Niech i . Funkcję nazywamy funkcją rzeczywistą zmiennej rzeczywistej. Zbiór nazywamy dziedziną funkcji . Załóżmy, że funkcja jest określona jest określona na pewnym sąsiedztwie punktu , czyli zbiorze gdzie jest liczbą dodatnią. GRANICA FUNKCJI (HEINEGO) Liczbę nazywamy granicą funkcji w punkcie wtedy i tylko wtedy, gdy dla każdego ciągu o wyrazach zbieżnego do , ciąg Read more about Granice funkcji – bez reguły de l’Hospitala -teoria[…]
Mamy 6 zadań. Zostały one podzielone zgodnie z wprowadzonymi grupami w zakładce Wzory tutaj. Ostatnie zadanie jest „mieszanką” wszystkich typów szeregów. Najpierw należy je sklasyfikować, a następnie wybrać odpowiedni schemat. Dlatego zaleca się rozwiązywanie zadań (i podpunktów w zadaniach) w kolejności podanej na stronce. Zadanie 1 jest ambitniejsze i badamy w nim zbieżność szeregów z Read more about Szeregi liczbowe – zadania[…]
SZEREGI O WYRAZACH NIEUJEMNYCH Aby łatwiej było badać zbieżności szeregów, podzielimy je na cztery podstawowe grupy. GRUPA I (kryterium d’Alemberta) Zaliczymy tu szeregi o wyrazie ogólnym, w którym występuje tzw. silnia, np. GRUPA II (kryterium Cauchy’ego) Zaliczamy szeregi o wyrazie ogólnym, w którym występują potęgi o wykładniku n (również bardziej rozbudowane), ale nie Read more about Szeregi liczbowe – wzory[…]
Niech będzie dowolnym ciągiem liczb rzeczywistych. Szeregiem o wyrazach rozumiemy wyrażenie które zapisujemy również jako . Ciągiem sum częściowych szeregu nazywamy ciąg , którego n-ty wyraz określony jest wzorem Liczba nazywa się również n-tą sumą częściową szeregu . W przypadku, gdy ciąg sum częściowych szeregu ma granicę (skończoną lub nie), to granicę tę nazywamy sumą Read more about Szeregi liczbowe – teoria[…]
Wszystkich zadań jest 8. Zadania 1 i 2 są dla bardziej wymagających wykładowców, ale warto do nich zajrzeć. Nigdy nic nie wiadomo:). Kolejne zadania są standardowe. Zadania 3, 4,5 i 6 odpowiadają kolejnym grupom wprowadzonym w zakładce Wzory. Dlatego koniecznie należy się z nią zapoznać. tutaj W zadaniu 7 umieszczono ciągi, które można robić dwoma sposobami. Read more about Ciągi liczbowe – zadania[…]
Najważniejsze algorytmy potrzebne w praktyce do liczenia granic ciągów. Podzielimy liczenie granic ciągów na cztery podstawowe grupy, do których podamy schematy rozwiązań. I grupa (podstawowe granice ciągów) Ciągi o wyrazie ogólnym postaci: , gdzie oznacza wielomian stopnia . Algorytm: na przykładzie Do tej grupy warto zapamiętać, że jeżeli: a) stopień wielomianu w liczniku jest taki Read more about Ciągi liczbowe – wzory[…]
Odwzorowanie zbioru liczb naturalnych w zbiór liczb rzeczywistych nazywamy ciągiem nieskończonym o wyrazach rzeczywistych. Argument tego odwzorowania nazywamy wskaźnikiem, a wartość odwzorowania odpowiadającą wskaźnikowi nazywamy – tym wyrazem ciągu i oznaczamy zwykle symbolem , ciąg zaś oznaczamy lub . Dla określenia ciągu wystarczy podać wzór na – ty wyraz. Przykłady ciągów 1. ciąg odwrotności liczb Read more about Ciągi liczbowe – teoria[…]
transponowanie macierzy Transponowanie macierzy polega na zamianie wierszy z kolumnami w danej macierzy, np. Dodawanie i odejmowanie macierzy Dodawać i odejmować możemy macierze tych samych wymiarów. Dodajemy (odejmujemy) wyrazy stojące na tych samych pozycjach, np. Mnożenie macierzy przez liczbę rzeczywistą Przez liczbę mnożymy każdy wyraz w macierzy np. Mnożenie macierzy Iloczynem macierzy i Read more about Podstawowe działania na macierzach – wzory[…]
Niech . Prostokątną tablicę utworzoną z liczb rzeczywistych (zespolonych) dla nazywamy rzeczywistą (zespoloną) macierzą prostokątną o wymiarze Elementy nazywamy wyrazami macierzy. Rzędy pionowe nazywamy kolumnami, zaś poziomie – wierszami tej macierzy. Symbol jest to element stojący na przecięciu -tego wiersza oraz -tej kolumny. Macierze oznaczamy wielkimi literami alfabetu: . Zbiór wszystkich macierzy rzeczywistych (zespolonych) (-wierszy, -kolumn) będziemy Read more about Podstawowe działania na macierzach – teoria[…]
Przed przystąpieniem do zadań warto zapoznać się z zakładkami Teoria tutaj i Wzory tutaj. Zadanie 1. Wykonać działania: a) dla b) dla c) dla , d) , dla , , e) oraz dla ,, f) dla , , Read more about Podstawowe działania na macierzach-zadania[…]