Rozkład Gaussa (zadania) - WYZNACZNIK

Przed rozpoczęciem rozwiązywania zadań należy zaopatrzyć się w dowolne tablice dystrybuanty $\dpi{120} \Phi \left ( x \right )$ rozkładu $\dpi{120} N\left ( 0,1 \right )$ .

Zadanie 1. Zmienna losowa $\dpi{120} \large X$ podlega rozkładowi $\dpi{120} \large N\left ( 5,2 \right )$ . Obliczyć $\dpi{120} \large P\left ( X<3,6 \right )$ .

Rozwiązanie

Tablice są tylko dla rozkładu $\dpi{120} N\left ( 0,1 \right )$ , zatem należy przeprowadzić standaryzację zmiennej losowej $\dpi{120} X$ .

Standaryzacja:

$\dpi{120} Y=\frac{X-m}{\sigma }$

W naszym przypadku $\dpi{120} m=5,\sigma =2$ . Zatem:

$\dpi{120} P\left ( X<3,6 \right )=P\left ( \overset{=Y}{\overbrace{\frac{X-5}{2}}} <\overset{=-0,7}{\overbrace{\frac{3,6-5}{2}}}\right )=P\left ( Y<-0,7 \right )$

Zmienna losowa $\dpi{120} Y$ ma rozkład $\dpi{120} N\left ( 0,1 \right )$ . W skrócie $\dpi{120} Y\sim N\left ( 0,1 \right )$ . Przechodzimy na dystrybuantę rozkładu $\dpi{120} N\left ( 0,1 \right )$ :

$\dpi{120} P\left ( Y<-0,7 \right )=\Phi \left ( -0,7 \right )$

W tablicach nie znajdziemy wartości dystrybuanty dla ujemnego argumentu. Wykorzystujemy własność:

$\dpi{120} \Phi \left ( -x \right )=1-\Phi \left ( x \right )$

Zatem:

$\dpi{120} \Phi \left ( -0,7 \right )=1-\Phi \left ( 0,7 \right )$

Wartość $\dpi{120} \Phi \left ( 0,7 \right )$ odczytujemy z tablic. Wynosi ona $\dpi{120} \Phi \left ( 0,7 \right )=0,758$ . Ostatecznie mamy:

$\dpi{120} P\left ( X<3,6 \right )=1-\Phi \left ( 0,7 \right )=1-0,758=0,242$

Pamiętajmy, że liczymy prawdopodobieństwo i wynik musi wyjść z przedziału $\dpi{120} \left \langle 0,1 \right \rangle$ . W dłuższych zadaniach jest to częsty błąd widoczny od razu.

Pokaż rozwiązanie

Zwiń

Zadanie 2. Zmienna losowa $\dpi{120} \large X$ podlega rozkładowi normalnemu $\dpi{120} \large N\left ( 1,2 \right )$ . Obliczyć $\dpi{120} \large P\left ( \left | X \right | <2,4\right )$ .

Rozwiązanie

Najpierw rozpiszemy nierówność z wartością bezwzględną:

$\dpi{120} P\left ( \left | X \right | <2,4\right )=P\left ( -2,4<X<2,4 \right )$

Standaryzacja:

$\dpi{120} Y=\frac{X-m}{\sigma }$

W naszym przypadku $\dpi{120} m=1,\sigma =2$ . Zatem:

$\dpi{120} P\left ( -2,4<X<2,4 \right )=P\left ( \overset{=-1,7}{\overbrace{\frac{-2,4-1}{2}}}<\overset{=Y}{\overbrace{\frac{X-1}{2}}} <\overset{=0,7}{\overbrace{\frac{2,4-1}{2}}}\right )=P\left ( -1,7<Y<0,7 \right )$

Zmienna losowa $\dpi{120} Y$ ma rozkład $\dpi{120} N\left ( 0,1 \right )$ . Przechodzimy na dystrybuantę rozkładu $\dpi{120} N\left ( 0,1 \right )$ :

$\dpi{120} P\left (-1,7< Y<0,7 \right )=\Phi \left ( 0,7 \right )-\Phi \left ( -1,7 \right )$

W tablicach nie znajdziemy wartości dystrybuanty dla ujemnego argumentu. Wykorzystujemy własność:

$\dpi{120} \Phi \left ( -x \right )=1-\Phi \left ( x \right )$

Zatem:

$\dpi{120} \Phi \left ( -1,7 \right )=1-\Phi \left ( 1,7 \right )$

Wartości $\dpi{120} \Phi \left ( 0,7 \right )$ i $\dpi{120} \Phi \left ( 1,7 \right )$ odczytujemy z tablic. Wynoszą one $\dpi{120} \Phi \left ( 0,7 \right )=0,758$ zaś $\dpi{120} \Phi \left ( 1,7 \right )=0,9554$ . Ostatecznie mamy:

$\dpi{120} P\left ( \left | X \right | <2,4\right )=\Phi \left ( 0,7 \right )-\Phi \left ( -1,7 \right )=\Phi \left ( 0,7 \right )-\left ( 1-\Phi \left ( 1,7 \right ) \right )=$

$\dpi{120} =0,758-1+0,9554=0,7134$

Pamiętajmy, że liczymy prawdopodobieństwo i wynik musi wyjść z przedziału $\dpi{120} \left \langle 0,1 \right \rangle$ .

