Kategoria: Teoria

Postać trygonometryczna liczb zespolonych-teoria

Data wpisu przez Joanna Piasecka

Niech będzie dana liczba zespolona  Modułem liczby zespolonej  nazywamy liczbę rzeczywistą  i oznaczamy , czyli: Każdą liczbę zespoloną  możemy przedstawić w postaci: Zauważmy, że: Istnieje, więc liczba rzeczywista  taka, że    gdyż    Otrzymujemy stąd następującą postać liczby zespolonej  zwaną postacią trygonometryczną liczby zespolonej. Każdą liczbę rzeczywistą  spełniającą powyższą zależność nazywamy argumentem liczby zespolonej i oznaczamy . Argument Read more about Postać trygonometryczna liczb zespolonych-teoria[…]

Szeregi liczbowe – teoria

Data wpisu przez Joanna Piasecka

Niech będzie dowolnym ciągiem liczb rzeczywistych. Szeregiem o wyrazach rozumiemy wyrażenie które zapisujemy również jako . Ciągiem sum częściowych szeregu nazywamy ciąg , którego n-ty wyraz określony jest wzorem Liczba nazywa się również n-tą sumą częściową szeregu . W przypadku, gdy ciąg sum częściowych szeregu ma granicę (skończoną lub nie), to granicę tę nazywamy sumą Read more about Szeregi liczbowe – teoria[…]

Ciągi liczbowe – teoria

Data wpisu przez Joanna Piasecka

Odwzorowanie  zbioru liczb naturalnych  w zbiór liczb rzeczywistych  nazywamy ciągiem nieskończonym o wyrazach rzeczywistych. Argument  tego odwzorowania nazywamy wskaźnikiem, a wartość  odwzorowania odpowiadającą wskaźnikowi  nazywamy – tym wyrazem ciągu i oznaczamy zwykle symbolem , ciąg zaś oznaczamy  lub . Dla określenia ciągu wystarczy podać wzór na – ty wyraz. Przykłady ciągów 1. ciąg odwrotności liczb Read more about Ciągi liczbowe – teoria[…]

Działania na liczbach zespolonych-teoria

Data wpisu przez Joanna Piasecka

Liczbą zespoloną nazywamy uporządkowaną parę liczb rzeczywistych . Parę taką zapisujemy jako: Postać tę nazywamy postacią algebraiczną (kanoniczną) liczby zespolonej. Liczba  to tzw. część rzeczywista, zaś  część urojona liczby zespolonej  i oznaczamy: Symbol  oznacza jednostkę urojoną spełniającą warunek: Na zbiorze  – wszystkich liczb zespolonych określamy podstawowe działania: dodawanie, odejmowanie, mnożenie i dzielenie. Niech  oraz – Read more about Działania na liczbach zespolonych-teoria[…]

Podstawowe działania na macierzach – teoria

Data wpisu przez Joanna Piasecka

Niech . Prostokątną tablicę utworzoną z liczb rzeczywistych (zespolonych)    dla  nazywamy rzeczywistą (zespoloną) macierzą prostokątną o wymiarze  Elementy  nazywamy wyrazami macierzy. Rzędy pionowe nazywamy kolumnami, zaś poziomie – wierszami tej macierzy. Symbol  jest to element stojący na przecięciu -tego wiersza oraz -tej kolumny. Macierze oznaczamy wielkimi literami alfabetu:  . Zbiór wszystkich macierzy rzeczywistych (zespolonych)  (-wierszy, -kolumn) będziemy Read more about Podstawowe działania na macierzach – teoria[…]

Wyznacznik macierzy – teoria

Data wpisu przez Joanna Piasecka

Oznaczamy przez  zbiór macierzy kwadratowych stopnia o wyrazach rzeczywistych. Macierz  zapiszmy w postaci ciągu jej kolumn: ,    gdzie    Wyznacznik macierzy jest to funkcja przyporządkowująca tej macierzy pewną liczbę rzeczywistą. Będziemy go oznaczać   lub DEFINICJA Wyznacznikiem stopnia macierzy nazywamy funkcję spełniającą następujące warunki: 1. det det det 2. det  det 3.  det 4. det W definicji Read more about Wyznacznik macierzy – teoria[…]

Macierz odwrotna – teoria

Data wpisu przez Joanna Piasecka

We wcześniejszych tematach pojawiły się już równania macierzowe, ale macierze w nich występujące były najczęściej wymiaru . Zwiększenie wymiaru macierzy oraz zastosowanie poprzedniej metody rozwiązywania równań byłoby bardzo nieefektywne. Wprowadzenie macierzy odwrotnej znacznie uprości rachunki. Niech  Jeśli istnieje macierz  taka, że: gdzie – macierz jednostkowa stopnia , to macierz jest elementem odwrotnym do macierzy względem Read more about Macierz odwrotna – teoria[…]

Ogólne wiadomości o układach równań – teoria

Data wpisu przez Joanna Piasecka

Układ równań postaci gdzie  dla nazywamy układem równań liniowych. Liczby nazywamy współczynnikami układu równań, zaś wyrazami wolnymi. Macierz utworzona ze współczynników przy niewiadomych nazywamy macierzą współczynników (macierzą układu). Układ równań, w którym nazywamy układem jednorodnym. Rozwiązaniem układu równań nazywamy ciąg liczb rzeczywistych spełniających ten układ. Układ równań liniowych może mieć jedno rozwiązanie, nieskończenie wiele rozwiązań Read more about Ogólne wiadomości o układach równań – teoria[…]

Metoda wyznacznikowa – teoria

Data wpisu przez Joanna Piasecka

Układ równań liniowych, w którym  (liczba równań jest równa liczbie niewiadomych) oraz  nazywa się układem Cramera lub układem cramerowskim. Zatem układ cramerowski to układ postaci: i taki, że  TWIERDZENIE CRAMERA (wzory Cramera) Układ Cramera równań liniowych ma dokładnie jedno rozwiązanie określone wzorami:         (wzory Cramera) gdzie  oznacza wyznacznik macierzy współczynników, zaś jest wyznacznikiem macierzy Read more about Metoda wyznacznikowa – teoria[…]