Całka jako pole obszaru (zadania)

Mamy 2 zadania. Zadanie 1 jest liczeniem całek oznaczonych. W rzeczywistości jest to powtórka z liczenia całek nieoznaczonych. Mając całkę nieoznaczoną, obliczenie całki oznaczonej jest bardzo proste i sprowadza się do wstawienia dwóch liczb: granicy dolnej i górnej całki. Zadanie 2 to podstawowe zastosowanie całki oznaczonej do liczenia pól obszarów ograniczonych pewnymi krzywymi. Patrz zakładka Teoria tutaj .

Zadanie 1. Oblicz całki:

1) $\dpi{120} \int_{1}^{3}\left ( 2x+1 \right )dx,$

Rozwiązanie:

$\dpi{120} \int_{1}^{3}\left ( 2x+1 \right )dx=\left [ 2\cdot \frac{x^{2}}{2}+x \right ]_{1}^{3}=\left [ x^{2}+x \right ]_{{\color{Red} 1}}^{{\color{Blue} 3}}=$

$\dpi{120} ={\color{Blue} 3^{2}+3}-\left ( {\color{Red} 1^{2}+1} \right )=12-2=10$

Pokaż rozwiązanie

Zwiń

2) $\dpi{120} \int_{-1}^{1}\left (2x^{4}-3x^{2}+5 \right )dx,$

Rozwiązanie

$\dpi{120} \int_{-1}^{1}\left (2x^{4}-3x^{2}+5 \right )dx=\left [ 2\cdot \frac{x^{5}}{5} -3\cdot \frac{x^{3}}{3}+5x\right ]_{-1}^{1}=$

$\dpi{120} =\frac{2}{5}\cdot 1^{5}-1^{3}+5\cdot 1-\left ( \frac{2}{5}\cdot \left ( -1 \right )^{5} - \left ( -1 \right )^{3}+5\cdot \left ( -1 \right )\right )=$

$\dpi{120} =\frac{2}{5}-1+5-\left ( -\frac{2}{5} +1-5\right )=\frac{4}{5}-2+10=8\frac{4}{5}$

Pokaż rozwiązanie

Zwiń

3) $\dpi{120} \int_{0}^{2}\frac{4x}{x^{2}+2}dx,$

Rozwiązanie

Całkę tę liczymy przez podstawienie. Jeżeli nie potrafimy od razu obliczyć całki nieoznaczonej, należy najpierw opuścić granice całkowania i policzyć całkę nieoznaczoną. Następnie wrócić do odpowiednich granic.

1. Liczymy całkę nieoznaczoną:

$\dpi{120} \int\frac{4x}{x^{2}+2}dx$

Wykonujemy podstawienie:

$\dpi{120} x^{2}+2=t$

$\dpi{120} 2xdx=dt$

$\dpi{120} dx=\frac{dt}{2x}$

Wstawiamy do całki:

$\dpi{120} \int\frac{4x}{x^{2}+2}dx=\int \frac{4x}{t}\cdot \frac{dt}{2x}=2\int \frac{dt}{t}=2\ln \left | t \right |\overset{t=x^{2}+2}{=}2 \ln \left ( x^{2}+2 \right )$

2. Wracamy do całki oznaczonej:

$\dpi{120} \int_{0}^{2}\frac{4x}{x^{2}+2}dx=\left [ 2\ln \left ( x^{2}+2 \right ) \right ]_{0}^{2}=2 \ln \left ( 2^{2}+2 \right )-2 \ln \left ( 0^{2}+2 \right )=$

$\dpi{120} =2\ln 6-2 \ln 2=2\left ( \ln 6- \ln 2 \right )=2 \ln \frac{6}{2}=2 \ln 3$

Pokaż rozwiązanie

Zwiń

4) $\dpi{120} \int_{-1}^{2}xe^{-x}dx,$

Rozwiązanie

Całkę tę liczymy przez części.

1. Liczymy całkę nieoznaczoną:

$\dpi{120} \int xe^{-x}dx=\begin{Bmatrix} f\left ( x \right )=x,\; \; g'\left ( x \right )=e^{-x}\\ f'\left ( x \right )=1,\; \; g\left ( x \right )=-e^{-x} \end{Bmatrix}=$

$\dpi{120} =x\cdot \left ( -e^{-x} \right )-\int 1\cdot \left ( -e^{-x} \right )dx=-xe^{-x}+\int e^{-x}dx=$

$\dpi{120} =-xe^{-x}-e^{-x}+C$

2. Wracamy do całki oznaczonej:

$\dpi{120} \int_{-1}^{2}xe^{-x}dx=\left [ -xe^{-x}-e^{-x} \right ]_{-1}^{2}=$

$\dpi{120} =-2e^{-2}-e^{-2}- \left [ -\left ( -1 \right )e^{-\left ( -1 \right )}-e^{-\left ( -1 \right )} \right ]=$

$\dpi{120} =-3e^{-2}-\left ( e-e \right )=-3e^{-2}$

Pokaż rozwiązanie

Zwiń

5) $\dpi{120} \int_{1}^{e}x\ln xdx,$

Rozwiązanie

Całkę tę liczymy przez części.

