Liczby zespolone, równania, teoria

RÓWNANIA STOPNIA DRUGIEGO

$\dpi{120} az^{2}+bz+c=0,\; \; \; a,b,c\in \mathbb{C}$

o współczynnikach zespolonych rozwiązujemy standardowo, tzn. obliczamy wyróżnik (deltę)

$\dpi{120} \Delta =b^{2}-4ac$

i stosujemy znane ze szkoły wzory na pierwiastki równania kwadratowego

$\dpi{120} z_{1,2}=\frac{-b\pm \sqrt{\Delta }}{2a}$

W szkole uczono, że gdy $\dpi{120} \Delta < 0$ to rozwiązań brak. Jest to prawda w liczbach rzeczywistych. My, już wiemy, że w liczbach zespolonych istnieje pierwiastek kwadratowy z liczby ujemnej. Zatem równanie kwadratowe ma zawsze dwa rozwiązania (wliczając krotności pierwiastków).

Równania kwadratowe o współczynnikach rzeczywistych mają rozwiązania zespolone będące liczbami sprzężonymi.

Między rozwiązaniami równania kwadratowego o współczynnikach zespolonych nie zachodzą żadne związki.

RÓWNANIA STOPNIA n

Równaniem stopnia $\dpi{120} n\in N$ nazywamy równanie

$\dpi{120} a_{n}z^{n}+a_{n-1}z^{n-1}+...+a_{1}z+a_{0}=0$

gdzie $\dpi{120} a_{k}\in \mathbb{C}$ dla $\dpi{120} k=0,1,...,n$ i $\dpi{120} a_{n}\neq 0.$

U podstaw rozwiązywania powyższych równań leży tzw.

Zasadnicze twierdzenie algebry:

Równanie stopnia $\dpi{120} n$ o współczynnikach zespolonych ma w zbiorze liczb zespolonych dokładnie $\dpi{120} n$ pierwiastków (każdy pierwiastek liczymy tyle razy, ile wynosi jego krotność).

Wnioski z Zasadniczego twierdzenia algebry:

1. Niech wielomian zespolony $\dpi{120} W\left ( z \right )=a_{n}z^{n}+a_{n-1}z^{n-1}+...+a_{1}z+a_{0}$ stopnia $\dpi{120} n\in N$ ma pierwiastki zespolone $\dpi{120} z_{j}$ o krotnościach $\dpi{120} k_{j}\in N$ dla $\dpi{120} 1\leq j\leq m$ oraz $\dpi{120} k_{1}+k_{2}+...+k_{m}=n$ . Wtedy:

$\dpi{120} W\left ( z \right )=a_{n}\left ( z-z_{1} \right )^{k_{1}}\cdot \left ( z-z_{2} \right )^{k_{2}}\cdot ...\cdot \left ( z-z_{m} \right )^{k_{m}}$ .

2. Jeżeli liczba zespolona $\dpi{120} z_{1}$ jest pierwiastkiem wielomianu o współczynnikach rzeczywistych, to liczba sprzężona $\dpi{120} \overline{z_{1}}$ jest również pierwiastkiem tego wielomianu.

Rozwiązywanie równań wyższych stopni bywa niekiedy uciążliwe. Dużym ułatwieniem jest, gdy znamy jeden z pierwiastków równania. Wówczas, korzystając z wniosku 2, wiemy, że również liczba sprzężona jest jego pierwiastkiem. Możemy zatem obniżyć stopień równania o 2, co przy np. równaniu stopnia 4 sprowadza się do rozwiązania równania kwadratowego. Nie mając żadnego pierwiastka najczęściej rozpoczynamy poszukiwania od pierwiastków całkowitych. Poznane w szkole twierdzenie mówi, że: Niech $\dpi{120} a_{k}\in Z, k=0,1...,n$ i $\dpi{120} a_{n}\neq 0$ . Wówczas, jeżeli równanie $\dpi{120} a_{n}x^{n}+...a_{1}x+a_{0}=0$ ma pierwiastek całkowity $\dpi{120} c$ to $\dpi{120} c$ jest dzielnikiem wyrazu wolnego $\dpi{120} a_{0}$ .

Zapraszamy do zadań! tutaj