Płaszczyzna w przestrzeni (teoria)

RÓWNANIE OGÓLNE PŁASZCZYZNY

Niech $\dpi{120} P_{0}=\left ( x_{0},y_{0},z_{0} \right )$ będzie dowolnym punktem przestrzeni $\dpi{120} \mathbb{R}^{3}$ oraz $\dpi{120} \vec{n}=\left [ A,B,C \right ]$ wektorem z tej przestrzeni. Płaszczyznę $\dpi{120} \pi$ określamy jako zbiór punktów $\dpi{120} P=\left ( x,y,z \right )$ takich, że wektor $\dpi{120} \overrightarrow{P_{0}P}$ jest prostopadły do wektora $\dpi{120} \vec{n}$ . Z warunku prostopadłości wektorów mamy, że:

$\dpi{120} \overrightarrow{P_{0}P}\circ \vec{n}=0.$

Oznacza to, że

$\dpi{120} \left [ x-x_{0},y-y_{0},z-z_{0} \right ]\circ \left [ A,B,C \right ]=0$

$\dpi{120} A\cdot \left ( x-x_{0} \right )+B\cdot \left ( y-y_{0} \right )+C\cdot \left ( z-z_{0} \right )=0$

$\dpi{120} Ax+By+Cz-Ax_{0}-By_{0}-Cz_{0}=0.$

Kładąc $\dpi{120} D=-Ax_{0}-By_{0}-Cz_{0}$ otrzymujemy równanie płaszczyzny $\dpi{120} \pi$ postaci:

$\dpi{120} \pi :\; \; Ax+By+Cz+D=0.$

Równanie to nazywamy równaniem ogólnym płaszczyzny . Wektor prostopadły do płaszczyzny $\dpi{120} \pi$ nazywamy wektorem normalnym. Jednym z wektorów normalnych jest wektor $\dpi{120} \vec{n}=\left [ A,B,C \right ]$ .

RÓWNANIE ODCINKOWE PŁASZCZYZNY

Wiemy, że jeżeli wektory są współpłaszczyznowe, to ich iloczyn mieszany jest równy $\dpi{120} 0$ . Niech $\dpi{120} P=\left ( x,y,z \right )$ będzie dowolnym punktem płaszczyzny $\dpi{120} \pi$ . Oznacza to, że dla dowolnych trzech danych punktów niewspółliniowych $\dpi{120} P_{1}=\left ( x_{1},y_{1},z_{1} \right )$ , $\dpi{120} P_{2}=\left ( x_{2},y_{2},z_{2} \right )$ , $\dpi{120} P_{3}=\left ( x_{3},y_{3},z_{3} \right )\in \pi$ wektory $\dpi{120} \overrightarrow{P_{1}P}$ , $\dpi{120} \overrightarrow{P_{1}P_{2}}$ , $\dpi{120} \overrightarrow{P_{1}P_{3}}$ leżą w płaszczyźnie $\dpi{120} \pi$ . Zatem iloczyn mieszany $\dpi{120} \left ( \overrightarrow{P_{1}P}, \overrightarrow{P_{1}P_{2}},\overrightarrow{P_{1}P_{3}}\right )=0$ . Stąd:

$\dpi{120} \pi :\; \; \begin{vmatrix} x-x_{1} & y-y_{1} & z-z_{1}\\ x_{2}-x_{1} & y_{2}-y_{1} & z_{2}-z_{1}\\ x_{3}-x_{1} & y_{3}-y_{1} & z_{3}-z_{1} \end{vmatrix}=0.$

Wróćmy do równania ogólnego płaszczyzny $\dpi{120} \pi :\; \; Ax+By+Cz+D=0.$ Jeżeli płaszczyzna nie przechodzi przez początek układu współrzędnych, to $\dpi{120} D\neq 0$ . Dzieląc stronami to równanie przez $\dpi{120} -D$ otrzymujemy postać:

$\dpi{120} \frac{x}{-\frac{D}{A}}+\frac{y}{-\frac{D}{B}}+\frac{z}{-\frac{D}{C}}=1$

Kładąc odpowiednio: $\dpi{120} a=-\frac{D}{A}$ , $\dpi{120} b=-\frac{D}{B}$ , $\dpi{120} c=-\frac{D}{C}$ otrzymujemy, tzw. równanie odcinkowe płaszczyzny:

$\dpi{120} \pi :\; \; \frac{x}{a}=\frac{y}{b}=\frac{z}{c}=1.$

Wynika z niego, że płaszczyzna $\dpi{120} \pi$ przecina osie współrzędnych $\dpi{120} Ox,Oy,Oz$ odpowiednio w punktach $\dpi{120} \left ( a,0,0 \right )$ , $\dpi{120} \left ( 0,b,0 \right )$ , $\dpi{120} \left ( 0,0,c \right )$ , gdzie $\dpi{120} a,b,c\neq 0$ .

RÓWNANIE PARAMETRYCZNE PŁASZCZYZNY

Kolejną postacią równania płaszczyzny jest tzw. postać parametryczna równania płaszczyzny. Jeżeli punkty $\dpi{120} P_{0}=\left ( x_{0},y_{0},z_{0} \right )$ oraz $\dpi{120} P=\left ( x,y,z \right )$ należą do płaszczyzny $\dpi{120} \pi$ i wektory $\dpi{120} \vec{u}=\left [ u_{1},u_{2},u_{3} \right ]$ , $\dpi{120} v=\left [ v_{1},v_{2},v_{3} \right ]$ są do niej równoległe, to wektor $\dpi{120} \overrightarrow{P_{0}P}$ jest kombinacją liniową wektorów $\dpi{120} \vec{u}$ , $\dpi{120} \vec{v}$ co można zapisać jako:

$\dpi{120} \overrightarrow{P_{0}P}=t\vec{u}+s\vec{v},\; \; t,s\in \mathbb{R}.$

Otrzymujemy zatem równanie parametryczne:

$\dpi{120} \pi :\; \; \left\{\begin{matrix} x=x_{0}+tu_{1}+sv_{1}\\ y=x_{0}+tu_{2}+sv_{2}\\ z=x_{0}+tu_{3}+sv_{3} \end{matrix}\right.\; \;\; t,s\in \mathbb{R}.$

Zapraszamy do zadań! tutaj