Granice ciągów (zadania) - WYZNACZNIK

Wszystkich zadań jest 8. Zadania 1 i 2 są dla bardziej wymagających wykładowców, ale warto do nich zajrzeć. Nigdy nic nie wiadomo:). Kolejne zadania są standardowe. Zadania 3, 4,5 i 6 odpowiadają kolejnym grupom wprowadzonym w zakładce Wzory. Dlatego koniecznie należy się z nią zapoznać. tutaj W zadaniu 7 umieszczono ciągi, które można robić dwoma sposobami. Zwróćmy na nie uwagę. Ostatnie zadanie 8 jest „mieszanką” wszystkich grup. Warto próbować je robić samodzielnie i sprawdzać rozwiązanie.

Zadanie 1. Sprawdzić monotoniczność ciągu o wyrazie ogólnym:

1) $\dpi{120} a_{n}=\frac{2}{n+3},$

Rozwiązanie

Sprawdzamy znak różnicy $\dpi{120} a_{n+1}-a_{n}.$ Jeśli jest większa od zera to ciąg jest rosnący, jeśli zaś mniejsza od zera to ciąg jest malejący. Wyraz $\dpi{120} a_{n}=\frac{2}{n+3},$ zaś $\dpi{120} a_{n+1}=\frac{2}{\left ( n+1 \right )+3}=\frac{2}{n+4}$ (w miejsce $\dpi{120} n$ wstawiamy $\dpi{120} n+1$ ). Zatem:

$\dpi{120} a_{n+1}-a_{n}=\frac{2}{n+4}-\frac{2}{n+3}=$

(sprowadzamy do wspólnego mianownika)

$\dpi{120} =\frac{2\left ( n+3 \right )-2\left ( n+4 \right )}{\left ( n+4 \right )\left ( n+3 \right )}=\frac{2n+6-2n-8}{\left ( n+4 \right )\left ( n+3 \right )}=\frac{-2}{\left ( n+4 \right )\left ( n+3 \right )}<0$

gdyż $\dpi{120} n\in \mathbb{N}$ , więc mianownik jest dodatni, a licznik ujemny.

Otrzymaliśmy więc, że ciąg o wyrazie ogólnym $\dpi{120} a_{n}=\frac{2}{n+3},$ jest malejący.

Pokaż rozwiązanie

Zwiń

2) $\dpi{120} a_{n}=\frac{n+1}{n+2},$

Rozwiązanie

Sprawdzamy znak różnicy $\dpi{120} a_{n+1}-a_{n}.$ Jeśli jest większa od zera to ciąg jest rosnący, jeśli zaś mniejsza od zera to ciąg jest malejący. Wyraz $\dpi{120} a_{n}=\frac{n+1}{n+2},$ zaś $\dpi{120} a_{n+1}=\frac{\left ( n+1 \right )+1}{\left ( n+2 \right )+2}=\frac{n+2}{n+3}$ (w miejsce $\dpi{120} n$ wstawiamy $\dpi{120} n+1$ ). Zatem:

$\dpi{120} a_{n+1}-a_{n}=\frac{n+2}{n+3}-\frac{n+1}{n+2}=$

(sprowadzamy do wspólnego mianownika)

$\dpi{120} =\frac{\left ( n+2 \right )^{2}-\left ( n+1 \right )\left ( n+3 \right )}{\left ( n+3 \right )\left ( n+2 \right )}=\frac{n^{2}+4n+4-n^{2}-3n-n-3}{\left ( n+3 \right )\left ( n+2 \right )}=$

$\dpi{120} =\frac{1}{\left ( n+3 \right )\left ( n+2 \right )}>0$

gdyż $\dpi{120} n\in \mathbb{N}$ , więc mianownik jest dodatni i licznik również.

Otrzymaliśmy więc, że ciąg o wyrazie ogólnym $\dpi{120} a_{n}=\frac{n+1}{n+2},$ jest rosnący.

Pokaż rozwiązanie

Zwiń

3) $\dpi{120} a_{n}=n-n^{2},$

Rozwiązanie

Sprawdzamy znak różnicy $\dpi{120} a_{n+1}-a_{n}.$ Jeśli jest większa od zera to ciąg jest rosnący, jeśli zaś mniejsza od zera to ciąg jest malejący. Wyraz $\dpi{120} a_{n}=n-n^{2},$ zaś

$\dpi{120} a_{n+1}=\left ( n+1 \right )-\left ( n+1 \right )^{2}=n+1-n^{2}-2n-1=-n^{2}-n$ (w miejsce $\dpi{120} n$ wstawiamy $\dpi{120} n+1$ ).

Zatem:

$\dpi{120} a_{n+1}-a_{n}=-n^{2}-n-\left ( n-n^{2} \right )=-n^{2}-n-n+n^{2}=-2n<0$

gdyż $\dpi{120} n\in \mathbb{N}.$ Otrzymaliśmy, że ciąg o wyrazie ogólnym $\dpi{120} a_{n}=n-n^{2}$ jest malejący.

Pokaż rozwiązanie

Zwiń

4) $\dpi{120} a_{n}=\frac{n^{2}}{n^{2}+1}.$

Rozwiązanie

$\dpi{120} a_{n+1}=\frac{\left ( n+1 \right )^{2}}{\left ( n+1 \right )^{2}+1}=\frac{n^{2}+2n+1}{n^{2}+2n+1+1}=\frac{n^{2}+2n+1}{n^{2}+2n+2}$ (w miejsce $\dpi{120} n$ wstawiamy $\dpi{120} n+1$ ).

Zatem:

$\dpi{120} a_{n+1}-a_{n}=\frac{n^{2}+2n+1}{n^{2}+2n+2}-\frac{n^{2}}{n^{2}+1}=$

(sprowadzamy do wspólnego mianownika)

$\dpi{120} =\frac{\left ( n^{2}+2n+1 \right )\left ( n^{2}+1 \right )-\left ( n^{2}+2n+2 \right )n^{2}}{\left ( n^{2}+2n+2\right )\left ( n^{2}+1 \right )}=$

$\dpi{120} =\frac{n^{4}+n^{2}+2n^{3}+2n+n^{2}+1-n^{4}-2n^{3}-2n^{2}}{\left ( n^{2}+2n+2 \right )\left ( n^{2}+1 \right )}=$

$\dpi{120} =\frac{2n+1}{\left ( n^{2}+2n+2 \right )\left ( n^{2}+1 \right )}>0$

gdyż $\dpi{120} n\in \mathbb{N}$ , więc mianownik jest dodatni i licznik również.

Otrzymaliśmy więc, że ciąg o wyrazie ogólnym $\dpi{120} a_{n}=\frac{n^{2}}{n^{2}+1}$ jest rosnący.

Pokaż rozwiązanie

Zwiń

Zadanie 2. Na podstawie definicji granicy ciągu wykazać, że:

1) $\dpi{120} \lim_{n \to \infty }\frac{5n-1}{n+2}=5,$

Rozwiązanie

Mamy, że $\dpi{120} \lim_{n \to \infty }\frac{5n-1}{n+2}=5.$ Niech $\dpi{120} \varepsilon$ będzie dowolną liczbą dodatnią. Z definicji granicy ciągu oznacza to, że $\dpi{120} \left | \frac{5n-1}{n+2}-5 \right |<\varepsilon .$ Z zależności tej należy wyliczyć $\dpi{120} n$ w zależności od $\dpi{120} \varepsilon$ . Zatem:

$\dpi{120} \left | \frac{5n-1}{n+2}-5 \right |<\varepsilon$ (sprowadzamy do wspólnego mianownika)

$\dpi{120} \left | \frac{5n-1-5\left ( n+2 \right )}{n+2} \right |<\varepsilon$

$\dpi{120} \left | \frac{5n-1-5n-10}{n+2} \right |<\varepsilon$

$\dpi{120} \left | \frac{-11}{n+2} \right |<\varepsilon$ (pamiętamy, że $\dpi{100} n\in N$ i $\dpi{100} \left | -11 \right |=11$ )

$\dpi{120} \frac{11}{n+2}<\varepsilon/\cdot \left ( n+2 \right )$ (możemy pomnożyć nierówność przez $\dpi{100} n+2$ , gdyż $\dpi{100} n+2>0$ dla $\dpi{100} n\in \mathbb{N}$ )

$\dpi{120} 11<\varepsilon \left ( n+2 \right )$

$\dpi{120} 11<\varepsilon n+2\varepsilon$

$\dpi{120} \varepsilon n>11-2\varepsilon /:\varepsilon$ przy założeniu, że $\dpi{100} \varepsilon >0$

$\dpi{120} n>\frac{11-2\varepsilon }{\varepsilon }$

Zatem dla $\dpi{120} n>\frac{11-2\varepsilon }{\varepsilon }$ przy każdym $\dpi{120} \varepsilon >0$ warunek definicji jest spełniony.

Pokaż rozwiązanie

Zwiń

2) $\dpi{120} \lim_{n \to \infty }\frac{3n^{2}-2}{2n^{2}+1}=\frac{3}{2},$

Rozwiązanie

Mamy, że $\dpi{120} \lim_{n \to \infty }\frac{3n^{2}-2}{2n^{2}+1}=\frac{3}{2}.$ Niech $\dpi{120} \varepsilon$ będzie dowolną liczbą dodatnią. Z definicji granicy ciągu oznacza to, że $\dpi{120} \left | \frac{3n^{2}-2}{2n^{2}+1} -\frac{3}{2}\right |<\varepsilon .$ Z zależności tej należy wyliczyć $\dpi{120} n$ w zależności od $\dpi{120} \varepsilon$ . Zatem:

$\dpi{120} \left | \frac{3n^{2}-2}{2n^{2}+1} -\frac{3}{2}\right |<\varepsilon$ (sprowadzamy do wspólnego mianownika)

$\dpi{120} \left | \frac{3n^{2}-2-\frac{3}{2}\left ( 2n^{2}+1 \right )}{2n^{2}+1} \right |<\varepsilon$

$\dpi{120} \left | \frac{3n^{2}-2-3n^{2}-\frac{3}{2} }{2n^{2}+1} \right |<\varepsilon$

$\dpi{120} \left | \frac{-\frac{7}{2}}{2n^{2}+1} \right |<\varepsilon$ (pamiętamy, że $\dpi{100} n\in \mathbb{N}$ i $\dpi{100} \left | -\frac{7}{2} \right |=\frac{7}{2}$ )

$\dpi{120} \frac{-\frac{7}{2}}{2n^{2}+1} <\varepsilon/\cdot \left ( 2n^{2}+1 \right )$ (możemy pomnożyć nierówność przez $\dpi{100} 2n^{2}+1$ , gdyż $\dpi{100} 2n^{2}+1>0$ dla $\dpi{100} n\in \mathbb{N}$ )

$\dpi{120} \frac{7}{2}<\varepsilon \left ( 2n^{2}+1 \right )$

$\dpi{120} \frac{7}{2}<2\varepsilon n^{2}+\varepsilon$

$\dpi{120} 2\varepsilon n^{2}>\frac{7}{2}-\varepsilon /:2\varepsilon$ przy założeniu, że $\dpi{120} \varepsilon >0$

$\dpi{120} n^{2}>\frac{\frac{7}{2}-\varepsilon }{2\varepsilon }$

Zatem dla $\dpi{120} n^{2}>\frac{\frac{7}{2}-\varepsilon }{2\varepsilon }$ przy każdym $\dpi{120} \varepsilon >0$ warunek definicji jest spełniony.

Pokaż rozwiązanie

Zwiń

3) $\dpi{120} \lim_{n \to \infty }\frac{2n-1}{n+3}\neq 3,$

Rozwiązanie

Przypuśćmy, że $\dpi{120} \lim_{n \to \infty }\frac{2n-1}{n+3}= 3.$ Niech $\dpi{120} \varepsilon >0$ będzie dowolną liczbą dodatnią. Warunek z definicji granicy ciągu jest tutaj równoważny nierówności:

$\dpi{120} \left | \frac{2n-1}{n+3}-3 \right |<\varepsilon$ (sprowadzamy do wspólnego mianownika)

$\dpi{120} \left | \frac{2n-1-3\left ( n+3 \right )}{n+3} \right |<\varepsilon$

$\dpi{120} \left | \frac{2n-1-3 n-9 }{n+3} \right |<\varepsilon$

$\dpi{120} \left | \frac{-n-10 }{n+3} \right |<\varepsilon$ (pamiętamy, że $\dpi{100} n\in \mathbb{N}$ i $\dpi{100} \left | -\left ( n+10 \right ) \right |=n+10$ )

$\dpi{120} \frac{n+10 }{n+3} <\varepsilon/\cdot \left ( n+3 \right )$ (możemy pomnożyć nierówność przez $\dpi{100} n+3$ , gdyż $\dpi{100} n+3>0$ dla $\dpi{100} n\in \mathbb{N}$ )

$\dpi{120} n+10<\varepsilon \left ( n+3 \right )$

$\dpi{120} n+10<\varepsilon n+3\varepsilon$

$\dpi{120} \varepsilon n-n>10-3\varepsilon$

$\dpi{120} n\left (\varepsilon-1 \right )>10-3\varepsilon/:\left ( \varepsilon -1 \right )$ przy założeniu, że $\dpi{120} \varepsilon >1$

$\dpi{120} n>\frac{10-3\varepsilon }{\varepsilon -1}$

Zatem warunek z definicji jest tutaj spełniony nie dla wszystkich $\dpi{120} \varepsilon$ dodatnich, mamy ograniczenie $\dpi{120} \varepsilon >1$ . Wobec te

go $\dpi{120} \lim_{n \to \infty }\frac{2n-1}{n+3}\neq 3.$

Pokaż rozwiązanie

Zwiń

4) $\dpi{120} \lim_{n \to \infty }\frac{3n+1}{n+3}\neq 5.$

Rozwiązanie

Przypuśćmy, że $\dpi{120} \lim_{n \to \infty }\frac{3n+1}{n+3}= 5.$ Niech $\dpi{120} \varepsilon$ będzie dowolną liczbą dodatnią. Warunek z definicji granicy ciągu jest tutaj równoważny nierówności:

$\dpi{120} \left | \frac{3n+1}{n+3}-5 \right |<\varepsilon$ (sprowadzamy do wspólnego mianownika)

$\dpi{120} \left | \frac{3n+1-5\left ( n+3 \right )}{n+3} \right |<\varepsilon$

$\dpi{120} \left | \frac{3n+1-5n-15 }{n+3} \right |<\varepsilon$

$\dpi{120} \left | \frac{-2n-14 }{n+3} \right |<\varepsilon$ (pamiętamy, że $\dpi{120} n\in \mathbb{N}$ i $\dpi{120} \left | -\left ( 2n+14 \right ) \right |=2n+14$ )

$\dpi{120} \frac{2n+14 }{n+3} <\varepsilon/\cdot \left ( n+3 \right )$ (możemy pomnożyć nierówność przez $\dpi{120} n+3$ , gdyż $\dpi{120} n+3>0$ dla $\dpi{120} n\in \mathbb{N}$ )

$\dpi{120} 2n+14<\varepsilon \left ( n+3 \right )$

$\dpi{120} 2n+14<\varepsilon n+3\varepsilon$

$\dpi{120} \varepsilon n-2n>14-3\varepsilon$

$\dpi{120} n\left (\varepsilon-2 \right )>14-3\varepsilon/:\left ( \varepsilon -2 \right )$ przy założeniu, że $\dpi{120} \varepsilon >2$

$\dpi{120} n>\frac{14-3\varepsilon }{\varepsilon -2}$

Zatem warunek z definicji jest tutaj spełniony nie dla wszystkich $\dpi{120} \varepsilon$ dodatnich, mamy ograniczenie $\dpi{120} \varepsilon >2.$ Wobec tego $\dpi{120} \lim_{n \to \infty }\frac{3n+1}{n+3}\neq 5.$

Pokaż rozwiązanie

Zwiń

Zadanie 3. Obliczyć granice ciągów o wyrazie ogólnym (grupa I z zakładki Wzory).

