Autor: Joanna Piasecka

Współrzędne biegunowe – teoria

Data wpisu przez Joanna Piasecka

W przypadku, gdy obszar całkowania jest kołem, wycinkiem koła, pierścieniem lub wycinkiem pierścienia wygodnie jest nam wprowadzić tzw. współrzędne biegunowe. Można je używać również przy innych obszarach, ale te pojawiają się najczęściej na studiach. Wzory przejścia od współrzędnych do współrzędnych biegunowych : Całka podwójna we współrzędnych biegunowych wyraża się wzorem: gdzie jest zbiorem wartości przyporządkowanych Read more about Współrzędne biegunowe – teoria[…]

Całki podwójne bez współrzędnych biegunowych – zadania

Data wpisu przez Joanna Piasecka

Mamy 4 zadania. Są one ułożone od łatwych do trudnych. Zadanie 1 ”przyzwyczaja” nas do dwóch zmiennych i do kolejności całkowania. Zadanie 2 to właściwie to samo co w zadaniu 1, ale inaczej sformułowane polecenie. Nie wymaga rysowania obszaru całkowania. W zadaniu 3 bardzo ważny jest poprawny wykres obszaru całkowania, z którego najczęściej możemy odczytać Read more about Całki podwójne bez współrzędnych biegunowych – zadania[…]

Całki podwójne bez współrzędnych biegunowych – teoria

Data wpisu przez Joanna Piasecka

Całkę podwójną w prostokącie  z kolejnością całkowania najpierw względem , potem względem oznaczamy symbolem: lub częściej bez użycia nawiasów Możemy również liczyć całkę podwójną z przeciwną kolejnością całkowania: Całka podwójna w obszarze to: lub w obszarze  to: Zapraszamy do zadań! tutaj  

Grupy – teoria

Data wpisu przez Joanna Piasecka

DEFINICJA Działaniem w zbiorze niepustym nazywamy każde odwzorowanie iloczyn kartezjańskiego w zbiór : Najprostszymi przykładami działań są: 1) dodawanie i mnożenie w zbiorze liczb naturalnych, 2) dodawanie, odejmowanie i mnożenie w zbiorze liczb całkowitych, wymiernych i rzeczywistych, 3) dzielenie w zbiorach oraz . Zauważmy, że odejmowanie nie jest działaniem w , gdyż np. Mówimy, że Read more about Grupy – teoria[…]

Twierdzenie Kroneckera – Capellego – zadania

Data wpisu przez Joanna Piasecka

Przed przystąpieniem do tego tematu należy umieć liczyć rzędy macierzy tutaj oraz znać metodę wyznacznikową rozwiązywania układów równań tutaj. Zadanie  1. Korzystając z twierdzenia Kroneckera – Capellego, wyznaczyć liczbę rozwiązań układów równań (można wyznaczyć również rozwiązania, korzystając z innych metod, będzie to pokazane w przykładach a), b), c)): a) b) c) d)  e) f) Pamiętajmy, Read more about Twierdzenie Kroneckera – Capellego – zadania[…]

Rozkład normalny – zadania

Data wpisu przez Joanna Piasecka

Przed rozpoczęciem rozwiązywania zadań należy zaopatrzyć się w dowolne tablice dystrybuanty rozkładu . Zadanie 1. Zmienna losowa podlega rozkładowi . Obliczyć . Zadanie 2. Zmienna losowa podlega rozkładowi normalnemu . Obliczyć . Zadanie 3. Zmienna losowa podlega rozkładowi normalnemu . Obliczyć . Zadanie 4. Zmienna losowa podlega rozkładowi normalnemu . Obliczyć . Zadanie 5. Wzrost Read more about Rozkład normalny – zadania[…]

Rozkład normalny – teoria

Data wpisu przez Joanna Piasecka

Rozkład normalny z parametrami jest to rozkład prawdopodobieństwa zmiennej losowej  o gęstości gdzie . Rozkład normalny z parametrami oznaczamy symbolem . Zmienna losowa o rozkładzie normalnym ma wartość oczekiwaną równą i wariancję równą . Jeśli zmienna losowa ma rozkład normalny , to zmienna losowa ma rozkład normalny . Jest to tzw. zmienna losowa standaryzowana. Jeśli Read more about Rozkład normalny – teoria[…]

Rozkład Poissona – zadania

Data wpisu przez Joanna Piasecka

Zadanie 1. Zmienna losowa ma rozkład Poissona z parametrem . Obliczyć , , , . Zadanie 2. Centrala telefoniczna zakładu obsługuje 150 abonentów. Prawdopodobieństwo tego, że w ciągu jednej minuty abonent zadzwoni do centrali jest równe 0,01. Obliczyć prawdopodobieństwo tego, że w ciągu minuty zadzwoni: a) dokładnie trzech abonentów, b) mniej niż dwóch abonentów, c) Read more about Rozkład Poissona – zadania[…]

Rozkład Poissona – teoria

Data wpisu przez Joanna Piasecka

Niech zmienna losowa ma rozkład Bernoulli’ego określony wzorem: Załóżmy, że liczba dąży do nieskończoności i iloczyn jest stały, tzn. – stała dodatnia. Tak określona nowa zmienna losowa może przyjąć każdą wartość całkowitą z przedziału . Prawdopodobieństwo przyjęcia przyjęcia przez tę zmienną wartości wyraża się wzorem Poissona, tj. Definicja Zmienna losowa ma zmienna losowa ma rozkład Read more about Rozkład Poissona – teoria[…]

Schemat Bernoulli’ego – zadania

Data wpisu przez Joanna Piasecka

Zadanie 1. 40% Polaków to blondyni. Niech oznacza ilość blondynów w czteroosobowej rodzinie. a) Znaleźć rozkład zmiennej losowej b) Obliczyć prawdopodobieństwo, że w rodzinie jest co najmniej jeden blondyn c) Obliczyć prawdopodobieństwo, że w rodzinie jest co najwyżej jeden blondyn d) Obliczyć oraz . Zadanie 2. Prawdopodobieństwo trafienia do celu w jednym strzale jest równe Read more about Schemat Bernoulli’ego – zadania[…]