Ciągi liczbowe – zadania

Wszystkich zadań jest 8. Zadania 1 i 2 są dla bardziej wymagających wykładowców, ale warto do nich zajrzeć. Nigdy nic nie wiadomo:). Kolejne zadania są standardowe. Zadania 3, 4,5 i 6 odpowiadają kolejnym grupom wprowadzonym w zakładce Wzory. Dlatego koniecznie należy się z nią zapoznać. tutaj W zadaniu 7 umieszczono ciągi, które można robić dwoma sposobami. Zwróćmy na nie uwagę. Ostatnie zadanie 8 jest „mieszanką” wszystkich grup. Warto próbować je robić samodzielnie i sprawdzać rozwiązanie.

 

 Zadanie 1. Sprawdzić monotoniczność ciągu o wyrazie ogólnym:

   2) \dpi{120} a_{n}=\frac{n+1}{n+2},

Zadanie 2. Na podstawie definicji granicy ciągu wykazać, że:

Zadanie 3. Obliczyć granice ciągów o wyrazie ogólnym (grupa I z zakładki Wzory).

                   Uwaga! Wyniki w tym zadaniu można podawać bez liczenia.

Zadanie 4. Obliczyć granice ciągów o wyrazie ogólnym (grupa II z zakładki Wzory – pierwiastki).

Zadanie 5. Obliczyć granice ciągów o wyrazie ogólnym (grupa III z zakładki Wzory – tw. o trzech ciągach).

Zadanie 6. Obliczyć granice ciągów o wyrazie ogólnym (grupa IV z zakładki Wzory – liczba \dpi{120} \large e).

7) \dpi{120} a_{n}=\left ( \frac{4n+3}{4n-7} \right )^{n+4}.

8) \dpi{120} a_{n}=\left ( \frac{2n^{2}-n+2}{2n^{2}+1} \right )^{3n-1}  zwrócić uwagę

9) \dpi{120} a_{n}=\left ( \frac{6n^{2}-\frac{2}{n}}{6n^{2}+\frac{1}{n}} \right )^{3n^{3}+5}  zwrócić uwagę

10) \dpi{120} a_{n}=n\left (\ln \left ( n+6 \right ) -\ln \left ( n+2 \right ) \right )

Zadanie 7. Obliczyć granice ciągów o wyrazie ogólnym: (tw. 2 zakładki Teoria)

Uwaga! Każdy z tych przykładów można policzyć również z tw. o trzech ciągach.

Zadanie 8. Obliczyć granice ciągów o wyrazie ogólnym (zadania różne).

10) \dpi{120} a_{n}=\left ( \frac{5n-2}{2n+3} \right )^{n}\cdot \left ( \frac{2n-6}{5n+2} \right )^{n}.

11) \dpi{120} a_{n}=\left ( 1+tg\left ( \frac{6n}{4n^{2}-1} \right ) \right )^{5n}  wyższy poziom trudności