Liczby zespolone, pierwiastkowanie, teoria

Niech $\dpi{120} n\in \mathbb{N}$ . Pierwiastkiem stopnia $\dpi{120} n$ -tego liczby zespolonej $\dpi{120} z$ nazywamy każdą liczbę zespoloną $\dpi{120} w$ o tej własności, że $\dpi{120} w^{n}=z.$ Na podstawie wzoru de Moivre’a mamy, że:

$\dpi{120} w^{n}=\left | w \right |^{n}\cdot \left ( \cos \left ( n\psi \right ) +i \sin \left ( n\psi \right )\right )=\left | z \right |\cdot \left ( \cos \varphi +i\sin \varphi \right ).$

Ostatnia równość zachodzi wtedy i tylko wtedy, gdy:

$\dpi{120} \left | w \right |^{n}=\left | z \right |\Rightarrow \left | w \right |=\sqrt[n]{\left | z \right |}$

oraz:

$\dpi{120} n\psi =\varphi +2k\pi \Rightarrow \psi =\frac{\varphi +2k\pi }{n},\; k\in \mathbb{Z}.$

Tak więc pierwiastki $\dpi{120} n$ -tego stopnia liczby zespolonej $\dpi{120} z$ mają postać:

$Pierwiastki liczby zespolonej$

Pamiętajmy, zawsze istnieje dokładnie $\dpi{120} n$ różnych pierwiastków stopnia $\dpi{120} n$ z liczby zespolonej $\dpi{120} z\neq 0.$

Nie zawsze daje się w sposób dokładny (bez przybliżeń) obliczyć pierwiastki z powyższego wzoru. Dlatego też w zadaniach podamy też inny sposób ich obliczania. Stosuje się go do pierwiastków przede wszystkim stopnia drugiego, ewentualnie trzeciego. Przy wyższych stopniach pierwiastków rachunki stają się zbyt uciążliwe.

Zapraszamy do zadań! tutaj