1. Liczymy całkę nieoznaczoną:

$\dpi{120} \int x\ln xdx=\begin{Bmatrix} f\left ( x \right )=\ln x,\; & g'\left ( x \right )=x\\ f'\left ( x \right )=\frac{1}{x},\; \; & g\left ( x \right )=\frac{x^{2}}{2} \end{Bmatrix}=$

$\dpi{120} =\frac{x^{2}}{2}\ln x-\int \frac{1}{x}\cdot \frac{x^{2}}{2}dx=$

$\dpi{120} =\frac{x^{2}}{2}\ln x-\frac{1}{2}\int xdx=$

$\dpi{120} =\frac{x^{2}}{2}\ln x-\frac{1}{2}\cdot \frac{x^{2}}{2}+C=$

$\dpi{120} =\frac{x^{2}}{2}\left ( \ln x-\frac{1}{2} \right )+C$

2. Wracamy do całki oznaczonej:

$\dpi{120} \int_{1}^{e}x\ln xdx=\left [ \frac{x^{2}}{2}\left ( \ln x-\frac{1}{2} \right ) \right ]_{1}^{e}=$

$\dpi{120} =\frac{e^{2}}{2}\left ( \ln e-\frac{1}{2} \right )-\frac{1^{2}}{2}\left ( \ln 1-\frac{1}{2} \right )=$

$\dpi{120} =\frac{e^{2}}{2}\left ( 1-\frac{1}{2} \right )-\frac{1}{2}\left ( 0-\frac{1}{2} \right )=$

$\dpi{120} =\frac{e^{2}}{4}+\frac{1}{4}=\frac{1}{4}\left ( e^{2}+1 \right )$

Pokaż rozwiązanie

Zwiń

6) $\dpi{120} \int_{0}^{2}x\sqrt[3]{3x+2}dx,$

Rozwiązania

Całkę tę liczymy przez podstawienie.

1. Liczymy całkę nieoznaczoną:

$\dpi{120} \int x\sqrt[3]{3x+2}dx=$

Wykonujemy podstawienie:

$\dpi{120} 3x+2=t^{3}$

$\dpi{120} 3dx=3t^{2}dt$

$\dpi{120} dx=t^{2}dt$

Z podstawienia wyliczamy jeszcze $\dpi{120} x$ :

$\dpi{120} 3x+2=t^{3}\Rightarrow x=\frac{t^{3}-2}{3}$

Mamy:

$\dpi{120} \int x\sqrt[3]{3x+2}dx=\int \frac{t^{3}-2}{3}\cdot \sqrt[3]{t^{3}}\cdot t^{2}dt=\frac{1}{3}\int \left ( t^{3}-2 \right )\cdot t\cdot t^{2}dt=$

$\dpi{120} =\frac{1}{3}\int \left (t^{6}-2t^{3} \right )dt=\frac{1}{3}\left ( \frac{t^{7}}{7}-2\cdot \frac{t^{4}}{4} \right )=\frac{t^{7}}{21}-\frac{t^{4}}{6}=$

$\dpi{120} \overset{t=\sqrt[3]{3x+2}}{=}\frac{\left (\sqrt[3]{3x+2} \right )^{7}}{21}-\frac{\left (\sqrt[3]{3x+2} \right )^{4}}{6}+C$

2. Wracamy do całki oznaczonej:

$\dpi{120} \int_{0}^{2}x\sqrt[3]{3x+2}dx=\left [ \frac{\left (\sqrt[3]{3x+2} \right )^{7}}{21}-\frac{\left (\sqrt[3]{3x+2} \right )^{4}}{6}\right ]_{0}^{2}=$

$\dpi{120} =\frac{\left ( \sqrt[3]{3\cdot 2+2} \right )^{7}}{21}-\frac{\left ( \sqrt[3]{3\cdot 2+2} \right )^{4}}{6}-\left [ \frac{\left ( \sqrt[3]{3\cdot 0+2} \right )^{7}}{21}-\frac{\left ( \sqrt[3]{3\cdot 0+2} \right )^{4}}{6} \right ]=$