Uwaga! Wyniki w tym zadaniu można podawać bez liczenia.

1) $\dpi{120} a_{n}=\frac{3n^{3}+7n-2}{12n^{3}-4n^{2}+2n},$

Rozwiązanie

Wykonujemy wszystkie czynności według algorytmu dla grupy I podanego w zakładce Wzory. Pamiętajmy jednak, że tego typu granice możemy, a nawet powinniśmy liczyć w pamięci.

I sposób (w pamięci)

Ponieważ najwyższy stopień w liczniku (trzy) jest taki sam jak w mianowniku, więc granica tego ciągu będzie równa ilorazowi współczynników przy najwyższych potęgach licznika i mianownika, czyli:

$\dpi{120} \lim_{n \to \infty }\frac{{\color{Red} 3}n^{3}+7n-2}{{\color{Red} 12}n^{3}-4n^{2}+2n}=\frac{{\color{Red} 3}}{{\color{Red} 12}}=\frac{1}{4}.$

II sposób (liczymy) – niektórzy wykładowcy sobie życzą, ale niewielu.

Proszę, zapoznać się z algorytmem, gdyż nie będziemy opisywać tutaj każdego kroku.

Stosujemy zasadę wyłączania z licznika i mianownika najwyższej potęgi mianownika.

$\dpi{120} \lim_{n \to \infty }\frac{3n^{3}+7n-2}{12n^{3}-4n^{2}+2n}=\lim_{n \to \infty }\frac{n^{3}\left ( \frac{3n^{3}}{n^{3}}+\frac{7n}{n^{3}}-\frac{2}{n^{3}} \right )}{n^{3}\left ( \frac{12n^{3}}{n^{3}}-\frac{4n^{2}}{n^{3}}+\frac{2n}{n^{3}} \right )}=$

$\dpi{120} =\lim_{n \to \infty }\frac{3+\overset{\rightarrow 0}{\overbrace{\frac{7}{n^{2}}}}-\overset{\rightarrow 0}{\overbrace{\frac{2}{n^{3}}}}}{12-\underset{\rightarrow 0}{\underbrace{\frac{4}{n}}}+\underset{\rightarrow 0}{\underbrace{\frac{2}{n^{2}}}}}=\frac{3}{12}=\frac{1}{4}.$

Pokaż rozwiązanie

Zwiń

2) $\dpi{120} a_{n}=\frac{16n^{4}-5n^{2}-2n}{5n^{3}-7n+2},$

Rozwiązanie

Wykonujemy wszystkie czynności według algorytmu dla grupy I podanego w zakładce Wzory. Pamiętajmy jednak, że tego typu granice możemy, a nawet powinniśmy liczyć w pamięci.

I sposób (w pamięci)

Ponieważ najwyższy stopień w liczniku (cztery) jest większy niż najwyższy stopień w mianowniku (trzy), więc granica tego ciągu równa jest $\dpi{120} +\infty$ , czyli:

$\dpi{120} \lim_{n \to \infty }\frac{16{\color{Red} n^{4}}-5n^{2}-2n}{5{\color{Red} n^{3}}-7n+2}=+\infty.$

II sposób (liczymy)
Proszę, zapoznać się z algorytmem, gdyż nie będziemy opisywać tutaj każdego kroku.

Stosujemy zasadę wyłączania z licznika i mianownika najwyższej potęgi mianownika.

$\dpi{120} \lim_{n \to \infty }\frac{16n^{4}-5n^{2}-2n}{5n^{3}-7n+2}=\lim_{n \to \infty }\frac{n^{3}\left ( \frac{16n^{4}}{n^{3}}+\frac{5n^{2}}{n^{3}}-\frac{2n}{n^{3}} \right )}{n^{3}\left ( \frac{5n^{3}}{n^{3}}-\frac{7n}{n^{3}}+\frac{2}{n^{3}} \right )}=$

$\dpi{120} =\lim_{n \to \infty }\frac{\overset{\rightarrow +\infty }{\overbrace{16n}}-\overset{\rightarrow 0}{\overbrace{\frac{5}{n}}}-\overset{\rightarrow 0}{\overbrace{\frac{2}{n^{2}}}}}{5-\underset{\rightarrow 0}{\underbrace{\frac{7}{n^{2}}}}+\underset{\rightarrow 0}{\underbrace{\frac{2}{n}}}}=\frac{+\infty }{5}=+\infty .$

Pokaż rozwiązanie

Zwiń

3) $\dpi{120} a_{n}=\frac{54n^{5}-21n^{3}+6}{77n^{7}-22n^{3}+43n},$

Rozwiązanie

Wykonujemy wszystkie czynności według algorytmu dla grupy I podanego w zakładce Wzory. Pamiętajmy jednak, że tego typu granice możemy, a nawet powinniśmy liczyć w pamięci.

I sposób (w pamięci)

Ponieważ najwyższy stopień w liczniku (pięć) jest mniejszy niż najwyższy stopień w mianowniku (siedem), więc granica tego ciągu równa jest $\dpi{120} 0$ , czyli:

$\dpi{120} \lim_{n \to \infty }\frac{54{\color{Red} n^{5}}-21n^{3}+6}{77{\color{Red} n^{7}}-22n^{5}+43n}=0.$

II sposób (liczymy)
Proszę, zapoznać się z algorytmem, gdyż nie będziemy opisywać tutaj każdego kroku.

Stosujemy zasadę wyłączania z licznika i mianownika najwyższej potęgi mianownika.

$\dpi{120} \lim_{n \to \infty }\frac{54n^{5}-21n^{3}+6}{77n^{7}-22n^{5}+43n}=\lim_{n \to \infty }\frac{n^{7}\left ( \frac{54n^{5}}{n^{7}}-\frac{21n^{3}}{n^{7}}-\frac{6}{n^{7}} \right )}{n^{7}\left ( \frac{77n^{7}}{n^{7}}-\frac{22n^{5}}{n^{7}}+\frac{43n}{n^{7}} \right )}=$

$\dpi{120} =\lim_{n \to \infty }\frac{\overset{\rightarrow 0 }{\overbrace{\frac{54}{n^{2}}}}-\overset{\rightarrow 0}{\overbrace{\frac{21}{n^{4}}}}-\overset{\rightarrow 0}{\overbrace{\frac{6}{n^{7}}}}}{77-\underset{\rightarrow 0}{\underbrace{\frac{22}{n^{2}}}}+\underset{\rightarrow 0}{\underbrace{\frac{43}{n^{6}}}}}=\frac{0 }{77}=0 .$

Pokaż rozwiązanie

Zwiń

4) $\dpi{120} a_{n}=\frac{\left ( 2n-1 \right )^{3}}{\left ( 4n-1 \right )^{2}\left ( 1-5n \right )},$

Rozwiązanie

I sposób (w pamięci)

Szukamy najwyższych potęg w liczniku i mianowniku. Nie stosujemy wzorów. W liczniku najwyższą potęgą jest $\dpi{120} \left ( 2n \right )^{3}=8n^{3},$ zaś w mianowniku najwyższa potęga powstanie z mnożenia $\dpi{120} \left ( 4n \right )^{2}\cdot \left ( -5n \right )=-80n^{3}.$ Zatem najwyższy stopień w liczniku jest równy najwyższemu stopniowi w mianowniku. Stąd granica tego ciągu jest równa:

$\dpi{120} \lim_{n \to \infty }\frac{\left ( {\color{Red} 2n}-1 \right )^{{\color{Red} 3}}}{\left ( {\color{Red} 4n}-1 \right )^{{\color{Red} 2}}\left ( 1{\color{Red} -5n} \right )}=\frac{8}{-80}=-\frac{1}{10}.$

II sposób (liczymy)

Potrzebne będą nam wzory skróconego mnożenia $\dpi{120} \left ( x-y \right )^{3}=x^{3}-3x^{2}y+3xy^{2}-y^{3}$ oraz $\dpi{120} \left ( x-y \right )^{2}=x^{2}-2xy+y^{2}.$ Stosujemy również zasadę wyłączania w liczniku i mianowniku najwyższej potęgi mianownika.

$\dpi{120} \lim_{n \to \infty }\frac{\left ( 2n-1 \right )^{3}}{\left ( 4n-1 \right )^{2}\left ( 1-5n \right )}=\lim_{n \to \infty }\frac{8n^{3}-3\cdot 4n^{2}\cdot 1+3\cdot 2n\cdot 1-1}{\left ( 16n^{2}-8n+1 \right )\left ( 1-5n \right )}=$

$\dpi{120} =\lim_{n \to \infty }\frac{8n^{3}-12n^{2}+6n-1}{-80n^{3}-8n+40n^{2}+1-5n}=\lim_{n \to \infty }\frac{8n^{3}-12n^{2}+6n-1}{-80n^{3}+56n^{2}-13n+1}=$

$\dpi{120} =\lim_{n \to \infty }\frac{n^{3}\left ( \frac{8n^{3}}{n^{3}}-\frac{12n^{2}}{n^{3}}+\frac{6n}{n^{3}}-\frac{1}{n^{3}} \right )}{n^{3}\left (- \frac{80n^{3}}{n^{3}}+\frac{56n^{2}}{n^{3}}-\frac{13n}{n^{3}}+\frac{1}{n^{3}} \right )}=\lim_{n \to \infty }\frac{8-\overset{\rightarrow 0}{\overbrace{\frac{12}{n}}}+\overset{\rightarrow 0}{\overbrace{\frac{6}{n^{2}}}}-\overset{\rightarrow 0}{\overbrace{\frac{1}{n^{3}}}}}{-80+\underset{\rightarrow 0}{\underbrace{\frac{56}{n}}}-\underset{\rightarrow 0}{\underbrace{\frac{13}{n^{2}}}}+\underset{\rightarrow 0}{\underbrace{\frac{1}{n^{3}}}}}=$

$\dpi{120} =\frac{8}{-80}=-\frac{1}{10}.$

Widzimy na tym przykładzie jak dużo czasu zaoszczędzamy na liczeniu w pamięci. Takie granice najczęściej występują jako końcówka bardziej złożonej granicy.

Pokaż rozwiązanie

Zwiń

5) $\dpi{120} a_{n}=\left ( \frac{5n-2}{3n-1} \right )^{3},$

Rozwiązanie

I sposób (w pamięci)

Szukamy najwyższych potęg w liczniku i mianowniku. Nie stosujemy wzorów. W liczniku najwyższą potęgą jest $\dpi{120} \left ( 5n \right )^{3}=125n^{3},$ zaś w mianowniku najwyższą potęgą jest $\dpi{120} \left ( 3n \right )^{3}=27n^{3}.$ Zatem najwyższy stopień w liczniku jest równy najwyższemu stopniowi w mianowniku. Stąd granica tego ciągu jest równa:

$\dpi{120} \lim_{n \to \infty }\left ( \frac{{\color{Red} 5n}-2}{{\color{Red} 3n}-1} \right )^{{\color{Red} 3}}=\frac{125}{27}.$

II sposób (liczymy)

Potrzebny jest wzór skróconego mnożenia $\dpi{120} \left ( x-y \right )^{3}=x^{3}-3x^{2}y+3xy^{2}-y^{3}$ .Stosujemy również zasadę wyłączania w liczniku i mianowniku najwyższej potęgi mianownika.