Pokaż rozwiązanie

Zwiń

Zadanie 3. Zmienna losowa $\dpi{120} \large X$ podlega rozkładowi normalnemu $\dpi{120} \large N\left ( 2,4 \right )$ . Obliczyć $\dpi{120} \large P\left ( \left | X \right | >6\right )$ .

Rozwiązanie

Aby móc przejść w krokach następnych na dystrybuantę musimy „zmienić” nierówność na przeciwną. Korzystamy z prawdopodobieństwa zdarzenia przeciwnego.

$\dpi{120} P\left ( \left | X \right | >6\right )=1-P\left ( \left | X \right | \leqslant 6\right )$

Zadanie zostało sprowadzone do zadania poprzedniego. Rozpisujemy nierówność modułową:

$\dpi{120} 1-P\left ( \left | X \right | \leqslant 6\right )=1-P\left ( -6\leqslant X\leqslant 6 \right )$

Standaryzacja:

$\dpi{120} Y=\frac{X-m}{\sigma }$

W naszym przypadku $\dpi{120} m=2,\sigma =4$ . Zatem:

$\dpi{120} 1-P\left ( -6\leqslant X\leqslant 6 \right )=1-P\left ( \frac{-6-2}{4} \leqslant \frac{X-2}{4}\leqslant \frac{6-2}{4}\right )=$

$\dpi{120} =1-P\left ( -2\leqslant Y\leqslant 1 \right )$

Zmienna losowa $\dpi{120} Y$ ma rozkład $\dpi{120} N\left ( 0,1 \right )$ . Przechodzimy na dystrybuantę rozkładu $\dpi{120} N\left ( 0,1 \right )$ :

$\dpi{120} 1-P\left ( -2\leqslant Y\leqslant 1 \right )=1-\left ( \Phi \left ( 1 \right ) -\Phi \left ( -2 \right )\right )=1-\Phi \left ( 1 \right )+\Phi \left ( -2 \right )$

Wykorzystujemy własność:

$\dpi{120} \Phi \left ( -x \right )=1-\Phi \left ( x \right )$

Zatem:

$\dpi{120} 1-\Phi \left ( 1 \right )+\Phi \left ( -2 \right )=1-\Phi \left ( 1 \right )+\overset{\Phi \left ( -2 \right )}{\overbrace{1-\Phi \left ( 2 \right )}}=2-\Phi \left ( 1 \right )-\Phi \left ( 2 \right )$

Odczytujemy z tablic wartości $\dpi{120} \Phi \left ( 1 \right )=0,8413$ oraz $\dpi{120} \Phi \left ( 2 \right )=0,9772$ . Wstawiamy:

$\dpi{120} P\left ( \left | X \right | >6\right )=2-\Phi \left ( 1 \right )-\Phi \left ( 2 \right )=2-0,8413-0,9772=0,1815$

Uważajmy na nawiasy i przejścia typu 1-…, często pojawiają się tam błędy w znakach, co skutkuje np. prawdopodobieństwem większym od 1.

Pokaż rozwiązanie

Zwiń

Zadanie 4. Zmienna losowa $\dpi{120} \large X$ podlega rozkładowi normalnemu $\dpi{120} \large N\left ( 3,5 \right )$ . Obliczyć $\dpi{120} \large P\left ( \left | X -1\right | \geqslant 1\right )$ .

Rozwiązanie

Aby móc przejść w krokach następnych na dystrybuantę musimy „zmienić” nierówność na przeciwną. Korzystamy z prawdopodobieństwa zdarzenia przeciwnego.

