Mamy 4 zadania. Podobnie jak w zadaniach dotyczących płaszczyzn, podstawą jest poprawne zastosowanie iloczynu wektorowego. Rada: zawsze zacznijmy od zastanowienia się, które wektory są do siebie prostopadłe. Warto zajrzeć do zakładki Teoria tutaj. Zadanie 1. Napisz równanie prostej przechodzącej przez punkty i : Zadanie 2. Napisz równanie prostej przechodzącej przez punkt i prostopadłej do Read more about Prosta w przestrzeni – zadania[…]
RÓWNANIE KRAWĘDZIOWE PROSTEJ Rozważmy dwie nierównoległe płaszczyzny i odpowiednio o równaniach: Płaszczyzny te przecinają się wzdłuż pewnej prostej . Dlatego też układ równań określa prostą w przestrzeni i nazywany jest postacią krawędziową prostej. Z postaci tej nie widać bezpośrednio kierunku prostej . RÓWNANIE PARAMETRYCZNE PROSTEJ Niech będzie dany punkt oraz niezerowy wektor wyznaczający kierunek prostej Read more about Prosta w przestrzeni – teoria[…]
Mamy 5 zadań. W każdym z nich mamy napisać równanie płaszczyzny mając różne dane. Podstawą jest umiejętność liczenia iloczynu wektorowego. Patrz tutaj. Pamiętajmy, że wektor powstały w wyniku iloczynu wektorowego jest prostopadły do składowych tego iloczynu. Prosimy zajrzeć do zakładki Teoria tutaj, gdzie podane są podstawowe postaci prostych. Zadanie 1. Napisz równanie płaszczyzny przechodzącej Read more about Płaszczyzna w przestrzeni – zadania[…]
RÓWNANIE OGÓLNE PŁASZCZYZNY Niech będzie dowolnym punktem przestrzeni oraz wektorem z tej przestrzeni. Płaszczyznę określamy jako zbiór punktów takich, że wektor jest prostopadły do wektora . Z warunku prostopadłości wektorów mamy, że: Oznacza to, że Kładąc otrzymujemy równanie płaszczyzny postaci: Równanie to nazywamy równaniem ogólnym płaszczyzny . Wektor prostopadły do płaszczyzny nazywamy wektorem normalnym. Jednym Read more about Płaszczyzna w przestrzeni – teoria[…]
W temacie tym mamy 15 zadań. 6 pierwszych zadań dotyczy iloczynu skalarnego. Dwa pierwsze są bardzo łatwe i uczymy się w nich zastosowania podstawowych wzorów. Zadania 3 i 4 wykorzystują ważną własność iloczynu skalarnego, a mianowicie: wektory są prostopadłe, gdy ich iloczyn skalarny jest równy zero. Pozostałe dwa zadania są zastosowaniem pewnych innych własności iloczynu Read more about Iloczyn skalarny, wektorowy i mieszany – zadania[…]
ILOCZYN SKALARNY Dla dwóch wektorów i z przestrzeni iloczyn skalarny określamy jako np. . Kąt między wektorami i : Wektory są prostopadłe . Długość wektora : ILOCZYN WEKTOROWY Dla i mamy: gdzie . Iloczyn wektorowy Read more about Iloczyn skalarny, wektorowy i mieszany – wzory[…]
Dla prostoty pomijamy znak wektora nad , czyli: . ILOCZYN SKALARNY DEFINICJA 1. Niech będzie przestrzenią wektorową nad ciałem . Odwzorowanie spełniające dla dowolnych i dowolnego następujące warunki: 1) 2) i 3) 4) i nazywamy iloczynem skalarnym. Iloczyn skalarny wektorów przyjęło się również oznaczać . A więc iloczyn skalarny jest to funkcja określona Read more about Iloczyn skalarny, wektorowy i mieszany – teoria[…]
Mamy 4 zadania. Zadania 1 i 2 dotyczą pojęcia bazy i wykorzystują niezależność liniową wektorów wchodzących w skład bazy. Są bardzo proste. W zadaniu 3 i 4 zapisujemy wektory w różnych bazach. Podstawą jest tutaj znajomość pojęcia kombinacji liniowej wektorów. Zadania nie są również skomplikowane. Zadanie 1. Zbadać, czy dane wektory tworzą bazę przestrzeni Read more about Baza i wymiar przestrzeni wektorowej – zadania[…]
DEFINICJA 1. Wektory przestrzeni wektorowej nad ciałem nazywamy bazą tej przestrzeni, gdy każdy wektor można przedstawić jednoznacznie w postaci: tzn. każdy element przestrzeni jest kombinacją liniową wektorów bazowych. Uwaga. Przestrzeń wektorowa może mieć wiele baz. Jeśli przestrzeń wektorowa ma bazę skończoną, to mówimy, że jest przestrzenią skończenie wymiarową. Wówczas wszystkie bazy tej przestrzeni mają tyle Read more about Baza i wymiar przestrzeni wektorowej – teoria[…]
Mamy 5 zadań. Dwa pierwsze są przypomnieniem działań na wektorach. Zadanie 3 bada niezależność wektorów w przypadku, gdy ilość wektorów jest zgodna z wymiarem przestrzeni. Jest to bardzo proste sprawdzenie. W zadaniu 4 również badamy niezależność wektorów, ale ilość wektorów jest różna od wymiaru przestrzeni, co uniemożliwia zastosowanie poprzedniej metody. Zadanie nieco trudniejsze. Zadanie ostatnie Read more about Liniowa niezależność wektorów – zadania[…]