Wartość oczekiwana i wariancja zmiennej losowej – teoria

Wartością oczekiwaną (przeciętną) zmiennej losowej skokowej \dpi{120} X wyrażenie

\dpi{120} EX=\sum_{k}^{\, }x_{k}\cdot p_{k}

gdzie \dpi{120} x_{k} – punkty skokowe, zaś \dpi{120} p_{k} – skoki.

W przypadku zmiennej losowej ciągłej \dpi{120} X, o gęstości \dpi{120} f\left ( x \right ), wartością oczekiwaną nazywamy wyrażenie

\dpi{120} EX=\int_{-\infty }^{+\infty }x\cdot f\left ( x \right )dx

Wartość oczekiwaną często oznacza się również symbolem \dpi{120} m.

Własności wartości oczekiwanej:

1) \dpi{120} E\left ( aX +b\right )=a\cdot EX+b,\; \; a,b\in \mathbb{R},

2) Jeżeli istnieją wartości oczekiwane zmiennej losowej \dpi{120} X i \dpi{120} Y, to:

\dpi{120} E\left ( X+Y \right )=EX+EY

3) Jeżeli istnieją wartości oczekiwane zmiennej losowej \dpi{120} X i \dpi{120} Y zmienne te są niezależne to:

\dpi{120} E\left ( XY \right )=EX\cdot EY

Wariancją zmiennej losowej \dpi{120} X nazywamy wartość oczekiwaną zmiennej losowej \dpi{120} \left (X-EX \right )^{2}. Oznaczamy ją symbolem \dpi{120} D^{2}X  lub \dpi{120} \sigma ^{2}.  Zatem:

\dpi{120} D^{2}X=\sigma ^{2}=E\left ( X-EX \right )^{2}Własności wariancji:

1) \dpi{120} D^{2}\left ( aX+b \right )=a^{2}D^{2}X\; \; a,b\in \mathbb{R}

2) Jeżeli istnieją wariancje zmiennych losowych \dpi{120} X i \dpi{120} Y oraz zmienne te są niezależne, to

\dpi{120} D^{2}X=\left ( X+Y \right )= D^{2}X+D^{2}Y

3) \dpi{120} D^{2}X=EX^{2}-E^{2}X

W praktyce wariancję liczymy z własności 3).

Często pojawia się jeszcze jeden parametr tzw. odchylenie standardowe:

\dpi{120} DX=\sigma =\sqrt{D^{2}X}