Układ złożony z niepustego zbioru , ciała oraz dwu działań: – dodawanie wektorów – mnożenie wektora przez skalar spełniający następujące warunki: 1) struktura jest grupą abelową, 2) – łączność 3) – rozdzielność 4) nazywamy przestrzenią wektorową nad ciałem . Elementy grupy nazywamy wektorami, elementy ciała nazywamy skalarami. Działanie Read more about Liniowa niezależność wektorów – teoria[…]
Mamy tu tylko 5 przykładów, ale są to przykłady dosyć długie. Właściwie nie ma w tym temacie zadań krótkich. Wykorzystuje się tutaj całą dotychczasową wiedzę na temat całek. Używamy w rozwiązaniach gotowych wzorów, aby rozwiązania nie były tak długie. Raczej nie na kolokwia i egzaminy. Ewentualnie może się trafić liczenie objętości brył, jako najkrótsze z Read more about Pola i objętości figur obrotowych – zadania[…]
Jeżeli krzywa wyznaczona jest równaniem postaci , przy czym funkcja ma w przedziale pochodną ciągłą, to długość łuku w tym przedziale wyraża się wzorem: Niech dany będzie łuk o równaniu , gdzie jest funkcją ciągłą i nieujemną w przedziale . Wówczas objętość bryły obrotowej ograniczonej powierzchnią, która powstaje, gdy łuk obraca się dookoła osi Read more about Pola i objętości figur obrotowych – teoria[…]
Mamy 2 zadania. Prosimy o wcześniejsze zapoznanie się z zakładką Teoria tutaj. W pierwszym zadaniu liczymy całki w granicach których występuje , zaś w zadaniu drugim niewłaściwość jest innego rodzaju. Jest ono bardzo podchwytliwe, gdyż całki w nim występujące wyglądają jak zwykłe całki oznaczone. Zadanie 1. Obliczyć całki niewłaściwe I rodzaju: 7) Zadanie Read more about Całki niewłaściwe – zadania[…]
Całki niewłaściwe I rodzaju Są to całki na przedziale nieskończonym. Dlatego też rozróżniamy trzy typy takich całek. 1. Jeżeli funkcja jest całkowalna na przedziale dla każdego , to jej całkę niewłaściwą na przedziale określamy następująco: 2. Jeżeli funkcja jest całkowalna na przedziale dla każdego , to jej całkę niewłaściwą na przedziale określamy następująco: 3. Jeżeli funkcja jest całkowalna na Read more about Całki niewłaściwe – teoria[…]
Mamy 2 zadania. Zadanie 1 jest liczeniem całek oznaczonych. W rzeczywistości jest to powtórka z liczenia całek nieoznaczonych. Mając całkę nieoznaczoną, obliczenie całki oznaczonej jest bardzo proste i sprowadza się do wstawienia dwóch liczb: granicy dolnej i górnej całki. Zadanie 2 to podstawowe zastosowanie całki oznaczonej do liczenia pól obszarów ograniczonych pewnymi krzywymi. Patrz zakładka Read more about Całka oznaczona jako pole obszaru – zadania[…]
Dana jest funkcja ciągła w przedziale . Całką oznaczoną funkcji w przedziale nazywamy różnicę wartości dowolnej funkcji pierwotnej na końcach przedziału całkowania, co zapisujemy następująco: Liczbę nazywamy dolną granicą całkowania, zaś – górną granicą całkowania. Jeżeli istnieje , to mówimy, że funkcja jest całkowalna w przedziale . Podstawowe własności całek oznaczonych: 1. 2. 3. 4. Read more about Całka oznaczona jako pole obszaru – teoria[…]
Przed przystąpieniem do zadań warto zapoznać się ze schematami rozwiązań przedstawionych w zakładce Wzory. tutaj Mamy pięć zadań. W pierwszym pojawiają się równania wykorzystujące wcześniejsze pojęcia z liczb zespolonych. W drugim rozwiązujemy równania kwadratowe o współczynnikach rzeczywistych, w trzecim równania kwadratowe o współczynnikach zespolonych, zaś kolejne to równania wyższych stopni. Zadanie 1. Rozwiązać równania: 1) Read more about Równania w dziedzinie zespolonej – zadania[…]
Równanie kwadratowe o współczynnikach rzeczywistych Algorytm rozwiązania: 1. Liczymy Dostajemy liczbę rzeczywistą. Jeżeli: a) , rozwiązaniami są liczby rzeczywiste. Liczymy jak w szkole. Koniec zadania. b) , szukamy rozwiązań zespolonych. Przechodzimy do dalszych punktów. 2. Wyróżnik ma wówczas postać: Zapisujemy go jako 3. Obliczamy 4. Obliczamy pierwiastki ze wzorów: Do wzorów wstawiamy tylko dodatni pierwiastek Read more about Równania w dziedzinie zespolonej – wzory[…]
RÓWNANIA STOPNIA DRUGIEGO o współczynnikach zespolonych rozwiązujemy standardowo, tzn. obliczamy wyróżnik (deltę) i stosujemy znane ze szkoły wzory na pierwiastki równania kwadratowego W szkole uczono, że gdy to rozwiązań brak. Jest to prawda w liczbach rzeczywistych. My, już wiemy, że w liczbach zespolonych istnieje pierwiastek kwadratowy z liczby ujemnej. Zatem równanie kwadratowe ma zawsze dwa Read more about Równania w dziedzinie zespolonej – teoria[…]