$\dpi{120} \lim_{n \to \infty }\left ( \frac{5n-2}{3n-1} \right )^{3}=\lim_{n \to \infty }\frac{125n^{3}-150n^{2}+60n-8}{27n^{3}-27n^{2}+9n-1}=$

$\dpi{120} =\lim_{n \to \infty }\frac{n^{3}\left ( \frac{125n^{3}}{n^{3}}-\frac{150n^{2}}{n^{3}}+\frac{60n}{n^{3}}-\frac{8}{n^{3}} \right )}{n^{3}\left (\frac{27n^{3}}{n^{3}}-\frac{27n^{2}}{n^{3}}+\frac{9n}{n^{3}}-\frac{1}{n^{3}} \right )}=\lim_{n \to \infty }\frac{125-\overset{\rightarrow 0}{\overbrace{\frac{150}{n}}}+\overset{\rightarrow 0}{\overbrace{\frac{60}{n^{2}}}}-\overset{\rightarrow 0}{\overbrace{\frac{8}{n^{3}}}}}{27-\underset{\rightarrow 0}{\underbrace{\frac{27}{n}}}+\underset{\rightarrow 0}{\underbrace{\frac{9}{n^{2}}}}-\underset{\rightarrow 0}{\underbrace{\frac{1}{n^{3}}}}}=$

$\dpi{120} =\frac{125}{27}.$

Pokaż rozwiązanie

Zwiń

6) $\dpi{120} a_{n}=\sqrt{\frac{3n-2}{n+10}},$

Rozwiązanie

I sposób (w pamięci)

Zauważmy, że najwyższy stopień w liczniku jest taki sam jak w mianowniku. Jest to stopień $\dpi{120} \frac{1}{2}.$ Pamiętajmy o pierwiastku. Wobec tego:

$\dpi{120} \lim_{n \to \infty }\sqrt{\frac{{\color{Red} 3n}-2}{{\color{Red} n}+10}}=\sqrt{\frac{3}{1}}=\sqrt{3}.$

II sposób (liczymy)

Stosujemy zasadę wyłączania w liczniku i mianowniku najwyższej potęgi mianownika.

$\dpi{120} \lim_{n \to \infty }\sqrt{\frac{3n-2}{n+10}}=\lim_{n \to \infty }\sqrt{\frac{n\left ( \frac{3n}{n}-\frac{2}{n} \right )}{n\left ( \frac{n}{n}+\frac{10}{n} \right )}}=\lim_{n \to \infty }\sqrt{\frac{3-\frac{2}{n}}{1+\frac{10}{n}}}=\sqrt{3}.$

Pokaż rozwiązanie

Zwiń

7) $\dpi{120} a_{n}=\frac{\sqrt{n^{2}-1}}{\sqrt[3]{n^{3}+1}},$

Rozwiązanie

I sposób (w pamięci)

Zauważmy, że najwyższy stopień w liczniku jest taki sam jak w mianowniku i jest to stopień 1. W liczniku mamy wprawdzie $\dpi{120} n^{2}$ , ale jest ono pod pierwiastkiem kwadratowym. W mianowniku mamy podobnie. Widzimy $\dpi{120} n^{3}$ , ale jest ono pod pierwiastkiem stopnia trzeciego. Zatem patrzymy na współczynniki przy najwyższych potęgach i otrzymujemy:

$\dpi{120} \lim_{n \to \infty }\frac{\sqrt{n^{2}-1}}{\sqrt[3]{n^{3}+1}}=\frac{\sqrt{1}}{\sqrt[3]{1}}=\frac{1}{1}=1.$

II sposób (liczymy)

Stosujemy zasadę wyłączania w liczniku i mianowniku najwyższej potęgi mianownika, którą jest w tym przypadku $\dpi{120} n$ . Uważajmy na pierwiastki, bo to są częste błędy.

$\dpi{120} \lim_{n \to \infty }\frac{\sqrt{n^{2}-1}}{\sqrt[3]{n^{3}+1}}=\lim_{n \to \infty }\frac{\sqrt{n^{2}\left ( 1-\frac{1}{n^{2}} \right )}}{\sqrt[3]{n^{3}\left ( 1+\frac{1}{n^{3}} \right )}}=$

$\dpi{120} =\lim_{n \to \infty }\frac{\sqrt{n^{2}}\cdot \sqrt{1-\frac{1}{n^{2}}}}{\sqrt[3]{n^{3}}\cdot \sqrt[3]{1+\frac{1}{n^{3}}}}=\lim_{n \to \infty }\frac{n\cdot \sqrt{1-\frac{1}{n^{2}}}}{n\cdot \sqrt[3]{1+\frac{1}{n^{3}}}}=$

$\dpi{120} =\lim_{n \to \infty }\frac{\sqrt{1-\frac{1}{n^{2}}}}{\sqrt[3]{1+\frac{1}{n^{3}}}}=\frac{\sqrt{1}}{\sqrt[3]{1}}=1.$

Pokaż rozwiązanie

Zwiń

8) $\dpi{120} a_{n}=\frac{\sqrt{n^{2}+4}}{3n-2},$

Rozwiązanie

I sposób (w pamięci)

Zauważmy, że najwyższy stopień w liczniku jest taki sam jak w mianowniku i jest to stopień 1. W liczniku mamy wprawdzie $\dpi{120} n^{2}$ , ale jest ono pod pierwiastkiem kwadratowym. Zatem patrzymy na współczynniki przy najwyższych potęgach i otrzymujemy:

$\dpi{120} \lim_{n \to \infty }\frac{\sqrt{n^{2}+4}}{3n-2}=\frac{\sqrt{1}}{3}=\frac{1}{3}.$

II sposób (liczymy)

Stosujemy zasadę wyłączania w liczniku i mianowniku najwyższej potęgi mianownika, którą jest w tym przypadku $\dpi{120} n$ . Uważajmy na pierwiastki, bo to są częste błędy.

$\dpi{120} \lim_{n \to \infty }\frac{\sqrt{n^{2}+4}}{3n-2}=\lim_{n \to \infty }\frac{\sqrt{n^{2}\left ( 1+\frac{4}{n^{2}} \right )}}{n\left ( 3-\frac{2}{n} \right )}=\lim_{n \to \infty }\frac{n\cdot \sqrt{1+\frac{4}{n^{2}}}}{n\cdot \left ( 3-\frac{2}{n} \right )}=$

$\dpi{120} =\lim_{n \to \infty }\frac{\sqrt{1+\frac{4}{n^{2}}}}{3-\frac{2}{n}}=\frac{\sqrt{1}}{3}=\frac{1}{3}.$

Pokaż rozwiązanie

Zwiń

9) $\dpi{120} a_{n}=\sqrt[3]{\frac{n-1}{8n+10}},$

Rozwiązanie

Przykład analogiczny do 6). Zmienił się jedynie stopień pierwiastka.

I sposób (w pamięci)

Zauważmy, że najwyższy stopień w liczniku jest taki sam jak w mianowniku. Jest to stopień $\dpi{120} \frac{1}{3}.$ Pamiętajmy o pierwiastku. Wobec tego:

$\dpi{120} \lim_{n \to \infty }\sqrt[3]{\frac{{\color{Red} n}-1}{{\color{Red} 8n}+10}}=\sqrt[3]{\frac{1}{8}}=\frac{1}{2}.$

II sposób (liczymy)

Stosujemy zasadę wyłączania w liczniku i mianowniku najwyższej potęgi mianownika.

$\dpi{120} \lim_{n \to \infty }\sqrt[3]{\frac{n-1}{8n+10}}=\lim_{n \to \infty }\sqrt[3]{\frac{n\left ( 1-\frac{1}{n} \right )}{n\left ( 8+\frac{10}{n} \right )}}=\lim_{n \to \infty }\sqrt[3]{\frac{1-\frac{1}{n}}{8+\frac{10}{n}}}=\sqrt[3]{\frac{1}{8}}=\frac{1}{2}.$

Pokaż rozwiązanie

Zwiń

10) $\dpi{120} a_{n}=\left ( \frac{16n+3}{2n-1} \right )^{\frac{1}{3}}.$

Rozwiązanie

Zapiszmy wyraz ogólny tego ciągu w innej postaci.

$\dpi{120} a_{n}=\left ( \frac{16n+3}{2n-1} \right )^{\frac{1}{3}}=\sqrt[3]{\frac{16n+3}{2n-1}}.$

Zadanie sprowadziło się do poprzedniego. Podamy tylko „pamięciówkę”.

Zauważmy, że najwyższy stopień w liczniku jest taki sam jak w mianowniku. Jest to stopień $\dpi{120} \frac{1}{3}$ . Pamiętajmy o pierwiastku. Wobec tego:

$\dpi{120} \lim_{n \to \infty }\sqrt[3]{\frac{16n+3}{2n-1}}=\sqrt[3]{\frac{16}{2}}=\sqrt[3]{8}=2.$

Pokaż rozwiązanie

Zwiń

Zadanie 4. Obliczyć granice ciągów o wyrazie ogólnym (grupa II z zakładki Wzory – pierwiastki).

1) $\dpi{120} a_{n}=\sqrt{n+5}-\sqrt{n},$

Rozwiązanie

Mnożymy wyrażenie pod znakiem granicy przez tzw. sprzężenie, czyli $\dpi{120} \frac{\sqrt{...}+\sqrt{...}}{\sqrt{...}+\sqrt{...}}=1$

$\dpi{120} \lim_{n \to \infty }\left ( \sqrt{n+5}-\sqrt{n} \right )\cdot \frac{\sqrt{n+5}+\sqrt{n}}{\sqrt{n+5}+\sqrt{n}}=$

$\dpi{120} =\lim_{n \to \infty }\frac{\left (\overset{x}{\overbrace{\sqrt{n+5 }}}-\overset{y}{\overbrace{\sqrt{n}}} \right )\cdot \left (\overset{x}{\overbrace{\sqrt{n+5 }}}+\overset{y}{\overbrace{\sqrt{n}}} \right )}{\sqrt{n+5}+\sqrt{n}}=$

W liczniku pojawia się wzór skróconego mnożenia $\dpi{120} \left ( x-y \right )\cdot \left ( x+y \right )=x^{2}-y^{2}$

$\dpi{120} =\lim_{n \to \infty }\frac{\left (\sqrt{n+5} \right )^{2}-\left (\sqrt{n} \right )^{2}}{\sqrt{n+5}+\sqrt{n}}=\lim_{n \to \infty }\frac{n+5 -n }{\sqrt{n+5}+\sqrt{n}}=\lim_{n \to \infty }\frac{5 }{\sqrt{n+5}+\sqrt{n}}=$

W tym momencie możemy od razu stwierdzić, że granica ta równa jest $\dpi{120} 0$ , gdyż stopień mianownika jest wyższy od stopnia licznika, bądź na podstawie $\dpi{120} \lim_{n \to \infty }\frac{a}{n^{k}}=0.$

Pokaż rozwiązanie

Zwiń

2) $\dpi{120} a_{n}=n-\sqrt{n^{2}+5n},$

Rozwiązanie

Mnożymy wyrażenie pod znakiem granicy przez tzw. sprzężenie, czyli $\dpi{120} \frac{\sqrt{...}+\sqrt{...}}{\sqrt{...}+\sqrt{...}}=1$

$\dpi{120} \lim_{n \to \infty }\left (n-\sqrt{n^{2}+5n} \right )\cdot \frac{n+\sqrt{n^{2}+5n}}{n+\sqrt{n^{2}+5n}}=$

$\dpi{120} =\lim_{n \to \infty }\frac{\left (\overset{x}{\overbrace{n}}-\overset{y}{\overbrace{\sqrt{n^{2}+5n}}} \right )\cdot \left (\overset{x}{\overbrace{n}}+\overset{y}{\overbrace{\sqrt{n^{2}+5n}}} \right )}{n+\sqrt{n^{2}+5n}}=$

W liczniku pojawia się wzór skróconego mnożenia $\dpi{120} \left ( x-y \right )\cdot \left ( x+y \right )=x^{2}-y^{2}$

$\dpi{120} =\lim_{n \to \infty }\frac{n^{2}-\left (\sqrt{n^{2}+5n} \right )^{2}}{n+\sqrt{n^{2}+5n}}=\lim_{n \to \infty }\frac{n^{2} -n^{2}-5n }{n+\sqrt{n^{2}+5n}}=\lim_{n \to \infty }\frac{-5n }{n+\sqrt{n^{2}+5n}}=$

W tym momencie możemy od razu stwierdzić, że granica ta równa jest $\dpi{120} -\frac{5}{2}$ , gdyż stopień licznika i mianownika jest równy 1. (w mianowniku $\dpi{120} n^{2}$ jest pod pierwiastkiem). Zatem szukamy najwyższych stopni potęg w liczniku i mianowniku.

$\dpi{120} \lim_{n \to \infty }\frac{{\color{Red} -5}{\color{Red} n} }{{\color{Red} n}+\sqrt{{\color{Red} n^{2}}+5n}}=\frac{-5}{1+\sqrt{1}}=-\frac{5}{2}.$

Pokaż rozwiązanie

Zwiń

3) $\dpi{120} a_{n}=\sqrt{3n^{2}+2n-5}-n\sqrt{3},$

Rozwiązanie

Mnożymy wyrażenie pod znakiem granicy przez tzw. sprzężenie, czyli $\dpi{120} \frac{\sqrt{...}+\sqrt{...}}{\sqrt{...}+\sqrt{...}}=1$

$\dpi{120} \lim_{n \to \infty }\left ( \sqrt{3n^{2}+2n-5}-n\sqrt{3} \right )\cdot \frac{\sqrt{3n^{2}+2n-5}+n\sqrt{3}}{\sqrt{3n^{2}n+2-5}+n\sqrt{3}}=$

$\dpi{120} =\lim_{n \to \infty }\frac{\left (\overset{x}{\overbrace{\sqrt{3n^{2}+2n-5 }}}-\overset{y}{\overbrace{n\sqrt{3}}} \right )\cdot \left (\overset{x}{\overbrace{\sqrt{3n^{2}+2n-5 }}}+\overset{y}{\overbrace{n\sqrt{3}}} \right )}{\sqrt{3n^{2}+2n-5}+n\sqrt{3}}=$

W liczniku pojawia się wzór skróconego mnożenia $\dpi{120} \left ( x-y \right )\cdot \left ( x+y \right )=x^{2}-y^{2}$

$\dpi{120} =\lim_{n \to \infty }\frac{\left (\sqrt{3n^{2}+2n-5} \right )^{2}-\left (n\sqrt{3} \right )^{2}}{\sqrt{3n^{2}+2n-5}+n\sqrt{3}}=\lim_{n \to \infty }\frac{3n^{2}+2n-5 -3n^{2} }{\sqrt{3n^{2}+2n-5}+n\sqrt{3}}=$

$\dpi{120} =\lim_{n \to \infty }\frac{{\color{Red} 2n}-5 }{\sqrt{{\color{Red} 3n^{2}}+2n-5}+{\color{Red} n\sqrt{3}}}=\frac{2}{\sqrt{3}+\sqrt{3}}=\frac{2}{2\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{3}}{3}.$

Na czerwono zaznaczone współczynniki, które mają znaczenie dla granicy.

