Rozkład Bernoulli'ego (zadania) - WYZNACZNIK

Zadanie 1. 40% Polaków to blondyni. Niech $\dpi{120} \large X$ oznacza ilość blondynów w czteroosobowej rodzinie.

a) Znaleźć rozkład zmiennej losowej $\dpi{120} \large X$

b) Obliczyć prawdopodobieństwo, że w rodzinie jest co najmniej jeden blondyn

c) Obliczyć prawdopodobieństwo, że w rodzinie jest co najwyżej jeden blondyn

d) Obliczyć $\dpi{120} \large EX$ oraz $\dpi{120} \large D^{2}X$ .

Rozwiązanie

a) W czteroosobowej rodzinie osób o blond włosach jest $\dpi{120} k=0,1,2,3,4$ . Przez sukces rozumiemy wylosowanie osoby o jasnych włosach. Wówczas $\dpi{120} k$ jest ilością sukcesów dla $\dpi{120} n=4$ . Z treści zadania wiemy, że 40% Polaków to blondyni. Zatem prawdopodobieństwo sukcesu w pojedynczej próbie wynosi $\dpi{120} p=0,4$ . Zatem, zmienna losowa $\dpi{120} X$ ma rozkład Bernoulli’ego o parametrach $\dpi{120} p=0,4$ i $\dpi{120} n=4$ :

$\dpi{120} p_{k}=P\left ( X=k \right )=\binom{4}{k}\left ( 0,4 \right )^{k}\cdot \left ( 0,6 \right )^{4-k}$

Podstawiamy kolejno $\dpi{120} k=0,1,2,3,4$ .

$\dpi{120} p_{0}=P\left ( X=0 \right )=\binom{4}{0}\left ( 0,4 \right )^{0}\cdot \left ( 0,6 \right )^{4-0}=0,1296$

$\dpi{120} p_{1}=P\left ( X=1 \right )=\binom{4}{1}\left ( 0,4 \right )^{1}\cdot \left ( 0,6 \right )^{4-1}=\frac{4!}{1!\cdot 3!}\cdot 0,4\cdot \left ( 0,6 \right )^{3}=$

$\dpi{120} =4\cdot 0,4\cdot 0,216=0,3456$

$\dpi{120} p_{2}=P\left ( X=2 \right )=\binom{4}{2}\left ( 0,4 \right )^{2}\cdot \left ( 0,6 \right )^{4-2}=\frac{4!}{2!\cdot 2!}\cdot 0,16\cdot 0,36=$

$\dpi{120} =\frac{4\cdot 3\cdot 2!}{2!\cdot 2!}\cdot 0,0576=0,3456$

$\dpi{120} p_{3}=P\left ( X=3 \right )=\binom{4}{3}\left ( 0,4 \right )^{3}\cdot \left ( 0,6 \right )^{4-3}=\frac{4!}{3!\cdot 1!}\cdot 0,064\cdot 0,6=$

$\dpi{120} =4\cdot 0,384=0,1536$

$\dpi{120} p_{4}=P\left ( X=4 \right )=\binom{4}{4}\left ( 0,4 \right )^{4}\cdot \left ( 0,6 \right )^{4-4}=\left ( 0,4 \right )^{4}=0,0256$

Pamiętajmy, że prawdopodobieństwa muszą sumować się do 1. Sprawdzamy:

$\dpi{120} p_{0}+p_{1}+p_{2}+p_{3}+p_{4}=0,1296+0,3456+0,3456+0,1536+0,0256=1$

$\dpi{120} k$	0	1	2	3	4
$\dpi{120} P\left ( X=k \right )$	0,1296	0,3456	0,3456	0,1536	0,0256

b) Prawdopodobieństwo, że w rodzinie jest co najmniej jeden blondyn zapiszemy jako $\dpi{120} P\left ( X\geqslant 1 \right )$ . Można skorzystać z prawdopodobieństwa zdarzenia przeciwnego:

$\dpi{120} P\left ( X\geqslant 1 \right )=1-P\left ( X<1 \right )=1-P\left ( X=0 \right )=1-0,1296=0,8704$

c) Prawdopodobieństwo, że w rodzinie jest co najwyżej jeden blondyn zapiszemy jako $\dpi{120} P\left ( X\leqslant 1 \right )$ .

