Rozkład Poissona (teoria) - WYZNACZNIK

Niech zmienna losowa $\dpi{120} X_{n}$ ma rozkład Bernoulli’ego określony wzorem:

$\dpi{120} P\left ( X_{n}=k \right )=\binom{n}{k}p^{k}q^{n-k},\; \; k=0,1,2,...,n$

Załóżmy, że liczba $\dpi{120} n$ dąży do nieskończoności i iloczyn $\dpi{120} np$ jest stały, tzn. $\dpi{120} np=\lambda,\: \lambda$ – stała dodatnia. Tak określona nowa zmienna losowa $\dpi{120} X$ może przyjąć każdą wartość całkowitą z przedziału $\dpi{120} \left \langle 0;+\infty \right )$ . Prawdopodobieństwo przyjęcia przyjęcia przez tę zmienną wartości $\dpi{120} k$ wyraża się wzorem Poissona, tj.

$\dpi{120} P\left ( X=k \right )=\lim_{n \to \infty }P\left ( X_{n} =k\right )=e^{-\lambda }\cdot \frac{\lambda ^{k}}{k!},\; \; k=0,1,2,...$

Definicja

Zmienna losowa $\dpi{120} X$ ma zmienna losowa $\dpi{120} X$ ma rozkład Poissona z parametrem $\dpi{120} \lambda =np$ , jeśli jej funkcja prawdopodobieństwa dana jest wzorem

$\dpi{120} P\left ( X=k \right )=e^{-\lambda }\cdot \frac{\lambda ^{k}}{k!},\; \; \; \; \lambda >0,\; k=0,1,2,...$

Mówimy, że rozkład Poissona jest rozkładem granicznym rozkładu Bernoulli’ego przy podanych warunkach lub że rozkład Bernoulli’ego jest zbieżny do rozkładu Poissona.

Mamy, że:

$\dpi{120} EX=\lambda ,\; \; D^{2}X=\lambda$