Pokaż rozwiązanie

Zwiń

4) $\dpi{120} a_{n}=\frac{1}{\sqrt{4n^{2}+7n}-2n},$

Rozwiązanie

Pomijamy już opisy słowne, jeżeli ktoś nie widzi jeszcze pewnych rzeczy, należy wrócić do wcześniejszych przykładów.

$\dpi{120} \lim_{n \to \infty }\frac{1}{\sqrt{4n^{2}+7n}-2n}\cdot \frac{\sqrt{4n^{2}+7n}+2n}{\sqrt{4n^{2}+7n}+2n}=$

$\dpi{120} =\lim_{n \to \infty }\frac{\sqrt{4n^{2}+7n}+2n}{\left ( \sqrt{4n^{2}+7n} \right )^{2}-\left ( 2n \right )^{2}}=\lim_{n \to \infty }\frac{\sqrt{4n^{2}+7n}+2n}{4n^{2}+7n-4n ^{2}}=$

$\dpi{120} =\lim_{n \to \infty }\frac{\sqrt{{\color{Red} 4}n^{2}+7n}+{\color{Red} 2}n}{{\color{Red} 7}n}=\frac{\sqrt{4}+2}{7}=\frac{4}{7}.$

Na czerwono zaznaczone współczynniki, które mają znaczenie dla granicy.

Pokaż rozwiązanie

Zwiń

5) $\dpi{120} a_{n}=3n-\sqrt{9n^{2}+6n-15},$

Rozwiązanie

Pomijamy już opisy słowne, jeżeli ktoś nie widzi jeszcze pewnych rzeczy, należy wrócić do przykładów 1) – 3).

$\dpi{120} \lim_{n \to \infty }\left (3n-\sqrt{9n^{2}+6n-15} \right )\cdot \frac{3n+\sqrt{9n^{2}+6n-15}}{3n+\sqrt{9n^{2}+6n-15}}=$

$\dpi{120} =\lim_{n \to \infty }\frac{\left (3n-\sqrt{9n^{2}+6n-15} \right )\cdot\left (3n+\sqrt{9n^{2}+6n-15} \right ) }{3n+\sqrt{9n^{2}+6n-15}}=$

$\dpi{120} =\lim_{n \to \infty }\frac{\left ( 3n \right )^{2}-\left ( \sqrt{9n^{2}+6n-15} \right )^{2}}{3n+\sqrt{9n^{2}+6n-15}}=\lim_{n \to \infty }\frac{9n^{2}-9n^{2}-6n+15}{3n+\sqrt{9n^{2}+6n-15}}=$

$\dpi{120} =\lim_{n \to \infty }\frac{{\color{Red} -6}n+15}{{\color{Red} 3}n+\sqrt{{\color{Red} 9}n^{2}+6n-15}}=\frac{-6}{3+\sqrt{9}}=\frac{-6}{6}=-1.$

Na czerwono zaznaczone współczynniki, które mają znaczenie dla granicy.

Pokaż rozwiązanie

Zwiń

6) $\dpi{120} a_{n}=n\left ( \sqrt{2n^{2}+1}-\sqrt{2n^{2}-1} \right ).$

Rozwiązanie

Pomijamy już opisy słowne, jeżeli ktoś nie widzi jeszcze pewnych rzeczy, należy wrócić do przykładów 1) – 3).

$\dpi{120} \lim_{n \to \infty }n\left ( \left (\sqrt{2n^{2}+1}-\sqrt{2n^{2}-1} \right ) \cdot \frac{\sqrt{2n^{2}+1}+\sqrt{2n^{2}-1} }{\sqrt{2n^{2}+1}+\sqrt{2n^{2}-1} }\right )=$

$\dpi{120} =\lim_{n \to \infty }n\cdot \frac{\left (\sqrt{2n^{2}+1} \right )^{2}-\left (\sqrt{2n^{2}-1} \right )^{2}}{\sqrt{2n^{2}+1}+\sqrt{2n^{2}-1}}=\lim_{n \to \infty }n\cdot \frac{2n^{2}+1-2n^{2}+1}{\sqrt{2n^{2}+1}+\sqrt{2n^{2}-1}}=$

$\dpi{120} =\lim_{n \to \infty }\frac{2n}{\sqrt{2n^{2}+1}+\sqrt{2n^{2}-1}}=\frac{2}{\sqrt{2}+\sqrt{2}}=\frac{2}{2\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{2}$

Pokaż rozwiązanie

Zwiń

Zadanie 5. Obliczyć granice ciągów o wyrazie ogólnym (grupa III z zakładki Wzory – tw. o trzech ciągach).

1) $\dpi{120} a_{n}=\sqrt[n]{2^{n}+8^{n}+11^{n}},$

Rozwiązanie

W algorytmie dla grupy III jest opisany dokładny schemat liczenia tego typu granic. Teraz podamy trochę uproszczone rozwiązania.

Ograniczamy ciąg od góry: (zastępujemy każdą potęgę największą potęgą spod pierwiastka)

$\dpi{120} a_{n}=\sqrt[n]{2^{n}+8^{n}+{\color{Red} 11^{n}}}\: {\color{Blue} \leq} \: \sqrt[n]{11^{n}+11^{n}+11^{n}}=\sqrt[n]{3\cdot 11^{n}}=$

$\dpi{120} =\overset{\rightarrow 1}{\overbrace{\sqrt[n]{3}}}\cdot \overset{=11}{\overbrace{\sqrt[n]{11^{n}}}}\overset{n \to \infty }{\rightarrow}1\cdot 11=11.$

Wykorzystaliśmy tutaj ważną granicę $\dpi{120} \lim_{n \to \infty }\sqrt[n]{c}=1.$

Ograniczamy ciąg od dołu: (pod pierwiastkiem zostaje tylko największa potęga)

$\dpi{120} a_{n}=\sqrt[n]{2^{n}+8^{n}+{\color{Red} 11^{n}}}\: {\color{Green} \geq } \: \sqrt[n]{11^{n}}=11.$

Otrzymaliśmy zatem, że:

$\dpi{120} 11=\sqrt[n]{11^{n}}{\color{Green} \leq} \sqrt[n]{2^{n}+8^{n}+11^{n}}{\color{Blue} \leq} \sqrt[n]{3\cdot 11^{n}}\overset{n \to \infty }{\rightarrow}11.$

Na podstawie tw. o trzech ciągach (patrz Teoria lub Wzory) mamy, że

$\dpi{120} \lim_{n \to \infty }\sqrt[n]{2^{n}+8^{n}+11^{n}}=11.$

Pokaż rozwiązanie

Zwiń

2) $\dpi{120} a_{n}=\sqrt[n]{3\cdot 2^{n}+7\cdot 5^{n}+6\cdot 9^{n}},$

Rozwiązanie

W algorytmie dla grupy III jest opisany dokładny schemat liczenia tego typu granic. Teraz podamy trochę uproszczone rozwiązania.

Ograniczamy ciąg od góry: (zastępujemy każdą potęgę największą potęgą spod pierwiastka)

$\dpi{120} a_{n}=\sqrt[n]{3\cdot 2^{n}+7\cdot 5^{n}+6\cdot {\color{Red} 9^{n}}}\: {\color{Blue} \leq} \: \sqrt[n]{{\color{Cyan} 3}\cdot 9^{n}+{\color{Cyan} 7}\cdot 9^{n}+{\color{Cyan} 6}\cdot 9^{n}}=\sqrt[n]{{\color{Cyan} 16}\cdot 9^{n}}=$

$\dpi{120} =\overset{\rightarrow 1}{\overbrace{\sqrt[n]{16}}}\cdot \overset{=9}{\overbrace{\sqrt[n]{9^{n}}}}\overset{n \to \infty }{\rightarrow}1\cdot 9=9.$

Wykorzystaliśmy tutaj ważną granicę $\dpi{120} \lim_{n \to \infty }\sqrt[n]{c}=1.$

Ograniczamy ciąg od dołu: (pod pierwiastkiem zostaje tylko największa potęga)

$\dpi{120} a_{n}=\sqrt[n]{3\cdot 2^{n}+7\cdot 5^{n}+6\cdot {\color{Red} 9^{n}}}\: {\color{Green} \geq } \: \sqrt[n]{6\cdot 9^{n}}=\overset{\rightarrow 1}{\overbrace{\sqrt[n]{6}}}\cdot \overset{=9}{\overbrace{\sqrt[n]{9^{n}}}}\overset{n \to \infty }{\rightarrow}9.$

Otrzymaliśmy zatem, że:

$\dpi{120} 9\overset{n \to \infty }{\leftarrow}\sqrt[n]{6\cdot 9^{n}}{\color{Green} \leq} \sqrt[n]{3\cdot 2^{n}+7\cdot 5^{n}+6\cdot 9^{n}}{\color{Blue} \leq} \sqrt[n]{16\cdot 9^{n}}\overset{n \to \infty }{\rightarrow}9.$

Na podstawie tw. o trzech ciągach (patrz Teoria lub Wzory) mamy, że

$\dpi{120} \lim_{n \to \infty }\sqrt[n]{3\cdot 2^{n}+7\cdot 5^{n}+6\cdot 9^{n}}=9.$

Pokaż rozwiązanie

Zwiń

3) $\dpi{120} a_{n}=\sqrt[n]{2\cdot 3^{n+1}+5\cdot 4^{n-2}+3\cdot 8^{n}},$

Rozwiązanie

W algorytmie dla grupy III jest opisany dokładny schemat liczenia tego typu granic. Teraz podamy trochę uproszczone rozwiązania.

Zanim przejdziemy do ograniczania ciągu trzeba go przedstawić w innej postaci, gdyż w wykładnikach potęg mamy więcej niż $\dpi{120} n$ .

$\dpi{120} a_{n}=\sqrt[n]{2\cdot 3^{n+1}+5\cdot 4^{n-2}+3\cdot 8^{n}}=\sqrt[n]{2\cdot 3^{n}\cdot 3+5\cdot 4^{n}\cdot 4^{-2}+3\cdot 8^{n}}=$

$\dpi{120} =\sqrt[n]{6\cdot 3^{n}+\frac{5}{16}\cdot 4^{n}+3\cdot 8^{n}}$

Teraz postępujemy tak jak w poprzednich przykładach.

Ograniczamy ciąg od góry: (zastępujemy każdą potęgę największą potęgą spod pierwiastka)

$\dpi{120} a_{n}=\sqrt[n]{6\cdot 3^{n}+\frac{5}{16}\cdot 4^{n}+3\cdot {\color{Red} 8^{n}}}\: {\color{Blue} \leq} \: \sqrt[n]{{\color{Cyan} 6}\cdot 8^{n}+{\color{Cyan} \frac{5}{16}}\cdot 8^{n}+{\color{Cyan} 3}\cdot 8^{n}}=\sqrt[n]{{\color{Cyan} 9\frac{5}{16}}\cdot 8^{n}}=$

$\dpi{120} =\overset{\rightarrow 1}{\overbrace{\sqrt[n]{9\frac{5}{16}}}}\cdot \overset{=8}{\overbrace{\sqrt[n]{8^{n}}}}\overset{n \to \infty }{\rightarrow}1\cdot 8=8.$

Wykorzystaliśmy tutaj ważną granicę $\dpi{120} \lim_{n \to \infty }\sqrt[n]{c}=1.$

Ograniczamy ciąg od dołu: (pod pierwiastkiem zostaje tylko największa potęga)

$\dpi{120} a_{n}=\sqrt[n]{6\cdot 3^{n}+\frac{5}{16}\cdot 4^{n}+3\cdot {\color{Red} 8^{n}}}\: {\color{Green} \geq } \: \sqrt[n]{3\cdot 8^{n}}=\overset{\rightarrow 1}{\overbrace{\sqrt[n]{3}}}\cdot \overset{=8}{\overbrace{\sqrt[n]{8^{n}}}}\overset{n \to \infty }{\rightarrow}8.$

Otrzymaliśmy zatem, że:

$\dpi{120} 8\overset{n \to \infty }{\leftarrow}\sqrt[n]{3\cdot 8^{n}}{\color{Green} \leq} \sqrt[n]{6\cdot 3^{n}+\frac{5}{16}\cdot 4^{n}+3\cdot 8^{n}}{\color{Blue} \leq} \sqrt[n]{9\frac{5}{16}\cdot 8^{n}}\overset{n \to \infty }{\rightarrow}8.$

Na podstawie tw. o trzech ciągach (patrz Teoria lub Wzory) mamy, że

$\dpi{120} \lim_{n \to \infty }\sqrt[n]{6\cdot 3^{n}+\frac{5}{16}\cdot 4^{n}+3\cdot 8^{n}}=8.$

Pokaż rozwiązanie

Zwiń

4) $\dpi{120} a_{n}=\sqrt[n]{\left ( \frac{3}{4} \right )^{n}+\left ( \frac{6}{7} \right )^{n}+3\cdot \left ( \frac{4}{5} \right )^{n}}.$

Rozwiązanie

Przykład nie różni się niczym od poprzednich, ale należy dobrze wybrać największą potęgę. Jest nią $\dpi{120} \left ( \frac{6}{7} \right )^{n}$ . Zatem:

Ograniczamy ciąg od góry: (zastępujemy każdą potęgę największą potęgą spod pierwiastka)

$\dpi{120} a_{n}=\sqrt[n]{\left ( \frac{3}{4} \right )^{n}+ {\color{Red} \left ( \frac{6}{7} \right )^{n}}+3\cdot \left ( \frac{4}{5} \right )^{n}}\: {\color{Blue} \leq} \: \sqrt[n]{ \left ( \frac{6}{7} \right )^{n}+ \left ( \frac{6}{7} \right )^{n}+{3}\cdot \left ( \frac{6}{7} \right )^{n}}=$