$\dpi{120} =\frac{\left ( \sqrt[3]{8} \right )^{7}}{21}-\frac{\left ( \sqrt[3]{8} \right )^{4}}{6}-\left [ \frac{\left ( \sqrt[3]{2} \right )^{7}}{21}-\frac{\left ( \sqrt[3]{2} \right )^{4}}{6} \right ]=$

$\dpi{120} =\frac{2^{7}}{21}-\frac{2^{2}}{6}-\frac{4\sqrt[3]{2}}{21}+\frac{2\sqrt[3]{2}}{6}$

Wynik można najczęściej zostawić w takiej postaci.

Pokaż rozwiązanie

Zwiń

7) $\dpi{120} \int_{-3}^{-2}\frac{dx}{x^{2}+2x+1},$

Rozwiązanie

1. Zauważmy, że w mianowniku mamy wzór skróconego mnożenia:

$\dpi{120} \int \frac{dx}{x^{2}+2x+1}=\int \frac{dx}{\left ( x+1 \right )^{2}}$

Wykonujemy podstawienie:

$\dpi{120} x+1=t$

$\dpi{120} dx=dt$

Mamy:

$\dpi{120} \int \frac{dx}{x^{2}+2x+1}=\int \frac{dx}{\left ( x+1 \right )^{2}}=\int \frac{dt}{t^{2}}=\int t^{-2}dt=\frac{t^{-1}}{-1}=$

$\dpi{120} =-\frac{1}{t}\overset{t=x+1}{=}-\frac{1}{x+1}+C$

2. Wracamy do całki oznaczonej:

$\dpi{120} \int_{-3}^{-2}\frac{dx}{x^{2}+2x+1}=\left [ -\frac{1}{x+1} \right ]_{-3}^{-2}=-\frac{1}{-2+1}-\left ( -\frac{1}{-3+1} \right )=1-\frac{1}{2}=\frac{1}{2}$

Pokaż rozwiązanie

Zwiń

8) $\dpi{120} \int_{0}^{2}\frac{e^{2x}}{1+e^{x}}dx,$

Rozwiązanie

Całkę liczymy przez podstawienie.

1. Liczymy całkę nieoznaczoną:

$\dpi{120} \int \frac{e^{2x}}{1+e^{x}}dx=\int \frac{e^{x}\cdot e^{x}}{1+e^{x}}dx$

Wykonujemy podstawienie:

$\dpi{120} {\color{Blue} 1+e^{x}=t}\Rightarrow {\color{Red} e^{x}=t-1}$

$\dpi{120} e^{x}dx=dt$

$\dpi{120} {\color{Teal} dx=\frac{dt}{e^{x}}}$

Mamy:

$\dpi{120} \int \frac{e^{2x}}{1+e^{x}}dx=\int \frac{{\color{Red} e^{x}}\cdot e^{x}}{{\color{Blue} 1+e^{x}}}{\color{Teal} dx}=\int \frac{\left ( {\color{Red} t-1} \right )\cdot e^{x}}{{\color{Blue} t}}\cdot {\color{Teal} \frac{dt}{e^{x}}}=\int \frac{t-1}{t}dt=$

$\dpi{120} =\int\left ( 1-\frac{1}{t} \right )dt=t-\ln \left | t \right |\overset{1+e^{x}}{=}1+e^{x}- \ln \left ( 1+e^{x} \right )+C$

2. Wracamy do całki oznaczonej:

$\dpi{120} \int_{0}^{2}\frac{e^{2x}}{1+e^{x}}dx=\left [ 1+e^{x} -\ln \left ( 1+e^{x} \right )\right ]_{0}^{2}=$

$\dpi{120} =1+e^{2}-\ln \left ( 1+e^{2} \right )-\left [ 1+e^{0}- \ln \left ( 1+e^{o} \right ) \right ]=$

$\dpi{120} =1+e^{2}-\ln \left ( 1+e^{2} \right )-\left [ 1+1- \ln \left ( 1+1 \right ) \right ]=$

$\dpi{120} =-1+e^{2}-\ln \left ( 1+e^{2} \right )+\ln 2 =$

$\dpi{120} =-1+e^{2}+\ln \frac{2}{1+e^{2}}$

Pokaż rozwiązanie

Zwiń

9) $\dpi{120} \int_{1}^{2}\frac{dx}{\sqrt{3+2x-x^{2}}},$

Rozwiązanie

Jest to całka niewymierna ze współczynnikiem $\dpi{120} a=-1<0$ .

