Niech będzie dana liczba zespolona Modułem liczby zespolonej nazywamy liczbę rzeczywistą i oznaczamy , czyli:
Każdą liczbę zespoloną możemy przedstawić w postaci:
Zauważmy, że:
Istnieje, więc liczba rzeczywista taka, że
gdyż
Otrzymujemy stąd następującą postać liczby zespolonej
zwaną postacią trygonometryczną liczby zespolonej.
Każdą liczbę rzeczywistą spełniającą powyższą zależność nazywamy argumentem liczby zespolonej i oznaczamy . Argument nie jest określony jednoznacznie (okresowość funkcji i ), a więc również przedstawienie liczby zespolonej w postaci trygonometrycznej nie jest jednoznaczne. Wśród argumentów danej liczby zespolonej istnieje dokładnie jeden spełniający nierówność Nazywa się on argumentem głównym i oznaczamy go
Dla danych liczb zespolonych oraz mamy:
Wynika stąd, że:
Zachodzi również analogiczna zależność dla ilorazu liczb zespolonych:
.
Stąd:
Zapraszamy do zadań! tutaj