Liczby zespolone, pierwiastkowanie, wzory

Niech $\dpi{120} n\in \mathbb{N}$ . Pierwiastki $\dpi{120} n$ -tego stopnia liczby zespolonej $\dpi{120} z$ mają postać:

$pierwiastki liczby zespolonej$

gdzie:

$moduł liczby zespolonej$ – moduł liczby zespolonej,

$\dpi{120} \varphi$ – kąt, tzw. argument główny liczby zespolonej, obliczamy z zależności:

$\dpi{120} \sin \varphi =\frac{b}{\sqrt{a^{2}+b^{2}}}$

$\dpi{120} \cos \varphi =\frac{a}{\sqrt{a^{2}+b^{2}}}$

Potrzebne wszystkie fakty z wcześniejszych zakładek Wzory tutaj z działu Liczby zespolone.

Algorytm liczenia pierwiastka stopnia $\dpi{120} n\in \mathbb{N}$ liczby zespolonej $\dpi{120} z=a+bi$

1. Sprowadzamy liczbę do postaci trygonometrycznej (patrz algorytm sprowadzania liczby zespolonej do postaci trygonometrycznej w zakładce wzory w temacie Postać trygonometryczna tutaj).

2. Wykorzystujemy wzór:

$\dpi{120} \sqrt[n]{z}=w_{k}=\sqrt[n]{\left | z \right |}\cdot \left ( \cos \frac{\varphi +2k\pi }{n}+i\sin \frac{\varphi +2k\pi }{n} \right ),\; k=0,1...,n-1,$

wstawiając za $\dpi{120} \varphi ,\left | z \right |,n$ odpowiednie wartości z punktu 1., $\dpi{120} k$ musi pozostać w zapisie.

3. Wstawiamy kolejno wartości $\dpi{120} k=0,1,...,n-1$ , skąd otrzymujemy $\dpi{120} n$ różnych pierwiastków. Dla każdego $\dpi{120} k=0,1,...,n-1$ kolejność wykonywania czynności jest taka sama (kolejne kroki).

4. Dla konkretnego $\dpi{120} k$ dodajemy wartości $\dpi{120} \varphi +2k\pi$ , a następnie dzielimy przez $\dpi{120} n$ . Otrzymujemy ułamek, najpierw piętrowy (po dodawaniu), później go likwidujemy (dzielenie przez $\dpi{120} n$ ).

5. Jeżeli dostaliśmy liczbę mniejszą bądź równą $\dpi{120} \frac{\pi }{2}$ odczytujemy wartości sinusów i cosinusów z tabeli wartości trygonometrycznych (o ile to możliwe). Możemy bowiem otrzymać wartości kąta, których nie ma w podstawowej tabeli (będą w tablicach, ale nas to nie interesuje). Wówczas zostawiamy odpowiedź w postaci z sinusem i cosinusem. Koniec zadania.

6. Jeżeli dostaliśmy liczbę większą od $\dpi{120} \frac{\pi }{2}$ musimy zastosować wzory redukcyjne:

a) ustalamy ćwiartkę do której należy kąt

b) zapisujemy go tak, aby móc skorzystać ze wzorów redukcyjnych

c) stosujemy wzory redukcyjne

7. Odczytujemy wartości sinusów i cosinusów z tabeli wartości funkcji trygonometrycznych (o ile to możliwe). Koniec zadania.

Pokaż algorytm

Zwiń

Zapraszamy do zadań! tutaj