Kategoria: Teoria

Równania w dziedzinie zespolonej – teoria

Data wpisu przez Joanna Piasecka

RÓWNANIA STOPNIA DRUGIEGO o współczynnikach zespolonych rozwiązujemy standardowo, tzn. obliczamy wyróżnik (deltę) i stosujemy znane ze szkoły wzory na pierwiastki równania kwadratowego W szkole uczono, że gdy to rozwiązań brak. Jest to prawda w liczbach rzeczywistych. My, już wiemy, że w liczbach zespolonych istnieje pierwiastek kwadratowy z liczby ujemnej. Zatem równanie kwadratowe ma zawsze dwa Read more about Równania w dziedzinie zespolonej – teoria[…]

Potęgowanie liczb zespolonych – teoria

Data wpisu przez Joanna Piasecka

Postać trygonometryczna liczb zespolonych jest szczególnie przydatna przy podnoszeniu liczby zespolonej do potęgi i obliczaniu pierwiastka tej liczby. Wróćmy do wzoru. Podstawmy , otrzymujemy: Uogólnijmy powyższy wzór (indukcja matematyczna) na dowolną liczbę czynników. Otrzymujemy wzór na n-tą (n – liczba naturalna) potęgę liczby zespolonej zwany wzorem de Moivre’a: Zapraszamy do zadań! tutaj

Całka nieoznaczona – teoria

Data wpisu przez Joanna Piasecka

Funkcję nazywamy funkcją pierwotną funkcji na przedziale , jeśli dla każdego spełniony jest warunek: Twierdzenie 1. (o funkcjach pierwotnych) Jeśli jest funkcją pierwotną na przedziale , to:  funkcja , gdzie oznacza dowolna stałą, jest także funkcją pierwotną funkcji na przedziale , każdą funkcję pierwotną funkcji na przedziale , można przedstawić w postaci sumy , gdzie Read more about Całka nieoznaczona – teoria[…]

Szereg Taylora – teoria

Data wpisu przez Joanna Piasecka

Twierdzenie 1. (wzór Taylora) Jeżeli funkcja ma ciągłe pochodne do rzędu  włącznie na pewnym przedziale domkniętym zawierającym punkt , wówczas dla każdego z tego przedziału istnieje taki punkt , leżący pomiędzy i że W ostatnim wyrazie występuje liczba , której wartość jest na ogół inna dla każdego oraz . Wyraz ten oznaczamy : i nazywamy Read more about Szereg Taylora – teoria[…]

Pierwiastkowanie liczb zespolonych-teoria

Data wpisu przez Joanna Piasecka

Niech . Pierwiastkiem stopnia -tego liczby zespolonej  nazywamy każdą liczbę zespoloną  o tej własności, że  Na podstawie wzoru de Moivre’a mamy, że: Ostatnia równość zachodzi wtedy i tylko wtedy, gdy: oraz: Tak więc pierwiastki -tego stopnia liczby zespolonej  mają postać: Pamiętajmy, zawsze istnieje dokładnie  różnych pierwiastków stopnia  z liczby zespolonej  Nie zawsze daje się w sposób dokładny (bez przybliżeń) obliczyć pierwiastki z powyższego wzoru. Read more about Pierwiastkowanie liczb zespolonych-teoria[…]

Reguła de l’Hospitala – teoria

Data wpisu przez Joanna Piasecka

Przy liczeniu granic funkcji mogą pojawić się symbole nieoznaczone. Niektóre liczyliśmy już w temacie Granice funkcji tutaj. Jednak czasami nie potrafimy pozbyć się symbolu nieoznaczonego bez zastosowania tzw. reguły de l’Hospitala. Możemy również stosować ją zamiennie do innych metod. Jak komu wygodniej. Twierdzenie 1. (reguła de l’Hospitala) Jeżeli w punkcie jest wyrażeniem nieoznaczonym typu lub Read more about Reguła de l’Hospitala – teoria[…]

Ekstrema lokalne funkcji – teoria

Data wpisu przez Joanna Piasecka

Mówimy, że funkcja ma minimum (maksimum) lokalne w punkcie wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje liczba taka, że dla każdego zachodzi nierówność (odpowiednio ). Minima i maksima lokalne funkcji nazywamy ekstremami lokalnymi funkcji. Twierdzenie 1. (warunek konieczny ekstremum) Jeśli funkcja jest różniczkowalna w punkcie i ma w tym punkcie ekstremum lokalne, to Punkt , dla Read more about Ekstrema lokalne funkcji – teoria[…]

Monotoniczność i asymptoty funkcji – teoria

Data wpisu przez Joanna Piasecka

Omówimy tutaj dwa zastosowania pochodnej funkcji, a mianowicie monotoniczność funkcji oraz wklęsłość i wypukłość funkcji. Dodatkowo powiemy o asymptotach funkcji. MONOTONICZNOŚĆ FUNKCJI Twierdzenie 1. Jeżeli jest różniczkowalna w pewnym przedziale oraz dla każdego : a) to funkcja jest rosnąca w , b)  to funkcja jest malejąca w , c)  to funkcja jest stała w . Read more about Monotoniczność i asymptoty funkcji – teoria[…]

Pochodna funkcji – teoria

Data wpisu przez Joanna Piasecka

Niech będzie funkcją określoną na pewnym otoczeniu punktu . Symbolem oznaczamy przyrost zmiennej , który może być dodatni albo ujemny, lecz różny od zera i taki, że Iloraz  nazywamy ilorazem różnicowym funkcji w punkcie dla przyrostu zmiennej .   DEFINICJA Jeżeli iloraz różnicowy ma granicę właściwą, gdy dąży do zera, to granicę tę nazywamy pochodną Read more about Pochodna funkcji – teoria[…]

Granice funkcji – bez reguły de l’Hospitala -teoria

Data wpisu przez Joanna Piasecka

Niech i . Funkcję nazywamy funkcją rzeczywistą zmiennej rzeczywistej. Zbiór nazywamy dziedziną funkcji . Załóżmy, że funkcja jest określona jest określona na pewnym sąsiedztwie punktu , czyli zbiorze gdzie jest liczbą dodatnią. GRANICA FUNKCJI (HEINEGO) Liczbę nazywamy granicą funkcji w punkcie wtedy i tylko wtedy, gdy dla każdego ciągu o wyrazach  zbieżnego do , ciąg Read more about Granice funkcji – bez reguły de l’Hospitala -teoria[…]