1. Liczymy całkę nieoznaczoną. Sprowadzamy wyrażenie podpierwiastkowe do postaci kanonicznej:

$\dpi{120} \Delta =4-4\cdot \left ( -1 \right )\cdot 3=16$

$\dpi{120} -x^{2}+2x+3=-\left ( x+\frac{2}{2\cdot \left ( -1 \right )} \right )^{2}-\frac{16}{4\cdot \left ( -1 \right )}$

$\dpi{120} -x^{2}+2x+3=-\left ( x-1\right )^{2}+4$

Zatem:

$\dpi{120} \int \frac{dx}{\sqrt{3+2x-x^{2}}}=\int \frac{dx}{\sqrt{-\left ( x-1 \right )^{2}+4}}$

Wykonujemy podstawienie:

$\dpi{120} x-1=\sqrt{4}t$

$\dpi{120} x-1=2t\Rightarrow t=\frac{x-1}{2}$

$\dpi{120} dx=2dt$

Wstawiamy do całki:

$\dpi{120} \int \frac{dx}{\sqrt{3+2x-x^{2}}}=\int \frac{dx}{\sqrt{-\left ( x-1 \right )^{2}+4}}=$

$\dpi{120} =\int \frac{2dt}{\sqrt{-\left (2t \right )^{2}+4}}=\int \frac{2dt}{\sqrt{-4t^{2}+4}}=$

$\dpi{120} =\frac{2}{2}\int \frac{dt}{\sqrt{-t^{2}+1}}=\arcsin t\overset{t-\frac{x-1}{2}}{=} \arcsin \frac{x-1}{2}+C$

2. Wracamy do całki oznaczonej:

$\dpi{120} \int_{1}^{2}\frac{dx}{\sqrt{3+2x-x^{2}}}=\left [ \arcsin \frac{x-1}{2} \right ]_{1}^{2}=$

$\dpi{120} =\arcsin \frac{2-1}{2}- \arcsin \frac{1-1}{2}=$

$\dpi{120} =\arcsin \frac{1}{2}- \arcsin 0=\frac{\pi }{6}-0=\frac{\pi }{6}$

Pamiętajmy $\dpi{120} \arcsin x$ jest funkcją odwrotną do sinusa. Zatem:

$\dpi{120} \arcsin \frac{1}{2}=y\Leftrightarrow \sin y=\frac{1}{2}\Rightarrow y=\frac{\pi }{6}$

$\dpi{120} \arcsin 0=y\Leftrightarrow \sin y=0\Rightarrow y=0$

Zatem $\dpi{120} \arcsin \frac{1}{2}=\frac{\pi }{6}$ oraz $\dpi{120} \arcsin 0=0$ .

Pokaż rozwiązanie

Zwiń

10) $\dpi{120} \int_{0}^{1}x^{2}arc\, tg\, xdx.$

Rozwiązanie

1. Liczymy całkę nieoznaczoną. Zaczynamy od całkowania przez części. Przyjmujemy:

$\dpi{120} f\left ( x \right )=arc\, tg\, x,\; \; \; g'\left ( x \right )=x^{2}$

$\dpi{120} f'\left ( x \right )=\frac{1}{1+x^{2}},\; \; \; g\left ( x \right )=\frac{x^{3}}{3}$

Ze wzoru na całkowanie przez części mamy:

$\dpi{120} \int x^{2}arc\, tg\, xdx=\frac{x^{3}}{3}\cdot arc\, tg\, x-\int \frac{1}{1+x^{2}}\cdot \frac{x^{3}}{3}dx$

$\dpi{120} \int x^{2}arc\, tg\, xdx=\frac{x^{3}}{3}\cdot arc\, tg\, x-\frac{1}{3}\int \frac{x^{3}}{1+x^{2}}dx$

Liczymy całkę $\dpi{120} \int \frac{x^{3}}{1+x^{2}}dx$ . Ponieważ stopień licznika jest większy niż mianownika, dzielimy licznik przez mianownik. Mamy:

$\dpi{120} \frac{x^{3}}{1+x^{2}}=x+\frac{-x}{1+x^{2}}$

Zatem:

$\dpi{120} \int \frac{x^{3}}{1+x^{2}}dx=\int \left (x-\frac{x}{1+x^{2}} \right )dx=\int xdx-\frac{1}{2}\int \frac{2x}{1+x^{2}}=$

$\dpi{120} =\frac{x^{2}}{2}-\frac{1}{2}\ln \left ( 1+x^{2} \right )$

Wracamy do wyjściowej całki:

