Mamy 3 zadania. W zadaniu 1 uczymy się rozwiązywać równania jednorodne rzędu II. Chociaż w podpunkcie 8 i 9 tego zadania pojawiają się równania wyższego rzędu. Warto zobaczyć, gdyż nie jest to nic skomplikowanego. W zadaniu 2 dołożony jest warunek początkowy, ale dalej ćwiczymy rozwiązywanie równań jednorodnych. Zadanie 3 to już pełne równanie rzędu II Read more about Równania rzędu drugiego o stałych współczynnikach – zadania[…]
Równanie liniowe rzędu drugiego o stałych współczynnikach to równanie postaci: I krok Aby rozwiązać powyższe równanie w pierwszym kroku należy rozwiązać równanie jednorodne, czyli takie, którego prawa strona jest równa zero: Schemat w dalszej części. Otrzymujemy rozwiązanie . II krok Następnie znajdujemy rozwiązanie szczególne metodą przewidywań. III krok Rozwiązanie końcowe równania ma postać: Schemat rozwiązania Read more about Równania rzędu drugiego o stałych współczynnikach- teoria[…]
W temacie tym nie mamy zakładki Teoria, gdyż metodę eliminacji Gaussa (metoda przekształceń elementarnych) najlepiej tłumaczyć na przykładach. Metoda ta pozwala na rozwiązanie zarówno układów cramerowskich, jak również ogólnych układów, w których poprzednio stosowaliśmy twierdzenie Kroneckera-Capellego tutaj. U podstaw tej metody leżą przekształcenia elementarne, które wykonane na równaniach układu, prowadzą do układu równoważnego z wyjściowym Read more about Metoda eliminacji Gaussa – zadania[…]
Mamy 3 zadania. Pierwsze zadanie jest zastosowaniem metody przewidywań. Wszystkie podpunkty są ważne, gdyż w każdym z nich pojawia się nowa ważna rzecz. Prosimy nie opuszczać żadnego. Zadanie 2 to wykorzystywane kolejne dwie metody: uzmiennienia stałej i czynnika całkującego. Podpunkt pierwszy rozwiązujemy oboma metodami (dla porównania). Następne na przemian tymi metodami. Proponujemy nauczenie się jednej Read more about Równania liniowe – zadania[…]
Schemat metody przewidywań dla równania Schemat metody uzmiennienia stałej dla równania Schemat metody czynnika całkującego dla równania Zapraszamy do zadań! tutaj
Równanie różniczkowe liniowe rzędu I jest to równanie postaci: Poznamy trzy metody rozwiązywania tego typu równań: 1) metoda przewidywań, 2) metoda uzmiennienia stałej, 3) metoda czynnika całkującego. Metoda przewidywań nie jest metodą ogólną. Rozwiązuje tylko pewne równania liniowe. Są one postaci: gdzie jest pewną stałą (nie funkcją) rzeczywistą, a funkcja ma jedną z postaci: a) Read more about Równania liniowe – teoria[…]
Mamy 2 zadania. W pierwszym zadaniu rozwiązujemy kolejno równania różniczkowe o rozdzielonych zmiennych od przykładów łatwych do coraz trudniejszych. Dobrze jest przestudiować wszystkie przykłady (łatwe również), gdyż pojawiają się w nich pewne przekształcenia, które później pojawiają się dosyć często. Znajdujemy tutaj tzw. rozwiązanie ogólne. W zadaniu drugim dochodzi nam warunek początkowy nazywany również zagadnieniem Cauchy’ego. Read more about Równanie różniczkowe o rozdzielonych zmiennych – zadania[…]
Jest to podstawowe równanie różniczkowe, które pojawia się później w innych typach równań. Jak sama nazwa wskazuje, w równaniu tym daje się rozdzielić zmienne i . Staramy się, aby po lewej stronie znalazła się zmienna , zaś po prawej zmienna . Równanie różniczkowe o rozdzielonych zmiennych ma postać: Uwzględniając, że mamy: Rozdzielamy zmienne: Całkujemy obustronnie: Read more about Równania o rozdzielonych zmiennych – teoria[…]
Kolejność podpunktów w zadaniu jest istotna. Pierwsze przykłady są bardzo łatwe tak , aby utrwalić schemat rozwiązania podany w zakładce Wzory tutaj. Kolejne są trudniejsze. Jest więcej niż jeden punkt stacjonarny i układ równań, który rozwiązujemy w punkcie 3. schematu jest również trudniejszy. Dlatego najpierw należy zaznajomić się ze schematem podanym w zakładce Wzory, a Read more about Ekstrema lokalne funkcji dwóch zmiennych – zadania[…]
Schemat badania ekstremum lokalnego funkcji dwóch zmiennych: 1. Wyznaczamy dziedzinę funkcji. 2. Wyznaczamy pochodne cząstkowe pierwszego rzędu , . 3. Rozwiązujemy układ dwóch równań z dwiema niewiadomymi (warunek konieczny istnienia ekstremum): Rozwiązaniem układu są tzw. punkty stacjonarne . 4. Wyznaczamy pochodne cząstkowe drugiego rzędu . Powinniśmy otrzymać . 5. Sprawdzamy znak wyznacznika w punktach stacjonarnych: Read more about Ekstrema lokalne funkcji dwóch zmiennych – wzory[…]