$\dpi{120} =\sqrt[n]{ 5\cdot \left ( \frac{6}{7} \right )^{n}}=\overset{\rightarrow 1}{\overbrace{\sqrt[n]{5}}}\cdot \sqrt[n]{\left ( \frac{6}{7} \right )^{n}}\overset{n \to \infty }{\rightarrow}1\cdot \frac{5}{6}=\frac{5}{6}$

Wykorzystaliśmy tutaj ważną granicę $\dpi{120} \lim_{n \to \infty }\sqrt[n]{c}=1.$

Ograniczamy ciąg od dołu: (pod pierwiastkiem zostaje tylko największa potęga)

$\dpi{120} a_{n}=\sqrt[n]{\left ( \frac{3}{4} \right )^{n}+ {\color{Red} \left ( \frac{6}{7} \right )^{n}}+3\cdot \left ( \frac{4}{5} \right )^{n}}\: {\color{Green} \geq } \: \sqrt[n]{\left ( \frac{6}{7} \right )^{n}}=\frac{6}{7}.$

Otrzymaliśmy zatem, że:

$\dpi{120} \frac{6}{7}=\sqrt[n]{\left ( \frac{6}{7} \right )^{n}}{\color{Green} \leq} \sqrt[n]{\left ( \frac{3}{4} \right )^{n}+ \left ( \frac{6}{7} \right )^{n}+3\cdot \left ( \frac{4}{5} \right )^{n}}{\color{Blue} \leq} \sqrt[n]{5\cdot \left ( \frac{6}{7} \right )^{n}}\overset{n \to \infty }{\rightarrow}\frac{6}{7}.$

Na podstawie tw. o trzech ciągach (patrz Teoria lub Wzory) mamy, że

$\dpi{120} \lim_{n \to \infty }\sqrt[n]{\left ( \frac{3}{4} \right )^{n}+ \left ( \frac{6}{7} \right )^{n}+3\cdot \left ( \frac{4}{5} \right )^{n}}=\frac{6}{7}.$

Pokaż rozwiązanie

Zwiń

Zadanie 6. Obliczyć granice ciągów o wyrazie ogólnym (grupa IV z zakładki Wzory – liczba $\dpi{120} \large e$ ).

1) $\dpi{120} a_{n}=\left ( 1+\frac{4}{n} \right )^{n+1},$

Rozwiązanie

Jest to ciąg, w którym wykorzystamy granicę $\dpi{120} \lim_{n \to \infty }\left ( 1+\frac{1}{c_{_{n}}} \right )^{c_{n}}=e.$ Zatem należy nasz ciąg doprowadzić do powyższej postaci. Szczegółowy algorytm w zakładce Wzory.

$\dpi{120} \lim_{n \to \infty }\left ( 1+\frac{{\color{Red} 4}}{n} \right )^{n+1}=\lim_{n \to \infty }\left ( 1+\frac{1}{\frac{n}{{\color{Red} 4}}}\right )^{n+1}=$

W mianowniku ułamka powstał nam ciąg $\dpi{120} c_{n}=\frac{n}{4}$ , który wpisujemy do wykładnika potęgi, aby uzyskać liczbę $\dpi{120} e$ . Musimy jeszcze „uzgodnić” wykładnik.

$\dpi{120} \lim_{n \to \infty }\left ( 1+\frac{1}{\frac{n}{4}} \right )^{{\color{Blue} n+1}}=\lim_{n \to \infty }\left [ \underset{\rightarrow e}{\underbrace{\left ( 1+\frac{1}{{\color{Red} \frac{n}{4}}} \right )^{{\color{Red} \frac{n}{4}}} }}\right ]^{\overset{\rightarrow 4}{\overbrace{{\color{Red} \frac{4}{n}}\cdot \left ( {\color{Blue} n+1} \right )}}}$

Wyrażenie w nawiasie kwadratowym dąży do liczby $\dpi{120} e$ . Policzmy jeszcze granicę ciągu powstałego w wykładniku poza nawiasem kwadratowym. Jest to zawsze granica z grupy I. Zauważamy, że stopień licznika i mianownika są takie same, więc:

$\dpi{120} \lim_{n \to \infty }\frac{4}{n}\cdot \left ( n+1 \right )=\lim_{n \to \infty }\frac{4\left ( n+1 \right )}{n}=\lim_{n \to \infty }\frac{{\color{Red} 4n}+4}{{\color{Red} n}}=\frac{4}{1}=4.$

Wobec tego granica naszego ciągu wynosi:

$\dpi{120} \lim_{n \to \infty }\left ( 1+\frac{4}{n} \right )^{n+1}=e^{4}.$

Niektórzy wykładowcy dopuszczają jeszcze jedno uogólnienie:

$\dpi{120} \lim_{n \to \infty }\left ( 1+\frac{{\color{Red} k}}{c_{n}} \right )^{c_{n}}=e^{{\color{Red} k}}$

Wówczas zadania można trochę skracać, np.

$\dpi{120} \lim_{n \to \infty }\left ( 1+\frac{ 4}{n} \right )^{n+1}=\lim_{n \to \infty }\overset{\rightarrow e^{{\color{Red} 4}}}{\overbrace{\left ( 1+\frac{{\color{Red} 4}}{n}\right )^{n}}}\cdot \underset{\rightarrow 1}{\underbrace{\left ( 1+\overset{\rightarrow 0}{\overbrace{\frac{4}{n}}}\right )^{1}}}=e^{4}\cdot 1=e^{4}$

Pokaż rozwiązanie

Zwiń

2) $\dpi{120} a_{n}=\left ( \frac{n-3}{n+2} \right )^{n+4},$

Rozwiązanie

1. Do licznika wpisujemy mianownik i uzgadniamy go, aby nie zmienił wartości, tzn.

$\dpi{120} \lim_{n \to \infty }\left ( \frac{n-3}{n+2} \right )^{n+4}=\lim_{n \to \infty }\left ( \frac{{\color{Red} n}{\color{Red} +}\overset{-3}{\overbrace{{\color{Red} 2}-5}}}{{\color{Red} n+2}} \right )^{n+4}=$

2. Rozdzielamy ułamek w podstawie potęgi tak, aby uzyskać 1

$\dpi{120} =\lim_{n \to \infty }\left ( \frac{n+2-5}{n+2} \right )^{n+4}=\lim_{n \to \infty }\left ( \frac{n+2}{n+2} -\frac{5}{n+2}\right )^{n+4}=\lim_{n \to \infty }\left ( 1-\frac{5}{n+2}\right )^{n+4}=$

3. Stałą z licznika ułamka „przenosimy” do mianownika tworząc ułamek piętrowy:

$\dpi{120} =\lim_{n \to \infty }\left ( 1-\frac{{\color{Red} 5}}{n+2}\right )^{n+4}=\lim_{n \to \infty }\left ( 1-\frac{1}{\frac{n+2}{{\color{Red} 5}}} \right )^{n+4}=$

4. Wykorzystujemy granicę: $\dpi{120} \lim_{n \to \infty }\left ( 1{\color{Magenta} -}\frac{1}{c_{n}} \right )^{c_{n}}=e^{{\color{Magenta} -}1}.$ W mianowniku otrzymaliśmy ciąg $\dpi{120} c_{n}$ i wpisujemy go do wykładnika potęgi, a następnie uzgadniamy wykładnik z wcześniejszym:

$\dpi{120} =\lim_{n \to \infty }\left ( 1-\frac{1}{\frac{n+2}{ 5}} \right )^{{\color{Blue} n+4}}=\lim_{n \to \infty }\left [\left ( 1-\frac{1}{\underset{c_{n}}{\underbrace{{\color{Red} \frac{n+2}{ 5}}}}} \right )^{\overset{c_{n}}{\overbrace{{\color{Red} \frac{n+2}{ 5}}}}} \right ]^{{\color{Red} \frac{5}{n+2}}\cdot \left ( {\color{Blue} n+4} \right )}=$

Poza nawiasem kwadratowym wpisaliśmy odwrotność ciągu $\dpi{120} c_{n}$ , czyli $\dpi{120} {\color{red} \frac{5}{n+2}}$ . Wówczas wykładniki dają wartość 1 (potęga potęgi). Żeby uzyskać wcześniejszy wykładnik mnożymy go przez $\dpi{120} {\color{Blue} n+4}$ .

5. Liczymy granicę ciągu powstałego w wykładniku, w naszym przypadku $\dpi{120} \frac{5}{n+2}\cdot \left ( n+4 \right )$

$\dpi{120} \lim_{n \to \infty }\frac{5}{n+2}\cdot \left (n+4 \right )=\lim_{n \to \infty }\frac{{\color{Red} 5}\cdot \left ( {\color{Red} 1}n+4 \right )}{{\color{Red} 1}n+2}=\frac{5\cdot 1}{1}=5.$

Wykorzystaliśmy tutaj wiadomości o ciągach z grupy I. Ponieważ najwyższy stopień w liczniku jest taki sam jak w mianowniku, wystarczy spojrzeć na współczynniki przy najwyższych potęgach w liczniku i mianowniku.

6. Wewnątrz nawiasu kwadratowego otrzymujemy liczbę $\dpi{120} e^{-1}$ .

$\dpi{120} =\lim_{n \to \infty }\left [\underset{\rightarrow e^{{\color{Magenta} -}1}}{\underbrace{\left ( 1{\color{Magenta} -}\frac{1}{\frac{n+2}{ 5}} \right )}}^{\frac{n+2}{ 5}} \right ]^{\overset{\rightarrow 5}{\overbrace{\frac{5}{n+2}\cdot \left ( n+4 \right )}}}=\left (e^{-1} \right )^{5}=e^{-5}.$

Pokaż rozwiązanie

Zwiń

3) $\dpi{120} a_{n}=\left ( \frac{n^{2}+5}{n^{2}-4} \right )^{n^{2}+3},$

Rozwiązanie

1. Do licznika wpisujemy mianownik i uzgadniamy go, aby nie zmienił wartości, tzn.

$\dpi{120} \lim_{n \to \infty }\left ( \frac{n^{2}+5}{n^{2}-4} \right )^{n^{2}+3}=\lim_{n \to \infty }\left ( \frac{{\color{Red} n^{2}}{\color{Red} -}\overset{5}{\overbrace{{\color{Red} 4}+9}}}{{\color{Red} n^{2}-4}} \right )^{n^{2}+3}=$

2. Rozdzielamy ułamek w podstawie potęgi tak, aby uzyskać 1

$\dpi{120} =\lim_{n \to \infty }\left ( \frac{n^{2}-4+9}{n^{2}-4} \right )^{n^{2}+3}=\lim_{n \to \infty }\left ( \frac{n^{2}-4}{n^{2}-4} +\frac{9}{n^{2}-4}\right )^{n^{2}+3}=\lim_{n \to \infty }\left ( 1+\frac{9}{n^{2}-4}\right )^{n^{2}+3}=$

3. Stałą z licznika ułamka „przenosimy” do mianownika tworząc ułamek piętrowy:

$\dpi{120} =\lim_{n \to \infty }\left ( 1+\frac{{\color{Red} 9}}{n^{2}-4}\right )^{n^{2}+3}=\lim_{n \to \infty }\left ( 1+\frac{1}{\frac{n^{2}-4}{{\color{Red} 9}}} \right )^{n^{2}+3}=$

4. Wykorzystujemy granicę: $\dpi{120} \lim_{n \to \infty }\left ( 1+\frac{1}{a_{n}} \right )^{a_{n}}=e.$ W mianowniku otrzymaliśmy ciąg $\dpi{120} a_{n}$ i wpisujemy go do wykładnika potęgi, a następnie uzgadniamy wykładnik z wcześniejszym:

$\dpi{120} =\lim_{n \to \infty }\left [\left ( 1+\frac{1}{{\color{Red} \frac{n^{2}-4}{{9}}}} \right )^{{\color{Red} \frac{n^{2}-4}{9}}} \right ]^{{\color{Red} \frac{9}{n^{2}-4}}\cdot \left ( {\color{Blue} n^{2}+3} \right )}=$

Poza nawiasem kwadratowym wpisaliśmy odwrotność ciągu $\dpi{120} a_{n}$ , czyli $\dpi{120} {\color{red} \frac{9}{n^{2}-4}}$ . Wówczas wykładniki dają wartość 1 (potęga potęgi). Żeby uzyskać wcześniejszy wykładnik mnożymy go przez $\dpi{120} {\color{Blue} n^{2}+3}$ .

