Rozkład Poissona (zadania) - WYZNACZNIK

Zadanie 1. Zmienna losowa $\dpi{120} \large X$ ma rozkład Poissona z parametrem $\dpi{120} \large \lambda=2$ . Obliczyć $\dpi{120} \large P\left ( X=0 \right )$ , $\dpi{120} \large P\left ( X=2 \right )$ , $\dpi{120} \large P\left ( X<2 \right )$ , $\dpi{120} \large P\left ( X\geq 1 \right )$ .

Rozwiązanie

Przy rozkładzie Poissona można korzystać z tablic rozkładu Poissona lub liczyć przybliżenia na kalkulatorze.

$\dpi{120} P\left ( X=0 \right )=e^{-2}\cdot\overset{=1}{\overbrace{ \frac{2^{0}}{0!}}}\approx 0,14$

$\dpi{120} P\left ( X=2 \right )=e^{-2}\cdot \overset{=2}{\overbrace{\frac{2^{2}}{2!}}}\approx 0,27$

$\dpi{120} P\left ( X<2 \right )=P\left ( X=0 \right )+P\left ( X=1 \right )\approx0,14+\overset{\approx 0,27}{\overbrace{e^{-2}\cdot \frac{2^{1}}{1!}}}\approx 0,41$

$\dpi{120} P\left ( X\geq 1 \right )=1-P\left ( X<1 \right )=1-P\left ( X=0 \right )\approx 1-0,14\approx 0,86$

Pokaż rozwiązanie

Zwiń

Zadanie 2. Centrala telefoniczna zakładu obsługuje 150 abonentów. Prawdopodobieństwo tego, że w ciągu jednej minuty abonent zadzwoni do centrali jest równe 0,01. Obliczyć prawdopodobieństwo tego, że w ciągu minuty zadzwoni:

a) dokładnie trzech abonentów,

b) mniej niż dwóch abonentów,

c) co najmniej jeden abonent.

Rozwiązanie

Dla rozkładu Bernoulli’ego mielibyśmy parametry $\dpi{120} n=150$ oraz $\dpi{120} p=0,01$ . Nie warto stosować rozkładu Bernoulli’ego, gdyż jest za duże $\dpi{120} n$ . Przy dużych wartościach $\dpi{120} n$ stosujemy rozkład Poissona. Liczymy parametr

$\dpi{120} \lambda =np=150\cdot 0,01=1,5$

Wykorzystujemy wzór:

$\dpi{120} P\left ( X=k \right )=e^{-\lambda }\cdot \frac{\lambda ^{k}}{k!}$

a) $\dpi{120} P\left ( X=3 \right )=e^{-1,5}\cdot \frac{\left ( 1,5 \right )^{3}}{3!}\approx0,1255$

b) $\dpi{120} P\left ( X<2 \right )=P\left ( X=0 \right )+P\left ( X=1 \right )=$

$\dpi{120} =e^{-1,5}\cdot \frac{\left ( 1,5 \right )^{0}}{0!}+e^{-1,5}\cdot \frac{\left ( 1,5 \right )^{1}}{1!}\approx$

$\dpi{120} \approx 0,2231+0,3347\approx 0,5578$

c) $\dpi{120} P\left ( X\geqslant 1 \right )=1-P\left ( X<1 \right )=1-P\left ( X=0 \right )=$

$\dpi{120} =1-e^{-1,5}\cdot \frac{\left ( 1,5 \right )^{0}}{0!}\approx 1-0,2231\approx 0,7769$

Pokaż rozwiązanie

Zwiń

Zadanie 3. Daltonizm daje się stwierdzić u 1% ludzi stanowiących pewną populację. Jakie jest prawdopodobieństwo, że w próbie liczącej 100 osób:

a) nie będzie ani jednej osoby obciążonej daltonizmem

b) jak wielka powinna być próba losowa, aby prawdopodobieństwo znajdowania się w niej co najmniej jednej osoby obciążonej daltonizmem wynosiło 0,95 lub więcej?

