Całki podwójne bez współrzędnych biegunowych – zadania

Mamy 4 zadania. Są one ułożone od łatwych do trudnych. Zadanie 1 ”przyzwyczaja” nas do dwóch zmiennych i do kolejności całkowania. Zadanie 2 to właściwie to samo co w zadaniu 1, ale inaczej sformułowane polecenie. Nie wymaga rysowania obszaru całkowania. W zadaniu 3 bardzo ważny jest poprawny wykres obszaru całkowania, z którego najczęściej możemy odczytać granice całkowania. Zadanie 4 to zastosowanie całek podwójnych do liczenia pól obszarów. Znowu istotną częścią zadania jest rysunek.

 

Zadanie 1. Obliczyć całki (tzw. iterowane):

1) \dpi{120} \int_{1}^{2}\int_{0}^{1}6x^{3}y^{2}dydx

2) \dpi{120} \int_{1}^{2}\int_{0}^{1}x^{2}e^{4y}dxdy

3) \dpi{120} \int_{0 }^{\pi }\int_{0}^{\pi }\sin \left ( x+y \right )dydx

4) \dpi{120} \int_{0}^{1}\int_{0}^{\sqrt[4]{y}}\frac{x}{y}dxdy

5) \dpi{120} \int_{0}^{2}\int_{x}^{10x}\sqrt{xy-x^{2}}dydx

6) \dpi{120} \int_{0}^{1}\int_{0}^{1}x\cos \left (xy \right )dydx

Zadanie 2. Obliczyć całkę podwójną w prostokącie:

1) \dpi{120} \underset{G\; \; \; }{\iint_{\! }^{\! }}e^{x+y}d\sigma , \; \; G=\left \{ 0\leqslant x\leqslant 2,\: 0 \leqslant y\leqslant 1\right \}

2) \dpi{120} \underset{G\; \; \; }{\iint_{\! }^{\! }}\frac{1}{\sqrt{2y+9}}d\sigma , \; \; G=\left \{ -2\leqslant x\leqslant -1,\: 0 \leqslant y\leqslant 8\right \}

3) \dpi{120} \underset{G\; \; \; }{\iint_{\! }^{\! }}xy\left ( x+y \right )d\sigma , \; \; G=\left \{ 0\leqslant x\leqslant 2,\: 0 \leqslant y\leqslant 6\right \}

4) \dpi{120} \underset{G\; \; \; }{\iint_{\! }^{\! }}x\cos \left ( x^{2} +y\right )d\sigma , \; \; G=\left \{ -\sqrt{\pi }\leqslant x\leqslant 0,\: 0 \leqslant y\leqslant \pi \right \}

5) \dpi{120} \underset{G\; \; \; }{\iint_{\! }^{\! }}x^{2}ye^{xy}\, d\sigma , \; \; G=\left \{0\leqslant x\leqslant 1,\: 1 \leqslant y\leqslant 2\right \}

Zadanie 3. Obliczyć całkę podwójną w obszarze \dpi{120} \large D ograniczonym przez krzywe:

1) \dpi{120} \underset{D\; \; \; }{\iint_{\! }^{\! }}\left (x+1 \right )d\sigma , \; \; D: xy=1,\: x=1,\: x=2,\: y=0

2) \dpi{120} \underset{D\; \; \; }{\iint_{\! }^{\! }}\frac{x^{2}}{y^{2}}d\sigma , \; \; D: xy=1,\: x=2,\: y=x

3) \dpi{120} \underset{D\; \; \; }{\iint_{\! }^{\! }}\left ( x+2y \right )d\sigma , \; \; D: y=-\sqrt{x},y=-2\sqrt{x},\: 1\leqslant x\leqslant 4

4) \dpi{120} \underset{D\; \; \; }{\iint_{\! }^{\! }}\left (x+y \right )d\sigma , \; \; D: x=0,\: x+y=1,\: x-y=1

Zadanie 4. Obliczyć pole obszaru ograniczonego krzywymi:

Pole dowolnego obszaru \dpi{120} D wyraża się wzorem:

\dpi{120} P_{D}=\underset{D\; \; \; }{\iint_{\! }^{\! }}1\, d\sigma

1) \dpi{120} y=x^{2},\: y=\frac{x^{2}}{4},x=2

2) \dpi{120} xy=1,\: xy=8,\: y=x^{2},\: y=\frac{x^{2}}{8}

3) \dpi{120} y=\ln x,\: y=x-1,\: y=-1

4) \dpi{120} y^{2}=1-x,\: y=1+x