Zmienne losowe ciągłe – teoria

Data wpisu przez Joanna Piasecka

Zmienną losową ciągłą nazywamy zmienną losową \dpi{120} X, dla której istnieje taka nieujemna funkcja \dpi{120} f\left ( x \right ), że dla każdego rzeczywistego \dpi{120} x zachodzi relacja

\dpi{120} F\left ( x \right )=\int_{-\infty }^{x}f\left ( t \right )dt

Funkcję \dpi{120} f\left ( x \right ) spełniającą powyższy warunek nazywamy gęstością prawdopodobieństwa lub gęstością zmiennej losowej ciągłej \dpi{120} X.

Mówimy, że dany jest rozkład prawdopodobieństwa zmiennej losowej, jeśli znana jest dystrybuanta lub jej gęstość. Dla zmiennej losowej ciągłej zachodzi zależność:

\dpi{120} F'\left ( x \right )=f\left ( x \right )

Każda funkcja rzeczywista \dpi{120} f\left ( x \right ), nieujemna, całkowalna od \dpi{120} -\infty do \dpi{120} +\infty spełniająca warunek

\dpi{120} \int_{-\infty }^{+\infty }f\left ( x \right )dx=1

jest gęstością pewnej zmiennej losowej \dpi{120} X ciągłej.

Dla zmiennej losowej ciągłej zachodzi związek:

\dpi{120} P\left ( a<X<b \right )=F\left ( b \right )-F\left ( a \right )=\int_{a}^{b}f\left ( x \right )dx

Nierówności występujące w powyższej zależności mogą być ostre lub słabe. Nie ma to znaczenia w przypadku zmiennej losowej ciągłej.