W przypadku, gdy obszar całkowania jest kołem, wycinkiem koła, pierścieniem lub wycinkiem pierścienia wygodnie jest nam wprowadzić tzw. współrzędne biegunowe. Można je używać również przy innych obszarach, ale te pojawiają się najczęściej na studiach.
Wzory przejścia od współrzędnych do współrzędnych biegunowych :
|
Całka podwójna we współrzędnych biegunowych wyraża się wzorem:
gdzie jest zbiorem wartości przyporządkowanych punktom zbioru .
Pamiętajmy o czynniku znajdującym się pod całką. Jest to tzw. jakobian przekształcenia.
Przykłady najczęściej występujących obszarów, w których wprowadzamy współrzędne biegunowe:
1. – koło o środku w punkcie i promieniu zapiszemy we współrzędnych biegunowych jako:
2. – ćwiartka koła
o środku w punkcie i promieniu zapiszemy we współrzędnych biegunowych jako:
3. – pierścień kołowy
zapiszemy we współrzędnych biegunowych jako:
4. – ćwiartka pierścienia kołowego
zapiszemy we współrzędnych biegunowych jako:
5. – wycinek koła
zapiszemy we współrzędnych biegunowych jako:
Widzimy na podstawie powyższych przykładów, że jest zakresem zmienności długości promienia, zaś zakresem zmienności kąta licząc od dodatniej osi .
Zapraszamy do zadań! tutaj