$\dpi{120} \int x^{2}arc\, tg\, xdx=\frac{x^{3}}{3}\cdot arc\, tg\, x-\frac{1}{3}\int \frac{x^{3}}{1+x^{2}}dx$

$\dpi{120} \int x^{2}arc\, tg\, xdx=\frac{x^{3}}{3}\cdot arc\, tg\, x-\frac{1}{3}\cdot \left ( \frac{x^{2}}{2}-\frac{1}{2}\ln \left ( 1+x^{2} \right ) \right )+C$

$\dpi{120} \int x^{2}arc\, tg\, xdx=\frac{x^{3}}{3}\cdot arc\, tg\, x-\frac{x^{2}}{6}+\frac{1}{6}\ln \left ( 1+x^{2} \right ) +C$

2. Wracamy do całki oznaczonej:

$\dpi{120} \int_{0}^{1}x^{2}arc\, tg\, xdx=\left [ \frac{x^{3}}{3}\cdot arc\, tg\, x-\frac{x^{2}}{6}+\frac{1}{6}\ln \left ( 1+x^{2} \right ) \right ]_{0}^{1}=$

$\dpi{120} =\frac{1^{3}}{3}\cdot arc\, tg\, 1-\frac{1^{2}}{6}+\frac{1}{6}\ln \left ( 1+1^{2} \right ) -\left [ \underset{=0}{\underbrace{\frac{0^{3}}{3}\cdot arc\, tg\, 0-\frac{0^{2}}{6}+\frac{1}{6}\overset{=0}{\overbrace{\ln \left ( 1+0^{2} \right )}} }}\right ]=$

$\dpi{120} =\frac{1}{3}\cdot \frac{\pi }{4}-\frac{1}{6}+\frac{1}{6}\ln 2$

gdyż $\dpi{120} arc\, tg\, 1=y\Leftrightarrow tg\, y=1\Rightarrow y=\frac{\pi }{4}$ .

Pokaż rozwiązanie

Zwiń

Zadanie 2. Obliczyć pole obszaru ograniczonego krzywymi:

1) $\dpi{120} y=x^{2},\; y=4x,$

Rozwiązanie

$\dpi{120} P=\int_{0}^{4}\left ( 4x-x^{2} \right )dx=\left [ 4\cdot \frac{x^{2}}{2} -\frac{x^{3}}{3}\right ]_{0}^{4}=2\cdot 4^{2}-\frac{4^{3}}{3}-\left ( 2\cdot 0^{2} -\frac{0^{3}}{3}\right )=\frac{32}{3}$

Pokaż rozwiązanie

Zwiń

2) $\dpi{120} y=x^{2},\; y^{2}=x,$

Rozwiązanie

$\dpi{120} P=\int_{0}^{1}\left ( \sqrt{x}-x^{2} \right )dx=\int_{0}^{1}\left ( x^{\frac{1}{2}}-x^{2} \right )dx=\left [ \frac{x^{\frac{3}{2}}}{\frac{3}{2}} -\frac{x^{3}}{3}\right ]_{0}^{1}=$

$\dpi{120} =\frac{2}{3}\cdot 1^{\frac{3}{2}}-\frac{1^{3}}{3}-\left [ \frac{2}{3}\cdot 0^{\frac{3}{2}}-\frac{0^{3}}{3} \right ]=\frac{1}{3}$

Pokaż rozwiązanie

Zwiń

3) $\dpi{120} y=x^{3},\; y=4x$

Rozwiązanie

Ponieważ mamy dwa symetryczne obszary, więc wystarczy policzyć pole jednego obszaru i pomnożyć przez 2.

$\dpi{120} P=2P_{1}=2\int_{0}^{2}\left ( 4x-x^{3} \right )dx=2\cdot \left [ 4\cdot \frac{x^{2}}{2} -\frac{x^{4}}{4}\right ]_{0}^{2}=$

$\dpi{120} =2\cdot \left ( 2\cdot 2^{2}-\frac{2^{4}}{4} -0\right )=2\cdot 4=8$

Pokaż rozwiązanie

Zwiń

4) $\dpi{120} y=x^{2},\; y=\frac{1}{2}x^{2},\; y=3x,$

Rozwiązanie

$\dpi{120} P=P_{1}+P_{2}$

$\dpi{120} P_{1}=\int_{0}^{3}\left ( x^{2} -\frac{1}{2}x^{2}\right )dx=\int_{0}^{3}\frac{1}{2}x^{2}dx=\left [ \frac{1}{2}\cdot \frac{x^{3}}{3} \right ]_{0}^{3}=\frac{3^{3}}{6}-0=\frac{9}{2}$