$\dpi{120} P\left ( \left | X -1\right | \geqslant 1\right )=1-P\left ( \left | X -1\right | <1\right )$

Rozpisujemy nierówność modułową:

$\dpi{120} 1-P\left ( \left | X-1 \right | <1\right )=1-P\left ( -1< X-1< 1 \right )$

Standaryzacja:

$\dpi{120} Y=\frac{X-m}{\sigma }$

W naszym przypadku $\dpi{120} m=3,\sigma =5$ . Zatem:

$\dpi{120} 1-P\left ( -1< X-1<1\right )=1-P\left ( 0<X<2 \right )=$

$\dpi{120} =1-P\left ( \frac{0-3}{5}<\frac{X-3}{5}<\frac{2-3}{5}\right )=$

$\dpi{120} =1-P\left ( -0,6<Y<-0,2 \right )$

Zmienna losowa $\dpi{120} Y$ ma rozkład $\dpi{120} N\left ( 0,1 \right )$ . Przechodzimy na dystrybuantę rozkładu $\dpi{120} N\left ( 0,1 \right )$ :

$\dpi{120} 1-P\left ( -0,6\leqslant Y\leqslant -0,2 \right )=1-\left ( \Phi \left ( -0,2 \right ) -\Phi \left ( -0,6 \right )\right )=$

$\dpi{120} =1-\Phi \left ( -0,2\left )+\Phi \left ( -0,6 \right )$

Wykorzystujemy własność:

$\dpi{120} \Phi \left ( -x \right )=1-\Phi \left ( x \right )$

Zatem:

$\dpi{120} 1-\Phi \left ( -0,2 \right )+\Phi \left ( -0,6 \right )=1-\left ( 1-\Phi \left ( 0,2 \right ) \right )+1-\Phi \left ( 0,6 \right )=$

$\dpi{120} =1-1+\Phi \left ( 0,2 \right )+1-\Phi \left ( 0,6 \right )=$

$\dpi{120} =1+\Phi \left ( 0,2 \right )-\Phi \left ( 0,6 \right )$

Odczytujemy z tablic wartości $\dpi{120} \Phi \left ( 0,2 \right )=0,5793$ oraz $\dpi{120} \Phi \left ( 0,6 \right )=0,7257$ . Wstawiamy:

$\dpi{120} P\left ( \left | X-1 \right | \geqslant 1\right )=1+\Phi \left ( 0,2 \right )-\Phi \left ( 0,6 \right )=1+0,5793-0,7257=0,8536$

Uważajmy na nawiasy i przejścia typu 1-…, często pojawiają się tam błędy w znakach, co skutkuje np. prawdopodobieństwem większym od 1.

Pokaż rozwiązanie

Zwiń

Zadanie 5. Wzrost pewnej grupy osób opisany jest rozkładem normalnym o wartości oczekiwanej 173 cm i odchyleniu standardowym 6 cm.

a) Jakie jest prawdopodobieństwo, że losowo wybrana osoba ma więcej niż 181 cm wzrostu?

b) Jakie jest prawdopodobieństwo, że losowo wybrana osoba ma nie więcej niż 179 cm wzrostu?

c) Jaka jest frakcja osób mających wzrost pomiędzy 167 i 180 cm?

d) Wyznaczyć wartość wzrostu, którego nie przekracza 60% badanej populacji?

Rozwiązanie

Mamy do czynienia ze zmienną losową $\dpi{120} X$ o rozkładzie normalnym z parametrami $\dpi{120} m=EX=173$ oraz $\dpi{120} \sigma =\sqrt{D^{2}X}=6$ , czyli $\dpi{120} X\sim N\left ( 173,6 \right )$ .

a) Liczymy:

$\dpi{120} P\left ( X>181 \right )=1-P\left ( X\leqslant 181 \right )=1-P\left ( \frac{X-173}{6}\leqslant \frac{181-173}{6} \right )=$

$\dpi{120} =1-P\left ( Y\leqslant \frac{4}{3} \right )=1-P\left ( Y\leqslant 1,33 \right )=$

$\dpi{120} =1-\Phi \left ( 1,33 \right )=1-0,9082=0,0918$

Szukane prawdopodobieństwo wynosi około 9%.

b) Liczymy:

$\dpi{120} P\left ( X\leqslant 179 \right )=P\left ( \frac{X-173}{6}\leqslant \frac{179-173}{6} \right )=$

$\dpi{120} =P\left ( Y\leqslant 1 \right )=\Phi \left ( 1 \right )=0,8413$

Prawdopodobieństwo, że losowo wybrana osoba ma nie więcej niż 179 cm wynosi 84%.

c) Liczymy:

$\dpi{120} P\left ( 167<X<180 \right )=P\left ( \frac{167-173}{6}<\frac{X-173}{6} <\frac{180-173}{6}\right )=$

$\dpi{120} =P\left ( -1 <Y<\frac{7}{6}\right )=P\left (-1<Y<1,17 \right )=$

$\dpi{120} =\Phi \left (1,17 \right )-\Phi \left ( -1 \right )=\Phi \left ( 1,17 \right )-\left ( 1-\Phi \left ( 1 \right ) \right )=$

$\dpi{120} =\Phi \left ( 1,17 \right )-1+\Phi \left ( 1 \right )=0,879-1+0,8413=0,7203$

Osób liczących pomiędzy 167 cm a 180 cm jest około 72% .

d) Mamy do rozwiązania nierówność:

$\dpi{120} P\left ( X\leqslant a \right )\leqslant 0,6$

Stała $\dpi{120} a$ jest szukaną wartością wzrostu. Postępujemy jak w poprzednich zadaniach.