5. Liczymy granicę ciągu powstałego w wykładniku, w naszym przypadku $\dpi{120} \frac{9}{n^{2}-4}\cdot \left ( n^{2}+3 \right )$

$\dpi{120} \lim_{n \to \infty }\frac{9}{n^{2}-4}\cdot \left ( n^{2}+3 \right )=\lim_{n \to \infty }\frac{{\color{Red} 9}\cdot \left ( {\color{Red} 1}n^{2}+3 \right )}{{\color{Red} 1}n^{2}-4}=\frac{9\cdot 1}{1}=9.$

6. Wewnątrz nawiasu kwadratowego otrzymujemy liczbę $\dpi{120} e$ .

$\dpi{120} =\lim_{n \to \infty }\left [\underset{\rightarrow e}{\underbrace{\left ( 1+\frac{1}{\frac{n^{2}-4}{ 9}} \right )}}^{\frac{n^{2}-4}{ 9}} \right ]^{\overset{\rightarrow 9}{\overbrace{\frac{9}{n^{2}-4}\cdot \left ( n^{2}+3 \right )}}}=e^{9}.$

Pokaż rozwiązanie

Zwiń

4) $\dpi{120} a_{n}=\left ( \frac{n^{2}-7}{n^{2}+2} \right )^{4n^{2}+2},$

Rozwiązanie

W przykładzie tym omijamy już opisy słowne. Jeżeli ktoś czegoś nie zauważy należy wrócić do przykładów 1)-3). Zatem:

$\dpi{120} \lim_{n \to \infty }\left ( \frac{n^{2}-7}{n^{2}+2} \right )^{4n^{2}+2}=\lim_{n \to \infty }\left ( \frac{{\color{Red} n^{2}}{\color{Red} +}\overset{-7}{\overbrace{{\color{Red} 2}-9}}}{{\color{Red} n^{2}+2}} \right )^{4n^{2}+2}=$

$\dpi{120} =\lim_{n \to \infty }\left ( \frac{n^{2}+2}{n^{2}+2} -\frac{9}{n^{2}+2}\right )^{4n^{2}+2}=\lim_{n \to \infty }\left ( 1-\frac{{\color{Red} 9}}{n^{2}+2}\right )^{4n^{2}+2}=\lim_{n \to \infty }\left ( 1-\frac{1}{\frac{n^{2}+2}{{\color{Red} 9}}} \right )^{{\color{Blue} 4n^{2}+2}}=$

$\dpi{120} =\lim_{n \to \infty }\left [\left ( 1-\frac{1}{{\color{Red} \frac{n^{2}+2}{{9}}}} \right ) ^{{\color{Red} \frac{n^{2}+2}{{9}}}} \right ]^{{\color{Red} \frac{9}{n^{2}+2}}\cdot {\color{Blue} \left (4n^{2}+2 \right )}}=\left (e^{-1} \right )^{36}=e^{-36}$

gdyż

$\dpi{120} \lim_{n \to \infty }\frac{9}{n^{2}+2}\cdot \left (4 n^{2}+2 \right )=\lim_{n \to \infty }\frac{{\color{Red} 9}\cdot \left ( {\color{Red} 4}n^{2}+2 \right )}{{\color{Red} 1}n^{2}+2}=\frac{9\cdot 4}{1}=36.$

Pokaż rozwiązanie

Zwiń

5) $\dpi{120} a_{n}=\left ( \frac{n^{3}-2}{n^{3}-5} \right )^{3n^{3}-4},$

Rozwiązanie

W przykładzie tym omijamy już opisy słowne. Jeżeli ktoś czegoś nie zauważy należy wrócić do przykładów 1)-3). Zatem:

$\dpi{120} \lim_{n \to \infty }\left ( \frac{n^{3}-2}{n^{3}-5} \right )^{3n^{3}-4}=\lim_{n \to \infty }\left ( \frac{{\color{Red} n^{3}}{\color{Red} -}\overset{-2}{\overbrace{{\color{Red} 5}+3}}}{{\color{Red} n^{3}-5}} \right )^{3n^{3}-4}=$

$\dpi{120} =\lim_{n \to \infty }\left ( \frac{n^{3}-5}{n^{3}-5} +\frac{3}{n^{3}-5}\right )^{3n^{3}-4}=\lim_{n \to \infty }\left ( 1+\frac{{\color{Red} 3}}{n^{3}-5}\right )^{3n^{3}-4}=\lim_{n \to \infty }\left ( 1+\frac{1}{\frac{n^{3}-5}{{\color{Red} 3}}} \right )^{{\color{Blue} 3n^{3}-4}}=$

$\dpi{120} =\lim_{n \to \infty }\left [\left ( 1+\frac{1}{{\color{Red} \frac{n^{3}-5}{{3}}}} \right ) ^{{\color{Red} \frac{n^{3}-5}{{3}}}} \right ]^{{\color{Red} \frac{3}{n^{3}-5}}\cdot {\color{Blue} \left (3n^{3}-4 \right )}}=\left (e^{1} \right )^{9}=e^{9}$

gdyż

$\dpi{120} \lim_{n \to \infty }\frac{3}{n^{3}-5}\cdot \left (3 n^{3}-4 \right )=\lim_{n \to \infty }\frac{{\color{Red} 3}\cdot \left ( {\color{Red} 3}n^{3}-4 \right )}{{\color{Red} 1}n^{3}-5}=\frac{3\cdot 3}{1}=9.$

Pokaż rozwiązanie

Zwiń

6) $\dpi{120} a_{n}=\left ( \frac{n+5}{n-8} \right )^{5n-4},$

Rozwiązanie

W przykładzie tym omijamy już opisy słowne. Jeżeli ktoś czegoś nie zauważy należy wrócić do przykładów 1)-3). Zatem:

$\dpi{120} \lim_{n \to \infty }\left ( \frac{n+5}{n-8} \right )^{5n-4}=\lim_{n \to \infty }\left ( \frac{{\color{Red} n}{\color{Red} -}\overset{5}{\overbrace{{\color{Red} 8}+13}}}{{\color{Red} n-8}} \right )^{5n-4}=$

$\dpi{120} =\lim_{n \to \infty }\left ( \frac{n-8}{n-8} +\frac{13}{n-8}\right )^{5n-4}=\lim_{n \to \infty }\left ( 1+\frac{{\color{Red} 13}}{n-8}\right )^{5n-4}=\lim_{n \to \infty }\left ( 1+\frac{1}{\frac{n-8}{{\color{Red} 13}}} \right )^{{\color{Blue} 5n-4}}=$

$\dpi{120} =\lim_{n \to \infty }\left [\left ( 1+\frac{1}{{\color{Red} \frac{n-8}{{13}}}} \right ) ^{{\color{Red} \frac{n-8}{{13}}}} \right ]^{{\color{Red} \frac{13}{n-8}}\cdot {\color{Blue} \left (5n-4 \right )}}=\left (e^{1} \right )^{65}=e^{65}$

gdyż

$\dpi{120} \lim_{n \to \infty }\frac{13}{n-8}\cdot \left (5n-4 \right )=\lim_{n \to \infty }\frac{{\color{Red} 13}\cdot \left ( {\color{Red} 5}n-4 \right )}{{\color{Red} 1}n-8}=\frac{13\cdot 5}{1}=65.$

Pokaż rozwiązanie

Zwiń

7) $\dpi{120} a_{n}=\left ( \frac{4n+3}{4n-7} \right )^{n+4}.$

Rozwiązanie

W przykładzie tym omijamy opisy słowne. Jeżeli ktoś czegoś nie zauważy należy wrócić do przykładów 1)-3). Zatem:

$\dpi{120} \lim_{n \to \infty }\left ( \frac{4n+3}{4n-7} \right )^{n+4}=\lim_{n \to \infty }\left ( \frac{{\color{Red} 4n}{\color{Red} -}\overset{3}{\overbrace{{\color{Red} 7}+10}}}{{\color{Red} 4n-7}} \right )^{n+4}=$

$\dpi{120} =\lim_{n \to \infty }\left ( \frac{4n-7}{4n-7} +\frac{10}{4n-7}\right )^{n+4}=\lim_{n \to \infty }\left ( 1+\frac{{\color{Red} 10}}{4n-7}\right )^{n+4}=$

$\dpi{120} =\lim_{n \to \infty }\left ( 1+\frac{1}{\frac{4n-7}{{\color{Red} 10}}} \right )^{{\color{Blue} n+4}}=$

$\dpi{120} =\lim_{n \to \infty }\left [\left ( 1+\frac{1}{{\color{Red} \frac{4n-7}{{10}}}} \right ) ^{{\color{Red} \frac{4n-7}{{10}}}} \right ]^{{\color{Red} \frac{10}{4n-7}}\cdot {\color{Blue} \left (n+4 \right )}}=\left (e^{1} \right )^{\frac{5}{2}}=e^{\frac{5}{2}}$

gdyż

$\dpi{120} \lim_{n \to \infty }\frac{10}{4n-7}\cdot \left (n+4 \right )=\lim_{n \to \infty }\frac{{\color{Red} 10}\cdot \left ( {\color{Red} 1}n+4 \right )}{{\color{Red} 4}n-7}=\frac{10\cdot 1}{4}=\frac{10}{4}=\frac{5}{2}.$

Pokaż rozwiązanie

Zwiń

8) $\dpi{120} a_{n}=\left ( \frac{2n^{2}-n+2}{2n^{2}+1} \right )^{3n-1}$ zwrócić uwagę

Rozwiązanie

Przykład ten jest trochę inny niż poprzednie. Schemat rozwiązania podobny.

$\dpi{120} \lim_{n \to \infty }\left ( \frac{2n^{2}-n+{\color{Red} 2}}{2n^{2}+1} \right )^{3n-1}=\lim_{n \to \infty }\left ( \frac{2n^{2}+{\color{Red} 1}-n+{\color{Red} 1}}{2n^{2}+1} \right )^{3n-1}=$

$\dpi{120} =\lim_{n \to \infty }\left ( \frac{2n^{2}+1}{2n^{2}+1} +\frac{-n+1}{2n^{2}+1}\right )^{3n-1}=\lim_{n \to \infty }\left ( 1+\frac{{\color{Red} -n+1}}{2n^{2}+1}\right )^{3n-1}=$

$\dpi{120} =\lim_{n \to \infty }\left ( 1+\frac{1}{\frac{2n^{2}+1}{{\color{Red} -n+1}}} \right )^{{\color{Blue} 3n-1}}=$

$\dpi{120} =\lim_{n \to \infty }\left [\left ( 1+\frac{1}{{\color{Red} \frac{2n^{2}+1}{{-n+1}}}} \right ) ^{{\color{Red} \frac{2n^{2}+1}{{-n+1}}}} \right ]^{{\color{Red} \frac{-n+1}{2n^{2}+1}}\cdot {\color{Blue} \left (3n-1 \right )}}=\left (e^{1} \right )^{-\frac{3}{2}}=e^{-\frac{3}{2}}$

gdyż

$\dpi{120} \lim_{n \to \infty }\frac{-n+1}{2n^{2}+1}\cdot \left (3n-1 \right )=\lim_{n \to \infty }\frac{\left ({\color{Red} -1}n+1 \right )\cdot \left ( {\color{Red} 3}n-1 \right )}{{\color{Red} 2}n^{2}+1}=\frac{-1\cdot 3}{2}=-\frac{3}{2}.$

Pokaż rozwiązanie

Zwiń

9) $\dpi{120} a_{n}=\left ( \frac{6n^{2}-\frac{2}{n}}{6n^{2}+\frac{1}{n}} \right )^{3n^{3}+5}$ zwrócić uwagę

Rozwiązanie

Zanim zaczniemy stosować poznany schemat z liczbą $\dpi{120} e$ , dochodzi dodatkowy pierwszy krok. Należy sprowadzić wyrażenia w liczniku (i w mianowniku) do wspólnego mianownika.

$\dpi{120} \lim_{n \to \infty }\left ( \frac{6n^{2}-\frac{2}{n}}{6n^{2}+\frac{1}{n}} \right )^{3n^{3}+5}=\lim_{n \to \infty }\left ( \frac{\frac{6n^{3}-2}{{\color{Red} n}}}{\frac{6n^{3}+1}{{\color{Red} n}}} \right )^{3n^{3}+5}=$

Zaznaczony na czerwono wyraz $\dpi{120} n$ skracamy i otrzymujemy:

$\dpi{120} =\lim_{n \to \infty }\left ( \frac{6n^{3}-2}{6n^{3}+1}\right )^{3n^{3}+5}=$

Od tego momentu stosujemy znany schemat:

$\dpi{120} =\lim_{n \to \infty }\left ( \frac{6n^{3}+1-3}{6n^{3}+1}\right )^{3n^{3}+5}=\lim_{n \to \infty }\left (1- \frac{{\color{Red} 3}}{6n^{3}+1}\right )^{3n^{3}+5}=$

$\dpi{120} =\lim_{n \to \infty }\left ( 1-\frac{1}{\frac{6n^{3}+1}{{\color{Red} 3}}} \right )^{{\color{Blue} 3n^{3}+5}}=$

$\dpi{120} =\lim_{n \to \infty }\left [\left ( 1-\frac{1}{{\color{Red} \frac{6n^{3}+1}{{3}}}} \right ) ^{{\color{Red} \frac{6n^{3}+1}{{3}}}} \right ]^{{\color{Red} \frac{3}{6n^{3}+1}}\cdot {\color{Blue} \left (3n^{3}+5 \right )}}=\left (e^{-1} \right )^{\frac{3}{2}}=e^{-\frac{3}{2}}$

gdyż

$\dpi{120} \lim_{n \to \infty }\frac{3}{6n^{3}+1}\cdot \left (3n^{3}+5 \right )=\lim_{n \to \infty }\frac{{\color{Red} 3} \cdot \left ( {\color{Red} 3}n^{3}+5 \right )}{{\color{Red} 6}n^{3}+1}=\frac{3\cdot 3}{6}=\frac{9}{6}=\frac{3}{2}.$

Pokaż rozwiązanie

Zwiń

10) $\dpi{120} a_{n}=n\left (\ln \left ( n+6 \right ) -\ln \left ( n+2 \right ) \right )$

Rozwiązanie

Zanim zaczniemy stosować poznany schemat z liczbą $\dpi{120} e$ , wykorzystamy pewne własności funkcji logarytm.

