Zmienna losowa ma rozkład dwumianowy (Bernoulli’ego) z parametrami i , jeśli jej funkcja prawdopodobieństwa dana jest wzorem: gdzie , , , . Pokazuje się, że : Zatem zmienna losowa oznaczająca liczbę sukcesów w doświadczeniach Bernoulli’ego ma rozkład dwumianowy, czyli prawdopodobieństwo, że w doświadczeniach Bernoulli’ego sukces wypadnie razy, wyraża się wzorem: w którym oznacza prawdopodobieństwo sukcesu Read more about Schemat Bernoulli’ego – teoria[…]
Mamy 5 zadań. Pierwsze dwa dotyczą zmiennych losowych skokowych. Zadanie 3 i zadanie 4 to zmienne losowe typu ciągłego. Liczymy wartość oczekiwaną i wariancję tych zmiennych mając daną funkcję gęstości lub dystrybuantę. W zadaniach tych przypominamy liczenie całek metodą przez podstawienie i przez części. Pojawi się również całka niewłaściwa (zad. 4 b)). Zadanie 5 to Read more about Wartość oczekiwana i wariancja zmiennej losowej – zadania[…]
Wartością oczekiwaną (przeciętną) zmiennej losowej skokowej wyrażenie gdzie – punkty skokowe, zaś – skoki. W przypadku zmiennej losowej ciągłej , o gęstości , wartością oczekiwaną nazywamy wyrażenie Wartość oczekiwaną często oznacza się również symbolem . Własności wartości oczekiwanej: 1) , 2) Jeżeli istnieją wartości oczekiwane zmiennej losowej i , to: 3) Jeżeli istnieją wartości oczekiwane Read more about Wartość oczekiwana i wariancja zmiennej losowej – teoria[…]
Warto zapoznać się z zakładką Teoria. teoria Zadanie 1. Koszt produkcji jednostki pewnego wyrobu jest zmienną losową ciągłą o gęstości . Obliczyć: a) dystrybuantę zmiennej losowej b) prawdopodobieństwo, że koszt produkcji jednostki tego wyrobu nie przekroczy 1 zł c) prawdopodobieństwo, że koszt produkcji jednostki tego wyrobu przekroczy 2 zł Zadanie 2. Zmienna losowa ma gęstość Read more about Zmienne losowe ciągłe – zadania[…]
Zmienną losową ciągłą nazywamy zmienną losową , dla której istnieje taka nieujemna funkcja , że dla każdego rzeczywistego zachodzi relacja Funkcję spełniającą powyższy warunek nazywamy gęstością prawdopodobieństwa lub gęstością zmiennej losowej ciągłej . Mówimy, że dany jest rozkład prawdopodobieństwa zmiennej losowej, jeśli znana jest dystrybuanta lub jej gęstość. Dla zmiennej losowej ciągłej zachodzi zależność: Każda Read more about Zmienne losowe ciągłe – teoria[…]
Mamy 7 zadań. Trzy pierwsze zadania pokazują jak przechodzić od funkcji prawdopodobieństwa do dystrybuanty i odwrotnie. Kolejne cztery zadania są zadaniami z treścią. Należy samemu ułożyć tabelę rozkładu prawdopodobieństwa i przystąpić do kolejnych rachunków analogicznych jak w pierwszych zadaniach. Należy na nie zwrócić szczególną uwagę, gdyż często pojawiają się na sprawdzianach. Warto zapoznać się z Read more about Zmienne losowe skokowe – zadania[…]
Pojęcie zmiennej losowej jest jednym z podstawowych pojęć rachunku prawdopodobieństwa. Jeżeli każdemu zdarzeniu elementarnemu przyporządkowujemy liczbę rzeczywistą, to mówimy, że została określona zmienna losowa jednowymiarowa, albo w skrócie – zmienne losowa. Zmienna losowa jest więc funkcją, której dziedziną jest zbiór zdarzeń elementarnych , a wartościami są liczby rzeczywiste. Zmienne losowe oznaczamy wielkimi literami:. Prawdopodobieństwo przyjęcia Read more about Zmienne losowe skokowe – teoria[…]
Niech będzie dany układ równań Macierzą rozszerzoną tego układu równań nazywamy macierz: Przypomnijmy,macierz współczynników oznaczyliśmy jako: Podstawowym kryterium istnienia rozwiązania takiego układu równań jest TWIERDZENIE KRONECKERA – CAPELLEGO Układ równań liniowych ma rozwiązanie wtedy i tylko wtedy, gdy przy czym jeżeli: to układ jest oznaczony (ma jedno rozwiązanie), to układ jest nieoznaczony (ma Read more about Twierdzenie Kroneckera-Capellego – teoria[…]
Zadania 1,2 i 3 dotyczą prawdopodobieństwa warunkowego. wykorzystujemy wzór na prawdopodobieństwo warunkowe z zakładki Teoria. tutaj Zadanie 4,5,6 i 7 dotyczą prawdopodobieństwa całkowitego, które pojawia się również w kolejnych zadaniach. Zadania od 9, to zastosowanie wzoru Bayesa. Pamiętajmy jednak, że tam również wykorzystuje się wzór na prawdopodobieństwo całkowite. Zadanie 1. Trzykrotnie rzucamy monetą. Obliczyć Read more about Prawdopodobieństwo całkowite, wzór Bayesa – zadania[…]
Prawdopodobieństwem warunkowym zdarzenia przy założeniu, że zaszło zdarzenie nazywamy iloraz prawdopodobieństwa łącznego zajścia zdarzeń i i prawdopodobieństwa zdarzenia , gdzie . Układem zupełnym zdarzeń losowych nazywamy ciąg taki, że oraz . Wzór na prawdopodobieństwo całkowite Jeśli jest układem zupełnym zdarzeń, to dla dowolnego zdarzenia zachodzi wzór: Zagadnienie Bayesa Wiemy, że zaszło zdarzenie . Interesuje nas Read more about Prawdopodobieństwo całkowite, wzór Bayesa – teoria[…]