$\dpi{120} P\left ( X\leqslant a \right )=P\left ( \frac{X-173}{6}\leqslant \frac{a-173}{6} \right )=$ – standaryzacja

$\dpi{120} =P\left ( Y\leqslant \frac{a-173}{6} \right )=\Phi \left ( \frac{a-173}{6} \right )$

Wracamy do nierówności:

$\dpi{120} \Phi \left ( \frac{a-173}{6} \right )\leqslant 0,6$

Teraz używamy tablic, ale inaczej niż w poprzednich zadaniach. Wewnątrz tablic szukamy wartości najbliższej 0,6. Patrzymy w pierwszej kolumnie (dodatkowo w pierwszym wierszu) dla jakiej wartości zmiennej liczba 0,6 została osiągnięta. Tablice mogą się nieznacznie różnic od siebie, ale nie ma to wpływu na wyniki. Są to wszystko przybliżenia. U nas najbliższą liczbą dla 0,6 jest 0,5987 (jeżeli ktoś weźmie 0,6026 nie będzie błędu). Jest ona osiągnięta dla 0,25. Zatem:

$\dpi{120} \Phi \left ( \frac{a-173}{6} \right )\leqslant \Phi \left ( 0,25 \right )$

$\dpi{120} \frac{a-173}{6}\leqslant 0,25/\cdot 6$

$\dpi{120} a-173\leqslant 1,5$

$\dpi{120} a\leqslant 174,5$

Zatem 60% populacji nie przekracza 174,5 cm wzrostu.

Pokaż rozwiązanie

Zwiń

Zadanie 6. Pomiar odległości obiektu obarczony jest błędem systematycznym i losowym. Błąd systematyczny wynosi 50 m w stronę zaniżania odległości. Błędy losowe mają rozkład normalny o odchyleniu standardowym $\dpi{120} \large \sigma$ =100 m. Znaleźć:

a) prawdopodobieństwo pomiaru odległości z błędem nie przekraczającym co do wartości bezwzględnej 150 m

b) prawdopodobieństwo, że zmierzona odległość nie przekroczy prawdziwej odległości.

Rozwiązanie

Należy zapamiętać, że w tego typu zadaniach zmienną losową $\dpi{120} X$ jest błąd losowy. Natomiast błąd systematyczny jest to wartość oczekiwana zmiennej losowej $\dpi{120} X$ . U nas błąd systematyczny (wartość oczekiwana $\dpi{120} EX=m$ ) wynosi 50 m w stronę zaniżania odległości, czyli parametr $\dpi{120} m=-50$ (ujemny znak wynika z zaniżania odległości). Odchylenie standardowe jest podane w zadaniu i wynosi $\dpi{120} \sigma =100$ . Zatem mamy rozkład normalny $\dpi{120} N\left ( -50,100 \right )$ .

a) Liczymy:

$\dpi{120} P\left ( \left | X \right |\leqslant 150 \right )=P\left ( -150\leqslant X\leqslant 150 \right )=$

$\dpi{120} =P\left ( \frac{-150-\left ( -50 \right )}{100} \leqslant \overset{Y\sim N\left ( 0,1 \right )}{\overbrace{\frac{X-\left ( -50 \right )}{100}}}\leqslant \frac{150-\left ( -50 \right )}{100}\right )=$ – standaryzacja

$\dpi{120} =P\left ( -1\leqslant Y\leqslant 2 \right )=\Phi \left ( 2 \right )-\Phi \left ( -1 \right )=$

$\dpi{120} =\Phi \left ( 2 \right )-\left ( 1-\Phi \left ( 1 \right ) \right )=\Phi \left ( 2 \right )-1+\Phi \left ( 1 \right )=$

$\dpi{120} =0,9772-1+0,8413=0,8185$

b) Mamy obliczyć prawdopodobieństwo, że zmierzona odległość nie przekroczy prawdziwej odległości. Oznacza to, że błąd losowy jaki możemy popełnić (zmienna losowa $\dpi{120} X$ ) musi być liczbą ujemną lub równą zero. Zatem liczymy:

$\dpi{120} P\left ( X\leqslant 0 \right )=P\left ( \overset{Y\sim N\left ( 0,1 \right )}{\overbrace{\frac{X-\left ( -50 \right )}{100}}}\leqslant \frac{0-\left ( -50 \right )}{100} \right )=$ – standaryzacja

$\dpi{120} =P\left ( Y\leqslant 0,5 \right )=\Phi \left ( 0,5 \right )=0,6915$

Pokaż rozwiązanie

Zwiń