$\dpi{120} P\left ( X\leqslant 1 \right )=P\left ( X=0 \right )+P\left ( X=1 \right )=0,1296+0,3456=0,4752$

d) W zakładce teoria podaliśmy, że dla rozkładu Bernoulli’ego mamy:

$\dpi{120} EX=np,\; \; D^{2}X=npq$

Zatem:

$\dpi{120} EX=np=4\cdot 0,4=1,6$

$\dpi{120} D^{2}X=npq=4\cdot 0,4\cdot 0,6=0,96$

Pokaż rozwiązanie

Zwiń

Zadanie 2. Prawdopodobieństwo trafienia do celu w jednym strzale jest równe $\dpi{120} \large \frac{1}{3}$ . Do celu oddano niezależnie 5 strzałów. Obliczyć prawdopodobieństwo, że cel został trafiony :

a) raz

b) więcej niż raz

c) najwyżej raz.

Rozwiązanie

Sukcesem jest trafienie celu. Jest to rozkład Bernoulli’ego z parametrami $\dpi{120} n=5,p=\frac{1}{3},q=\frac{2}{3}$ . Zatem:

$\dpi{120} P\left ( X=k \right )=\binom{5}{k}\cdot \left ( \frac{1}{3} \right )^{k}\cdot \left ( \frac{2}{3} \right )^{5-k}$

a) Liczymy:

$\dpi{120} P\left ( X=1 \right )=\binom{5}{1}\cdot \left ( \frac{1}{3} \right )^{1}\cdot \left ( \frac{2}{3} \right )^{5-1}=5\cdot \frac{1}{3}\cdot \left ( \frac{2}{3} \right )^{4}=\frac{80}{243}$

b) $\dpi{120} P\left ( X>1 \right )=1-P\left ( X\leqslant 1 \right )=1-\left ( P\left ( X=0 \right )+P\left ( X=1 \right ) \right )$

Liczymy:

$\dpi{120} P\left ( X=0 \right )=\binom{5}{0}\cdot \left ( \frac{1}{3} \right )^{0}\cdot \left ( \frac{2}{3} \right )^{5-0}=\left ( \frac{2}{3} \right )^{5}=\frac{32}{243}$

Wstawiamy:

$\dpi{120} P\left ( X>1 \right )=1-\left ( P\left ( X=0 \right )+P\left ( X=1 \right ) \right )=1-\frac{32}{243}-\frac{80}{243}=\frac{131}{243}$

c) $\dpi{120} P\left ( X\leqslant 1 \right )= P\left ( X=0 \right )+P\left ( X=1 \right )=\frac{32}{243}+\frac{80}{243}=\frac{112}{243}$

Pokaż rozwiązanie

Zwiń

Zadanie 3. W przędzy zmieszano włókna białe i kolorowe w stosunku 2:3. Jakie jest prawdopodobieństwo znalezienia wśród 5 losowo wybranych włókien:

a) dokładnie dwóch kolorowych włókien

b) co najwyżej dwóch kolorowych włókien

c) jak wielka ma być ilość włókien, by z prawdopodobieństwem nie mniejszym niż 0,9 stwierdzić, że w tej próbie jest co najmniej jedno kolorowe włókno.

Rozwiązanie

Sukcesem jest wylosowanie kolorowego włókna. Wylosowanie kolorowego włókna w pojedynczej próbie wynosi $\dpi{120} \frac{3}{5}$ . Zmienna losowa ma rozkład Bernoulli’ego z parametrami $\dpi{120} n=5$ i $\dpi{120} p=\frac{3}{5}$ . Zatem:

$\dpi{120} P\left ( X=k \right )=\binom{5}{k}\cdot \left ( \frac{3}{5} \right )^{k}\cdot \left ( \frac{2}{5} \right )^{5-k}$

a) Liczymy:

$\dpi{120} P\left ( X=2 \right )=\binom{5}{2}\cdot \left ( \frac{3}{5} \right )^{2}\cdot \left ( \frac{2}{5} \right )^{5-2}=\frac{5!}{2!\cdot 3!}\cdot \left ( \frac{3}{5} \right )^{2}\cdot \left ( \frac{2}{5} \right )^{3}=$