$\dpi{120} \ln x-\ln y=\ln \frac{x}{y}$

$\dpi{120} a\ln x=\ln x^{a}$

Zatem:

$\dpi{120} \lim_{n \to \infty }n\left ( \ln \left ( n+6 \right )-\ln \left ( n+2 \right ) \right )=\lim_{n \to \infty }n\ln \frac{n+6}{n+2}=\lim_{n \to \infty }\ln \left (\frac{n+6}{n+2} \right )^{n}$

Do wyrażenia po logarytmem stosujemy poznany wcześniej schemat:

$\dpi{120} \lim_{n \to \infty }\ln \left (\frac{n+2+4}{n+2} \right )^{n}=\lim_{n \to \infty }\ln \left (1+\frac{{\color{Red} 4}}{n+2} \right )^{n}=$

$\dpi{120} =\lim_{n \to \infty }\ln \left ( 1+\frac{1}{\frac{n+2}{{\color{Red} 4}}} \right )^{{\color{Blue} n}}=$

$\dpi{120} =\lim_{n \to \infty }\ln \left [\left ( 1+\frac{1}{{\color{Red} \frac{n+2}{{4}}}} \right ) ^{{\color{Red} \frac{n+2}{{4}}}} \right ]^{{\color{Red} \frac{4}{n+2}}\cdot {\color{Blue} n }}=\ln \left (e^{1} \right )^{4}=\ln e^{4}=4$

gdyż

$\dpi{120} \lim_{n \to \infty }\frac{4}{n+2}\cdot n=\lim_{n \to \infty }\frac{{\color{Red} 4} \cdot n}{{\color{Red} 1}n+2}=4.$

Pokaż rozwiązanie

Zwiń

Zadanie 7. Obliczyć granice ciągów o wyrazie ogólnym: (tw. 2 zakładki Teoria)

1) $\dpi{120} a_{n}=\frac{\cos n}{2n^{2}-6},$

Rozwiązanie

Ciąg ten jest iloczynem dwóch ciągów:

$\dpi{120} a_{n}=\frac{\cos n}{2n^{2}-6}=\underset{x_{n}\rightarrow 0}{\underbrace{\frac{1}{2n^{2}-6}}}\cdot \underset{y_{n}}{\underbrace{\cos n}}.$

Zauważmy, że ciąg $\dpi{120} x_{n}=\frac{1}{2n^{2}-6}$ ma granicę $\dpi{120} 0$ , zaś ciąg $\dpi{120} y_{n}=\cos n$ jest ciągiem ograniczonym (przez $\dpi{120} -1$ oraz $\dpi{120} 1$ ). Zatem:

$\dpi{120} \lim_{n \to \infty }\frac{\cos n}{2n^{2}-6}=0.$

Pokaż rozwiązanie

Zwiń

2) $\dpi{120} a_{n}=\frac{n\sin n^{3}}{n^{3}+5n},$

Rozwiązanie

Ciąg ten jest iloczynem dwóch ciągów:

$\dpi{120} a_{n}=\frac{n\sin n^{3}}{n^{3}+5n}=\underset{x_{n}\rightarrow 0}{\underbrace{\frac{n}{n^{3}+5n}}}\cdot \underset{y_{n}}{\underbrace{ \sin n^{3}}}.$

Zauważmy, że ciąg $\dpi{120} x_{n}=\frac{n}{n^{3}+5n}$ ma granicę $\dpi{120} 0$ , zaś ciąg $\dpi{120} y_{n}=\sin n^{3}$ jest ciągiem ograniczonym (przez $\dpi{120} -1$ oraz $\dpi{120} 1$ ). Zatem:

$\dpi{120} \lim_{n \to \infty }\frac{n\sin n^{3}}{n^{3}+5n}=0.$

Pokaż rozwiązanie

Zwiń

3) $\dpi{120} a_{n}=\frac{\left ( -1 \right )^{n}}{5n+7}.$

Rozwiązanie

Ciąg ten jest iloczynem dwóch ciągów:

$\dpi{120} a_{n}=\frac{\left ( -1 \right )^{n}}{5n+7}=\underset{x_{n}\rightarrow 0}{\underbrace{\frac{1}{5n+7}}}\cdot \underset{y_{n}}{\underbrace{\left ( -1 \right )^{n}}}.$

Zauważmy, że ciąg $\dpi{120} x_{n}=\frac{1}{5n+7}$ ma granicę $\dpi{120} 0$ , zaś ciąg $\dpi{120} y_{n}=\left ( -1 \right )^{n}$ jest ciągiem ograniczonym (przez $\dpi{120} -1$ oraz $\dpi{120} 1$ ). Zatem:

$\dpi{120} \lim_{n \to \infty }\frac{\left ( -1 \right )^{n}}{5n+7}=0.$

Pokaż rozwiązanie

Zwiń

Uwaga! Każdy z tych przykładów można policzyć również z tw. o trzech ciągach.

Zadanie 8. Obliczyć granice ciągów o wyrazie ogólnym (zadania różne).

1) $\dpi{120} a_{n}=\sqrt{n+\sqrt{n}}-\sqrt{n-\sqrt{n}},$

Rozwiązanie

Ciąg ten należy do Grupy II, więc mnożymy przez tzw. sprzężenie:

$\dpi{120} \lim_{n \to \infty }\left (\sqrt{n+\sqrt{n}}-\sqrt{n-\sqrt{n}} \right )\cdot \frac{\sqrt{n+\sqrt{n}}+\sqrt{n-\sqrt{n}}}{\sqrt{n+\sqrt{n}}+\sqrt{n-\sqrt{n}}}=,$

$\dpi{120} =\lim_{n \to \infty }\frac{\left ( \sqrt{n+\sqrt{n}} \right )^{2}-\left ( \sqrt{n-\sqrt{n}} \right )^{2}}{\sqrt{n+\sqrt{n}}+\sqrt{n-\sqrt{n}}}=\lim_{n \to \infty }\frac{n+\sqrt{n}-n+\sqrt{n}}{\sqrt{n+\sqrt{n}}+\sqrt{n-\sqrt{n}}}=$

$\dpi{120} =\lim_{n \to \infty }\frac{{\color{Red} 2\sqrt{n}}}{\sqrt{{\color{Red} n}+\sqrt{n}}+\sqrt{{\color{Red} n}-\sqrt{n}}}=\frac{2}{\sqrt{1}+\sqrt{1}}=1.$

W ostatniej granicy, zauważmy, że stopień licznika jest równy stopniowi mianownika $\dpi{120} \left (\frac{1}{2} \right )$ , więc patrzymy na współczynniki przy najwyższych potęgach licznika i mianownika (na czerwono).

Pokaż rozwiązanie

Zwiń

2) $\dpi{120} a_{n}=\left ( \frac{n^{3}-4}{n^{3}+7} \right )^{3n^{3}-2},$

Rozwiązanie

Ciąg ten należy do Grupy IV ( z liczbą $\dpi{120} e$ ). Zatem:

$\dpi{120} \lim_{n \to \infty }\left ( \frac{n^{3}-4}{n^{3}+7} \right )^{3n^{3}-2}=\lim_{n \to \infty }\left ( \frac{{\color{Red} n^{3}}{\color{Red} +}\overset{-4}{\overbrace{{\color{Red} 7}-11}}}{{\color{Red} n^{3}+7}} \right )^{3n^{3}-2}=$

$\dpi{120} =\lim_{n \to \infty }\left ( \frac{n^{3}+7}{n^{3}+7} -\frac{11}{n^{3}+7}\right )^{3n^{3}-2}=\lim_{n \to \infty }\left ( 1-\frac{{\color{Red}11}}{n^{3}+7}\right )^{3n^{3}-2}=\lim_{n \to \infty }\left ( 1-\frac{1}{\frac{n^{3}+7}{{\color{Red} 11}}} \right )^{{\color{Blue} 3n^{3}-2}}=$

$\dpi{120} =\lim_{n \to \infty }\left [\left ( 1-\frac{1}{{\color{Red} \frac{n^{3}+7}{{11}}}} \right ) ^{{\color{Red} \frac{n^{3}+7}{{11}}}} \right ]^{{\color{Red} \frac{11}{n^{3}+7}}\cdot {\color{Blue} \left (3n^{3}-2 \right )}}=\left (e^{-1} \right )^{33}=e^{-33}$

gdyż

$\dpi{120} \lim_{n \to \infty }\frac{11}{n^{3}+7}\cdot \left (3 n^{3}-2 \right )=\lim_{n \to \infty }\frac{{\color{Red} 11}\cdot \left ( {\color{Red} 3}n^{3}-2 \right )}{{\color{Red} 1}n^{3}+7}=\frac{11\cdot 3}{1}=33.$

Pokaż rozwiązanie

Zwiń

3) $\dpi{120} a_{n}=\sqrt[n]{2\cdot 4^{n-1}+\left ( \frac{1}{3} \right )^{n+2}+3\cdot 7^{n}},$

Rozwiązanie

Ciąg ten zaliczymy do grupy III (tw. o trzech ciągach). Zatem:

Zanim przejdziemy do ograniczania ciągu trzeba go przedstawić w innej postaci, gdyż w wykładnikach potęg mamy więcej niż $\dpi{120} n$ .

$\dpi{120} a_{n}=\sqrt[n]{2\cdot 4^{n-1}+ \left ( \frac{1}{3} \right )^{n+2}+3\cdot 7^{n}}=\sqrt[n]{2\cdot 4^{n}\cdot 4^{-1}+ \left ( \frac{1}{3} \right )^{n}\cdot \left ( \frac{1}{3} \right )^{2}+3\cdot 7^{n}}=$

$\dpi{120} =\sqrt[n]{\frac{1}{2}\cdot 4^{n}+\frac{1}{9}\cdot \left ( \frac{1}{3} \right )^{n}+3\cdot 7^{n}}$

Ograniczamy ciąg od góry: (zastępujemy każdą potęgę największą potęgą spod pierwiastka)

$\dpi{120} a_{n}=\sqrt[n]{\frac{1}{2}\cdot 4^{n}+\frac{1}{9}\cdot \left ( \frac{1}{3} \right )^{n}+3\cdot {\color{Red} 7^{n}}}\: {\color{Blue} \leq} \: \sqrt[n]{{\color{Cyan} \frac{1}{2}}\cdot 7^{n}+{\color{Cyan} \frac{1}{9}}\cdot 7^{n}+{\color{Cyan} 3}\cdot 7^{n}}=\sqrt[n]{\left ({\color{Cyan} 3+\frac{1}{2}+\frac{1}{9}} \right )\cdot 7^{n}}=$

$\dpi{120} =\overset{\rightarrow 1}{\overbrace{\sqrt[n]{3\frac{11}{18}}}}\cdot \overset{=7}{\overbrace{\sqrt[n]{7^{n}}}}\overset{n \to \infty }{\rightarrow}1\cdot 7=7.$

Wykorzystaliśmy granicę $\dpi{120} \lim_{n \to \infty }\sqrt[n]{c}=1.$

Ograniczamy ciąg od dołu: (pod pierwiastkiem zostaje tylko największa potęga)

$\dpi{120} a_{n}=\sqrt[n]{\frac{1}{2}\cdot 4^{n}+\frac{1}{9}\cdot \left ( \frac{1}{3} \right )^{n}+3\cdot {\color{Red} 7^{n}}}\: {\color{Green} \geq } \: \sqrt[n]{3\cdot 7^{n}}=\overset{\rightarrow 1}{\overbrace{\sqrt[n]{3}}}\cdot \overset{=7}{\overbrace{\sqrt[n]{7^{n}}}}\overset{n \to \infty }{\rightarrow}7.$

Otrzymaliśmy zatem, że:

$\dpi{120} 7\overset{n \to \infty }{\leftarrow}\sqrt[n]{3\cdot 7^{n}}{\color{Green} \leq} \sqrt[n]{\frac{1}{2}\cdot 4^{n}+\frac{1}{9}\cdot \left ( \frac{1}{3} \right )^{n}+3\cdot 7^{n}}{\color{Blue} \leq} \sqrt[n]{3\frac{11}{18}\cdot 7^{n}}\overset{n \to \infty }{\rightarrow}7.$

Na podstawie tw. o trzech ciągach (patrz Teoria lub Wzory) mamy, że

$\dpi{120} \lim_{n \to \infty }\sqrt[n]{\frac{1}{2}\cdot 4^{n}+\frac{1}{9}\cdot \left ( \frac{1}{3} \right )^{n}+3\cdot 7^{n}}=7.$

Pokaż rozwiązanie

Zwiń

4) $\dpi{120} a_{n}=\sqrt{n\left ( n-\sqrt{n^{2}-1} \right )},$

Rozwiązanie

Ciąg należy do Grupy II. Zatem:

$\dpi{120} \lim_{n \to \infty }\sqrt{n\left ( n-\sqrt{n^{2}-1} \right )\cdot \frac{n+\sqrt{n^{2}-1}}{n+\sqrt{n^{2}-1}}}=\lim_{n \to \infty }\sqrt{n\cdot \frac{n^{2}-\left ( \sqrt{n^{2}-1} \right )^{2}}{n+\sqrt{n^{2}-1}}}=$

$\dpi{120} =\lim_{n \to \infty }\sqrt{n\cdot \frac{n^{2}-n^{2}+1}{n+\sqrt{n^{2}-1}}}=\lim_{n \to \infty }\sqrt{\frac{n\cdot 1}{n+\sqrt{n^{2}-1}}}=\sqrt{\frac{1}{1+\sqrt{1}}}=\sqrt{\frac{1}{2}}.$

Pokaż rozwiązanie

Zwiń

5) $\dpi{120} a_{n}=\sqrt[3]{n^{3}+2n+6}-\sqrt[3]{n^{3}-n^{2}+2},$ nowy!

