$ :

$\dpi{120} 3\cdot \left ( -2 \right )+5\cdot 3-2\cdot 1+D=0\Rightarrow D=-7$

Zatem równanie płaszczyzny $\dpi{120} \pi$ to:

$\dpi{120} 3x+5y-2z-7=0$

Pokaż rozwiązanie

Zwiń

2) $\dpi{120} P_{1}=\left ( 4,1,0 \right ),P_{2}=\left ( -3,1,2 \right ),\pi _{1}:\; x+3y+2z-6=0,$

Rozwiązanie

$\dpi{120} \overrightarrow{P_{1}P_{2}}=\left [ -3-4,1-1,2-0\right ]=\left [ -7,0,2 \right ]$

Liczymy wektor $\dpi{120} \vec{n}$ :

$\dpi{120} \vec{n}=\overrightarrow{n_{1}}\times \overrightarrow{P_{1}P_{2}}=\left [ 1,3,2 \right ]\times \left [ -7,0,2 \right ]=$

$\dpi{120} =\begin{vmatrix} e_{1} & e_{2} & e_{3}\\ 1&3 & 2\\ -7 & 0 & 2\end{vmatrix}\begin{matrix} e_{1} & e_{2}\\ 1& 3\\ -7 & 0 \end{matrix}=6e_{1}-14e_{2}+0e_{3}+21e_{3}-0e_{1}-2e_{2}=$

$\dpi{120} =6e_{1}-16e_{2}+21e_{3}=\left [ 6,-16,21 \right ]$

Równanie płaszczyzny $\dpi{120} \pi$ ma postać:

$\dpi{120} 6x-16y+21z+D=0$

Wstawiamy np. punkt $\dpi{120} P_{1}=\left ( 4,1,0\right )$ i otrzymujemy współczynnik $\dpi{120} D$ :

$\dpi{120} 6\cdot 4-16\cdot 1+21\cdot 0+D=0\Rightarrow D=-8$

Zatem równanie płaszczyzny $\dpi{120} \pi$ to:

$\dpi{120} 6x-16y+21z-8=0$

Pokaż rozwiązanie

Zwiń

3) $\dpi{120} P_{1}=\left ( 7,2,3 \right ),P_{2}=\left (0,1,2 \right ),\pi _{1}$ – płaszczyzna $\dpi{120} Oxy.$

Rozwiązanie

Wektor normalny płaszczyzny $\dpi{120} \pi _{1}$ jest równoległy do płaszczyzny szukanej $\dpi{120} \pi$ . Ponieważ płaszczyzna $\dpi{120} \pi _{1}$ to płaszczyzna $\dpi{120} Oxy:\; z=0$ , więc jej wektor normalny to $\dpi{120} \overrightarrow{n_{1}}=\left [ 0,0,1 \right ]$ Ponadto wektor $\dpi{120} \overrightarrow{P_{1}P_{2}}$ leży w płaszczyźnie $\dpi{120} \pi$ . Mamy zatem dwa wektory równoległe do szukanej płaszczyzny $\dpi{120} \pi$ . Stąd jej wektor normalny otrzymamy z zależności $\dpi{120} \vec{n}=\overrightarrow{n_{1}}\times \overrightarrow{P_{1}P_{2}}$ . Policzmy najpierw współrzędne wektora $\dpi{120} \overrightarrow{P_{1}P_{2}}$ :

$\dpi{120} \overrightarrow{P_{1}P_{2}}=\left [ 0-7,1-2,2-3\right ]=\left [ -7,-1,-1\right ]$

Liczymy wektor $\dpi{120} \vec{n}$ :

$\dpi{120} \vec{n}=\overrightarrow{n_{1}}\times \overrightarrow{P_{1}P_{2}}=\left [ 0,0,1\right ]\times \left [ -7,-1,-1 \right ]=$

$\dpi{120} =\begin{vmatrix} e_{1} & e_{2} & e_{3}\\ 0& 0& 1\\ -7 & -1 & -1\end{vmatrix}\begin{matrix} e_{1} & e_{2}\\ 0& 0\\ -7 & -1 \end{matrix}=0e_{1}-7e_{2}+0e_{3}+0e_{3}+e_{1}-0e_{2}=$