Kategoria: Teoria

Zmienne losowe ciągłe – teoria

Data wpisu przez Joanna Piasecka

Zmienną losową ciągłą nazywamy zmienną losową , dla której istnieje taka nieujemna funkcja , że dla każdego rzeczywistego zachodzi relacja Funkcję spełniającą powyższy warunek nazywamy gęstością prawdopodobieństwa lub gęstością zmiennej losowej ciągłej . Mówimy, że dany jest rozkład prawdopodobieństwa zmiennej losowej, jeśli znana jest dystrybuanta lub jej gęstość. Dla zmiennej losowej ciągłej zachodzi zależność: Każda Read more about Zmienne losowe ciągłe – teoria[…]

Zmienne losowe skokowe – teoria

Data wpisu przez Joanna Piasecka

Pojęcie zmiennej losowej jest jednym z podstawowych pojęć rachunku prawdopodobieństwa. Jeżeli każdemu zdarzeniu elementarnemu przyporządkowujemy liczbę rzeczywistą, to mówimy, że została określona zmienna losowa jednowymiarowa, albo w skrócie – zmienne losowa. Zmienna losowa jest więc funkcją, której dziedziną jest zbiór zdarzeń elementarnych , a wartościami są liczby rzeczywiste. Zmienne losowe oznaczamy wielkimi literami:. Prawdopodobieństwo przyjęcia Read more about Zmienne losowe skokowe – teoria[…]

Twierdzenie Kroneckera-Capellego – teoria

Data wpisu przez Joanna Piasecka

Niech będzie dany układ równań Macierzą rozszerzoną tego układu równań nazywamy macierz: Przypomnijmy,macierz współczynników oznaczyliśmy jako: Podstawowym kryterium istnienia rozwiązania takiego układu równań jest TWIERDZENIE KRONECKERA – CAPELLEGO Układ równań liniowych ma rozwiązanie wtedy i tylko wtedy, gdy przy czym jeżeli:   to układ jest oznaczony (ma jedno rozwiązanie),   to układ jest nieoznaczony (ma Read more about Twierdzenie Kroneckera-Capellego – teoria[…]

Prawdopodobieństwo całkowite, wzór Bayesa – teoria

Data wpisu przez Joanna Piasecka

Prawdopodobieństwem warunkowym zdarzenia przy założeniu, że zaszło zdarzenie nazywamy iloraz prawdopodobieństwa łącznego zajścia zdarzeń i i prawdopodobieństwa zdarzenia ,      gdzie    . Układem zupełnym zdarzeń losowych nazywamy ciąg  taki, że  oraz . Wzór na prawdopodobieństwo całkowite Jeśli jest układem zupełnym zdarzeń, to dla dowolnego zdarzenia zachodzi wzór: Zagadnienie Bayesa Wiemy, że zaszło zdarzenie . Interesuje nas Read more about Prawdopodobieństwo całkowite, wzór Bayesa – teoria[…]

Równania rzędu drugiego o stałych współczynnikach- teoria

Data wpisu przez Joanna Piasecka

Równanie liniowe rzędu drugiego o stałych współczynnikach to równanie postaci: I krok Aby rozwiązać powyższe równanie w pierwszym kroku należy rozwiązać równanie jednorodne, czyli takie, którego prawa strona jest równa zero: Schemat w dalszej części. Otrzymujemy rozwiązanie . II krok Następnie znajdujemy rozwiązanie szczególne metodą przewidywań. III krok Rozwiązanie końcowe równania ma postać: Schemat rozwiązania Read more about Równania rzędu drugiego o stałych współczynnikach- teoria[…]

Równania liniowe – teoria

Data wpisu przez Joanna Piasecka

Równanie różniczkowe liniowe rzędu I jest to równanie postaci: Poznamy trzy metody rozwiązywania tego typu równań: 1) metoda przewidywań, 2) metoda uzmiennienia stałej, 3) metoda czynnika całkującego. Metoda przewidywań nie jest metodą ogólną. Rozwiązuje tylko pewne równania liniowe. Są one postaci: gdzie jest pewną stałą (nie funkcją) rzeczywistą, a funkcja ma jedną z postaci: a) Read more about Równania liniowe – teoria[…]

Równania o rozdzielonych zmiennych – teoria

Data wpisu przez Joanna Piasecka

Jest to podstawowe równanie różniczkowe, które pojawia się później w innych typach równań. Jak sama nazwa wskazuje, w równaniu tym daje się rozdzielić zmienne i . Staramy się, aby po lewej stronie znalazła się zmienna , zaś po prawej zmienna . Równanie różniczkowe o rozdzielonych zmiennych ma postać: Uwzględniając, że mamy: Rozdzielamy zmienne: Całkujemy obustronnie: Read more about Równania o rozdzielonych zmiennych – teoria[…]

Ekstrema lokalne funkcji dwóch zmiennych – teoria

Data wpisu przez Joanna Piasecka

Dana jest funkcja określona na zbiorze . Funkcja ma w punkcie maksimum lokalne (minimum lokalne), gdy istnieje taki promień , że dla każdego wartości funkcji spełniają warunek: Twierdzenie 1. Warunek konieczny istnienia ekstremum Jeżeli funkcja jest różniczkowalna w punkcie i ma  w nim ekstremum lokalne, to Punkt , w którym spełniony jest warunek konieczny istnienia Read more about Ekstrema lokalne funkcji dwóch zmiennych – teoria[…]

Pochodne cząstkowe – teoria

Data wpisu przez Joanna Piasecka

Dany jest zbiór , gdzie oraz zbiór liczbowy . Jeśli każdemu elementowi jest przyporządkowana dokładnie jedna liczba , to mówimy, że została określona funkcja rzeczywista zmiennych, przekształcająca zbiór w zbiór . POCHODNE CZĄSTKOWE PIERWSZEGO RZĘDU Dla danej funkcji , pochodną cząstkową pierwszego rzędu funkcji w punkcie względem zmiennej nazywamy granicę (jeśli istnieje) ilorazu różnicowego: Dla Read more about Pochodne cząstkowe – teoria[…]

Wzajemne położenie prostej i płaszczyzny – teoria

Data wpisu przez Joanna Piasecka

Jeżeli prosta  jest dana w postaci krawędziowej zaś płaszczyzna  dana jest równaniem ogólnym to ich wzajemne położenie najszybciej jest zbadać rozwiązując układ równań: Jeżeli powyższy układ jest: oznaczony (ma jedno rozwiązanie), to prosta ma z płaszczyzną jeden punkt wspólny, czyli przecina płaszczyznę. nieoznaczony (ma nieskończenie wiele rozwiązań), to prosta ma z płaszczyzną nieskończenie wiele punktów Read more about Wzajemne położenie prostej i płaszczyzny – teoria[…]