Rozwiązanie

Jest to ciąg podobny do poprzedniego, ale występują w nim pierwiastki trzeciego stopnia. Musimy więc wykorzystać inny wzór skróconego mnożenia, a mianowicie $\dpi{120} x^{3}-y^{3}=\left ( x-y \right )\cdot \left ( x^{2}+xy+y^{2} \right )$ . Mnożymy wówczas nasz ciąg przez odpowiednik drugiego nawiasu w podanym wzorze. Mamy:

$\dpi{120} =\lim_{n \to \infty }\left ( \sqrt[3]{n^{3}+2n+6}-\sqrt[3]{n^{3}-n^{2}+2} \right )\cdot \frac{\left (\sqrt[3]{n^{3}+2n+6} \right )^{2}+\sqrt[3]{n^{3}+2n+6}\cdot \sqrt[3]{n^{3}-n^{2}+2}+\left (\sqrt[3]{n^{3}-n^{2}+2} \right )^{2}}{\left (\sqrt[3]{n^{3}+2n+6} \right )^{2}+\sqrt[3]{n^{3}+2n+6}\cdot \sqrt[3]{n^{3}-n^{2}+2}+\left (\sqrt[3]{n^{3}-n^{2}+2} \right )^{2}}=$

W liczniku stosujemy wspomniany wzór skróconego mnożenia, czyli:

$\dpi{120} =\lim_{n \to \infty }\frac{\left (\sqrt[3]{n^{3}+2n+6} \right )^{3}-\left (\sqrt[3]{n^{3}-n^{2}+2} \right )^{3}}{\sqrt[3]{\left (n^{3}+2n+6 \right )^{2}}+\sqrt[3]{n^{3}+2n+6}\cdot \sqrt[3]{n^{3}-n^{2}+2}+\sqrt[3]{\left (n^{3}-n^{2}+2 \right )^{2}}}=$

$\dpi{120} =\lim_{n \to \infty }\frac{n^{3}+2n+6-n^{3}+n^{2}-2}{\sqrt[3]{\left (n^{3}+2n+6 \right )^{2}}+\sqrt[3]{n^{3}+2n+6}\cdot \sqrt[3]{n^{3}-n^{2}+2}+\sqrt[3]{\left (n^{3}-n^{2}+2 \right )^{2}}}=$

$\dpi{120} =\lim_{n \to \infty }\frac{{\color{Red} n^{2}}+2n+4}{\sqrt[3]{\left ({\color{Red} n^{3}}+2n+6 \right )^{2}}+\sqrt[3]{{\color{Red} n^{3}}+2n+6}\cdot \sqrt[3]{{\color{Red} n^{3}}-n^{2}+2}+\sqrt[3]{\left ({\color{Red} n^{3}}-n^{2}+2 \right )^{2}}}=$

$=\frac{1}{1+1+1}=\frac{1}{3}$

Pokaż rozwiązanie

Zwiń

6) $\dpi{120} a_{n}=\sqrt[3]{1-n^{3}}+n,$

Rozwiązanie

Ciąg podobny do poprzedniego. Wykorzystujemy wzór skróconego mnożenia $\dpi{120} x^{3}-y^{3}=\left ( x-y \right )\cdot \left ( x^{2}+xy+y^{2} \right )$ . Przy $n\rightarrow\infty$ otrzymujemy symbol nieoznaczony $\infty -\infty$ . Najpierw przekształcimy ten ciąg następująco:

$\dpi{120} a_{n}=\sqrt[3]{1-n^{3}}+n=\sqrt[3]{\left ( -1 \right )\left ( n^{3}-1 \right )}+n=-\sqrt[3]{ n^{3}-1 }+n=n-\sqrt[3]{ n^{3}-1 }=$

$=\left ( n-\sqrt[3]{n^{3}-1} \right )\cdot \frac{n^{2}+n\cdot \sqrt[3]{n^{3}-1}+\sqrt[3]{\left ( n^{3}-1 \right )^{2}}}{n^{2}+n\cdot \sqrt[3]{n^{3}-1}+\sqrt[3]{\left ( n^{3}-1 \right )^{2}}}=$

$\dpi{120} =\frac{n^{3}-\left (\sqrt[3]{n^{3}-1} \right )^{3}}{n^{2}+n\cdot \sqrt[3]{n^{3}-1}+\sqrt[3]{\left (n^{3}-1\right )^{2}}}$

W liczniku stosujemy wspomniany wzór skróconego mnożenia, czyli:

$\dpi{120} =\lim_{n \to \infty }\frac{n^{3}-\left (\sqrt[3]{n^{3}-1} \right )^{3}}{n^{2}+n\cdot \sqrt[3]{n^{3}-1}+\sqrt[3]{\left (n^{3}-1\right )^{2}}}=$

$\dpi{120} =\lim_{n \to \infty }\frac{n^{3}-n^{3}+1}{n^{2}+n\cdot \sqrt[3]{n^{3}-1}+\sqrt[3]{\left (n^{3}-1 \right )^{2}}}=$

$\dpi{120} =\lim_{n \to \infty }\frac{1}{n^{2}+n\cdot \sqrt[3]{n^{3}-1}+\sqrt[3]{\left (n^{3}-1 \right )^{2}}}=0$

gdyż stopień mianownika jest większy niż licznika.

Pokaż rozwiązanie

Zwiń

7) $\dpi{120} a_{n}=\frac{4^{n+3}-7}{2^{2n+4}-3},$ nowy typ!

Rozwiązanie

Technika liczenia granic takich ciągów jest analogiczna do Grupy I. Wyłączamy w liczniku i mianowniku największą z potęg mianownika. Zanim to zrobimy przekształcimy jeszcze wyraz ciągu:

$\dpi{120} a_{n}=\frac{4^{n+3}-7}{2^{2n+4}-3}=\frac{4^{n}\cdot 4^{3}-7}{2^{2n}\cdot 2^{4}-3}=\frac{4^{n}\cdot 4^{3}-7}{4^{n}\cdot 4^{2}-3}.$

Liczymy granicę ciągu:

$\dpi{120} \lim_{n \to \infty }\frac{4^{n}\cdot 4^{3}-7}{4^{n}\cdot 4^{2}-3}=\lim_{n \to \infty }\frac{4^{n}\left ( 4^{3}-\overset{\rightarrow 0}{\overbrace{\frac{7}{4^{n}}}} \right )}{4^{n}\left ( 4^{2}-\underset{\rightarrow 0}{\underbrace{\frac{3}{4^{n}}}} \right )}=\frac{4^{3}}{4^{2}}=4.$

Pokaż rozwiązanie

Zwiń

8) $\dpi{120} a_{n}=\frac{3^{n-1}+4^{n}}{2^{2n-2}+3^{n}},$ nowy typ!

Rozwiązanie

Podobnie jak w poprzednim, najpierw przekształcamy wyraz ciągu:

$\dpi{120} a_{n}=\frac{3^{n-1}+4^{n}}{2^{2n-2}+3^{n}}=\frac{3^{n}\cdot 3^{-1}+4^{n}}{2^{2n}\cdot 2^{-2}+3^{n}}=\frac{\frac{1}{3}\cdot 3^{n}+4^{n}}{\frac{1}{4}\cdot 4^{n}+3^{n}}.$

Liczymy granicę ciągu:

$\dpi{120} \lim_{n \to \infty }\frac{\frac{1}{3}\cdot 3^{n}+4^{n}}{\frac{1}{4}\cdot 4^{n}+3^{n}}=\lim_{n \to \infty }\frac{4^{n}\left ( \frac{1}{3}\cdot \frac{3^{n}}{4^{n}}+1 \right )}{4^{n}\left ( \frac{1}{4}+\frac{3^{n}}{4^{n}} \right )}=\lim_{n \to \infty }\frac{\frac{1}{3}\cdot\overset{\rightarrow 0}{ \overbrace{\left ( \frac{3}{4} \right )^{n}}}+1}{\frac{1}{4}+\underset{n \to 0}{\underbrace{\left ( \frac{3}{4} \right )^{n}}}}=\frac{1}{\frac{1}{4}}=4.$

Zapamiętajmy, że:

$\dpi{120} \lim_{n \to \infty }c^{n}=0$ , jeżeli $\dpi{120} 0<c<1.$

Pokaż rozwiązanie

Zwiń

9) $\dpi{120} a_{n}=\frac{\sin n}{n+3},$

Rozwiązanie

Zauważmy, że :

$\dpi{120} \lim_{n \to \infty }\frac{\sin n}{n+3}=\lim_{n \to \infty }\overset{\rightarrow 0}{\overbrace{\frac{1}{n+3}}}\cdot \underset{ ograniczony}{\underbrace{\sin n}}=0.$

Pokaż rozwiązanie

Zwiń

10) $\dpi{120} a_{n}=\left ( \frac{5n-2}{2n+3} \right )^{n}\cdot \left ( \frac{2n-6}{5n+2} \right )^{n}.$

Rozwiązanie

Zauważmy, że ciąg ten możemy zapisać inaczej:

$\dpi{120} a_{n}=\left ( \frac{5n-2}{2n+3} \right )^{n}\cdot \left ( \frac{2n-6}{5n+2} \right )^{n}=\left [\frac{\left ( 5n-2 \right )\cdot \left (2n-6 \right )}{\left ( 2n+3\right )\cdot \left ( 5n+2 \right )} \right ]^{n}=$

$\dpi{120} =\left [ \frac{\left ( 5n-2 \right )\cdot \left ( 2n-6 \right )}{\left ( 5n+2 \right )\cdot \left ( 2n+3 \right )} \right ]^{n}=\left ( \frac{5n-2}{5n+2} \right )^{n}\cdot \left ( \frac{2n-6}{2n+3} \right )^{n}$

Teraz będziemy liczyć granicę:

$\dpi{120} \lim_{n \to \infty }\left [\left ( \frac{5n-2}{5n+2} \right )^{n}\cdot \left ( \frac{2n-6}{2n+3} \right )^{n} \right ]=$

$\dpi{120} =\lim_{n \to \infty }\left ( \frac{5n-2}{5n+2} \right )^{n}\cdot\lim_{n \to \infty } \left ( \frac{2n-6}{2n+3} \right )^{n}=$

Policzmy oddzielnie obie granice:

$\dpi{120} \lim_{n \to \infty }\left ( \frac{5n-2}{5n+2} \right )^{n}=\lim_{n \to \infty }\left ( \frac{{\color{Red} 5n+2}-4}{{\color{Red} 5n+2}} \right )^{n}=\lim_{n \to \infty }\left ( 1-\frac{4}{5n+2} \right )^{{\color{Red} n}}$

Wykorzystamy wzór:

$\dpi{120} \lim_{n \to \infty }\left ( 1-\frac{{\color{Red} k}}{c_{n}} \right )^{c_{n}}=e^{{\color{Red} -k}}$

Zatem:

$\dpi{120} \lim_{n \to \infty }\overset{\rightarrow e^{{\color{Green} -}{\color{Magenta} 4}}}{\overbrace{\left [\left ( 1{\color{Green} -}\frac{{\color{Magenta} 4}}{{\color{Blue} 5n+2}} \right )^{{\color{Blue} 5n+2}} \right ]}}^{{\color{Blue} \frac{1}{5n+2}}\cdot {\color{Red} n}}=\left ( e^{-4} \right )^{\frac{1}{5}}=e^{-\frac{4}{5}}$

gdyż $\dpi{120} \lim_{n \to \infty }\frac{1}{5n+2}\cdot n=\lim_{n \to \infty }\frac{n}{5n+2}=\frac{1}{5}.$

Druga granica:

$\dpi{120} \lim_{n \to \infty }\left ( \frac{2n-6}{2n+3} \right )^{n}=\lim_{n \to \infty }\left ( \frac{{\color{Red} 2n+3}-9}{{\color{Red} 2n+3}} \right )^{n}=\lim_{n \to \infty }\left ( 1-\frac{9}{2n+3} \right )^{{\color{Red} n}}=$

$\dpi{120} =\lim_{n \to \infty }\overset{\rightarrow e^{{\color{Green} -}{\color{Magenta} 9}}}{\overbrace{\left [\left ( 1{\color{Green} -}\frac{{\color{Magenta} 9}}{{\color{Blue} 2n+3}} \right )^{{\color{Blue} 2n+3}} \right ]}}^{{\color{Blue} \frac{1}{2n+3}}\cdot {\color{Red} n}}=\left ( e^{-9} \right )^{\frac{1}{2}}=e^{-\frac{9}{2}}$

gdyż $\dpi{120} \lim_{n \to \infty }\frac{1}{2n+3}\cdot n=\lim_{n \to \infty }\frac{n}{2n+3}=\frac{1}{2}.$

Wracamy do granicy:

$\dpi{120} \lim_{n \to \infty }\left [\left ( \frac{5n-2}{5n+2} \right )^{n}\cdot \left ( \frac{2n-6}{2n+3} \right )^{n} \right ]=$

$\dpi{120} =\lim_{n \to \infty }\left ( \frac{5n-2}{5n+2} \right )^{n}\cdot\lim_{n \to \infty } \left ( \frac{2n-6}{2n+3} \right )^{n}=e^{-\frac{4}{5}}\cdot e^{-\frac{9}{2}}=e^{-\frac{4}{5}-\frac{9}{2}}=e^{-\frac{53}{10}}.$

Pokaż rozwiązanie

Zwiń

11) $\dpi{120} a_{n}=\left ( 1+tg\left ( \frac{6n}{4n^{2}-1} \right ) \right )^{5n}$ wyższy poziom trudności

Rozwiązanie

Dodatkową trudnością w tym przykładzie jest pojawienie się tangensa wewnątrz nawiasu. Można się go pozbyć na kilka sposobów. Przedstawimy jeden z nich.

$\dpi{120} \lim_{n \to \infty }\left ( 1+tg\left ( \frac{6n}{4n^{2}-1} \right )\right )^{5n}=\lim_{n \to \infty }\left ( 1+\overset{\rightarrow 1}{\overbrace{\frac{tg\left ( \frac{6n}{4n^{2}-1} \right )}{\frac{6n}{4n^{2}+1}}}}\cdot\frac{6n}{4n^{2}-1} \right )^{5n}=$

Wykorzystujemy tutaj granice:

$\dpi{120} \lim_{n \to \infty }\frac{tgx_{n}}{x_{n}}=1$ , gdy $\dpi{120} x_{n}\rightarrow 0$ przy $\dpi{120} n \to \infty$

Taką samą zależność mamy dla:

$\dpi{120} \lim_{n \to \infty }\frac{\sin x_{n}}{x_{n}}=1$ , gdy $\dpi{120} x_{n}\rightarrow 0$ przy $\dpi{120} n \to \infty$

U nas $\dpi{120} x_{n}=\frac{6n}{4n^{2}-1}$ . Musieliśmy dopisać ten ciąg zarówno w liczniku jak i w mianowniku, aby nie zmienić wyjściowej granicy. Wystarczy teraz policzyć granicę:

$\dpi{120} \lim_{n \to \infty }\left ( 1+\frac{6n}{4n^{2}-1} \right )^{5n}=\lim_{n \to \infty }\left ( 1+\frac{1}{\frac{4n^{2}-1}{6n}} \right )^{5n}=$

$\dpi{120} =\lim_{n \to \infty }\left [\underset{\rightarrow e}{\underbrace{\left ( 1+\frac{1}{\frac{4n^{2}-1}{6n}} \right )^{\frac{4n^{2}-1}{6n}}} } \right ]^{\underset{\rightarrow \frac{30}{4}}{\underbrace{\frac{6n}{4n^{2}-1}\cdot 5n}}}=e^{\frac{30}{4}}=e^{\frac{15}{2}}$

Pokaż rozwiązanie

Zwiń