Rozwiązanie

a) Parametrami dla rozkładu Bernoulli’ego są $\dpi{120} n=100$ oraz $\dpi{120} p=0,01$ . Liczymy parametr

$\dpi{120} \lambda =np=100\cdot 0,01=1$

Wykorzystujemy wzór:

$\dpi{120} P\left ( X=k \right )=e^{-\lambda }\cdot \frac{\lambda ^{k}}{k!}$

Zatem:

$\dpi{120} P\left ( X=0 \right )=e^{-1}\cdot \frac{1^{0}}{0!}=0,3679$

b) Teraz szukamy parametru $\dpi{120} n$ . Z zadania wiemy, że:

$\dpi{120} P\left ( X\geqslant 1 \right )\geqslant 0,95$

Rozpiszmy lewą stronę:

$\dpi{120} P\left ( X\geqslant 1 \right )=1-P\left ( X=0 \right )=1-e^{-\lambda }\cdot \frac{\lambda ^{0}}{0!}=1-e^{-\lambda }$

Wstawiamy do nierówności:

$\dpi{120} 1-e^{-\lambda }\geqslant 0,95$

$\dpi{120} -e^{-\lambda }\geqslant -0,05$

$\dpi{120} e^{-\lambda }\leqslant 0,05$

Logarytmujemy stronami logarytmem naturalnym (przy podstawie $\dpi{120} e$ ):

$\dpi{120} \ln e^{-\lambda }\leqslant \ln 0,05$

$\dpi{120} -\lambda \overset{=1}{\overbrace{\ln e}}\leqslant \ln 0,05$

$\dpi{120} \lambda \geqslant -\ln 0,05\approx -\left ( -2,9957 \right )\approx 2,9957\approx 3$

Wiemy, że

$\dpi{120} \lambda =np$

Wstawiamy $\dpi{120} \lambda =3$ i $\dpi{120} p=0,01$ . Mamy:

$\dpi{120} 3=n\cdot 0,01\Rightarrow n=300$

Powinno być minimum 300 osób, aby spełnione były założenia podpunktu b).

Pokaż rozwiązanie

Zwiń

Zadanie 4. Pieczemy bułeczki. Ile średnio powinno przypadać rodzynków na bułeczkę, aby z prawdopodobieństwem nie mniejszym niż 0,99 twierdzić, że w bułeczce znajdzie się co najmniej jeden rodzynek?

Rozwiązanie

Z zadania wiemy, że:

$\dpi{120} P\left ( X\geqslant 1 \right )\geqslant 0,99$

Mamy obliczyć średnią liczbę rodzynków w bułeczce, aby zachodziła powyższa nierówność. Zatem jest do policzenia wartość oczekiwana zmiennej losowej $\dpi{120} X$ o rozkładzie Poissona z parametrem $\dpi{120} \lambda$ . Wartość oczekiwana (również wariancja) w takim rozkładzie wynosi $\dpi{120} \lambda$ . Rozpisujemy lewą stronę nierówności:

$\dpi{120} P\left ( X\geq 1 \right )=1-P\left ( X=0 \right )=1-e^{-\lambda }\cdot \frac{\lambda ^{0}}{0!}=1-e^{-\lambda }$

Wstawiamy do nierówności:

$\dpi{120} 1-e^{-\lambda }\geqslant 0,99$

$\dpi{120} -e^{-\lambda }\geqslant -0,01$

$\dpi{120} e^{-\lambda }\leqslant 0,01$

Logarytmujemy stronami logarytmem naturalnym (przy podstawie $\dpi{120} e$ ):

$\dpi{120} \ln e^{-\lambda }\leqslant \ln 0,01$

$\dpi{120} -\lambda \overset{=1}{\overbrace{\ln e}}\leqslant \ln 0,01$

$\dpi{120} \lambda \geqslant -\ln 0,01\approx -\left ( -4,6051 \right )\approx 4,6051$

Otrzymaliśmy, że średnia liczba rodzynek w bułeczce powinna być większa od $\dpi{120} \lambda \geqslant 4,6051$ , czyli powinno być 5 rodzynek bądź więcej.

Pokaż rozwiązanie

Zwiń