$\dpi{120} =\frac{5\cdot 4\cdot 3!}{2\cdot 3!}\cdot \frac{9}{5^{2}}\cdot \frac{8}{5^{3}}=10\cdot \frac{72}{5^{5}}=\frac{2\cdot 72}{5^{4}}=\frac{144}{5^{4}}$

b) Liczymy:

$\dpi{120} P\left ( X\leqslant 2\right )=P\left ( X=0 \right )+P\left ( X=1 \right )+P\left ( X=2 \right )$

Potrzebne nam:

$\dpi{120} P\left ( X=0 \right )=\binom{5}{0}\cdot \left ( \frac{3}{5} \right )^{0}\cdot \left ( \frac{2}{5} \right )^{5-0}=\left ( \frac{2}{5} \right )^{5}=\frac{32}{5^{5}}$

$\dpi{120} P\left ( X=1 \right )=\binom{5}{1}\cdot \left ( \frac{3}{5} \right )^{1}\cdot \left ( \frac{2}{5} \right )^{5-1}=5\cdot \frac{3}{5}\cdot \left ( \frac{2}{5} \right )^{4}=\frac{48}{5^{4}}$

Wracamy do $\dpi{120} P\left ( X\leqslant 2\right )$ :

$\dpi{120} P\left ( X\leqslant 2\right )=P\left ( X=0 \right )+P\left ( X=1 \right )+P\left ( X=2 \right )=\frac{32}{5^{5}}+\frac{48}{5^{4}}+\frac{144}{5^{4}}=$

$\dpi{120} =\frac{32+240+720}{5^{5}}=\frac{992}{5^{5}}$

Najczęściej nie trzeba doprowadzać wartości prawdopodobieństwa do tak dokładnej postaci.

c) Nie znamy tutaj ilości włókien, czyli $\dpi{120} n$ . Wiemy natomiast, że

$\dpi{120} P\left ( X\geqslant 1 \right )\geqslant 0,9$

Rozpiszmy lewą stronę:

$\dpi{120} P\left ( X\geqslant 1 \right )=1-P\left ( X<1 \right )=1-P\left ( X=0 \right )=$

$\dpi{120} =1-\overset{=1}{\overbrace{\binom{n}{0}}}\cdot \overset{=1}{\overbrace{\left (\frac{3}{5} \right )^{0}}}\cdot \left ( \frac{2}{5} \right )^{n-0}= 1-\left ( \frac{2}{5} \right ) ^{n}$

Wracamy do nierówności:

$\dpi{120} 1-\left ( \frac{2}{5} \right )^{n}\geqslant 0,9$

$\dpi{120} -\left ( \frac{2}{5} \right )^{n}\geqslant -0,1/\cdot \left ( -1 \right )$

$\dpi{120} \left ( \frac{2}{5} \right )^{n}\leqslant 0,1$

$\dpi{120} \left ( \frac{4}{10} \right )^{n}\leqslant \frac{1}{10}$

Pamiętajmy, że $\dpi{120} n\in \mathbb{N}$ . Sprawdzając dla kolejnych $\dpi{120} n$ , zauważmy, że nierówność jest spełniona dla $\dpi{120} n\geqslant 3$ . Wystarczą więc 3 włókna, by z prawdopodobieństwem nie mniejszym niż 0,9 stwierdzić, że w tej próbie jest co najmniej jedno kolorowe włókno.

Pokaż rozwiązanie

Zwiń

Zadanie 4. Prawdopodobieństwo, że pewien zawodnik przekroczy w jednym rzucie dyskiem 60 m wynosi 0,3.

a) Obliczyć prawdopodobieństwo, że zawodnik ten w żadnym z 6 rzutów nie przekroczy 60 m

b) Ile razy powinien rzucić dyskiem ten zawodnik, by z prawdopodobieństwem 0,95 lub większym w co najmniej jednym rzucie przekroczył 60 m.

Rozwiązanie

a) Sukcesem jest tutaj przekroczenie w jednym rzucie dyskiem 60 m. Prawdopodobieństwo sukcesu wynosi $\dpi{120} p=0,3$ , zaś $\dpi{120} n=6$ . Liczymy: